第四講三角恒等式-2021-2022學年高一數(shù)學重難點講義（2020必修二）

三角恒等式1、了解萬能公式，并會簡單運用；2、能正確運用公式解決化簡、求值等相關(guān)問題、運算問題.【知識梳理】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）；（3）.降冪公式：升冪公式：2、半角的正弦、余弦、正切公式（符號的選擇由所在的象限確定）（1）；（2）；（3）.3、萬能置換公式（1）；（2）；（3）.4、三角恒等變形的主要思路：“求同”的思想.分析條件與結(jié)論（左邊與右邊）的差異是什么？如角的差異；函數(shù)名稱的差異；結(jié)構(gòu)的差異.5、三角恒等變形的主要方法：（1）“角”的變化；如.（2）“函數(shù)名稱”的變化；如“切割化弦”.（3）“結(jié)構(gòu)”的變化：如“升冪、降次”.（4）“1”的變化：.【例題精講】例1、不用計算器，求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）．解:（１）=；（２）＝；（３）＝；（４）＝．例2、求下列各式的值（1）（2）（3）（4）解:（１）（２）（３）（４）例3、求證：（1）（2）證明：（1）（2）例4、求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°解：原式＝＋sin10°cos40°＝1＋×2×（－sin30°sin50°）＋sin10°cos40°＝1－sin50°＋（sin50°－sin30°）＝1－＝例5.若，則等于（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路分析】解：，，，所以，，，，．故選：A．例6.的三個內(nèi)角的對邊分別是，已知.（1）求C；（2）若，求的取值范圍.【標準答案】（1）（2）【思路分析】（1）由正弦定理可得：，，又因，，所以，又因，所以，即，.（2）由（1）知，，，,,,例7.化簡：解：例8.若，則=（）。

A、B、C、D、

解：答案：A例9.若，則=（）.

A、B、C、1D、1解：方法一：由，，可得方法二：例10.已知sincos=，，求和tan的值解：∵sincos=∴化簡得：∴∵∴∴即例11.（1）已知，，求的值.（2）化簡.【標準答案】（1）；（2）.【思路分析】萬能公式的合理利用（1）∵∴化簡得：∴∵∴∴即（2）.例12.證明：.【標準答案】略.【思路分析】湊角.例13.求證：的值與無關(guān).【標準答案】略.【思路分析】兩角和展開化簡.例14.在中，角，，的對邊分別為，，且．（1）求；（2）若，求的周長的取值范圍．【標準答案】（1）；（2）．【思路分析】解：（1），所以，又，所以；（2）由已知得，，，，，∴，，∴，∴，∴.例15.化簡：.【標準答案】.【思路分析】倍角降冪公式化簡.一、單選題1．角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得最大值，則（）A． B．C． D．3．的值為（）A． B． C． D．4．若，則（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．二、填空題7．若是方程的兩根，，則___________.8．已知，，，則___________.9．已知等腰三角形一個底角的正弦值為，則這個三角形的頂角的余弦值為______．10．已知，且，則_______.11．已知，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊交圓心為坐標原點的單位圓于點，且，則___________.三、解答題12．（1）已知，都是銳角，，，求的值；（2）已知為銳角，為鈍角，，，求.13．已知．(1)求的值；(2)求的值．14．在平面直角坐標系中，已知角的終邊與以坐標原點為圓心的單位圓交于點．(1)求的值；(2)求的值．15．已知，.(1)求；(2)若，，求，并計算.16．如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大小；(2)點在什么位置時，矩形的面積最大？并說明理由．參考答案：1．C【思路分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式將原式化簡計算即可.【步驟詳解】由題意可得，所以.故選：C2．B【思路分析】先求出，再用誘導(dǎo)公式及正弦兩角差公式計算即可.【步驟詳解】，其有最大值時，有（），所以，所以.故選：B3．A【思路分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及倍角公式求解即可.【步驟詳解】原式.故選：A4．A【思路分析】應(yīng)用輔助角公式將條件化為，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求.【步驟詳解】由題設(shè)，，則，又.故選：A5．B【思路分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)、平方關(guān)系，將條件化為，再根據(jù)二倍角余弦公式求目標式的值.【步驟詳解】由題設(shè)，，又.故選：B.6．D【思路分析】利用定義法求出，再用二倍角公式即可求解.【步驟詳解】依題意，角的終邊經(jīng)過點，則，于是.故選：D7．【思路分析】由韋達理及正切兩角和得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可求解.【步驟詳解】由題知，，而，所以，所以.故答案為：8．##【思路分析】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角差的正弦可求的值.【步驟詳解】因為，，故，而，故，而，故，所以.故答案為：9．【思路分析】依題意可得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求出.【步驟詳解】由題意設(shè)，且，所以．所以．故答案為：10．【思路分析】根據(jù)題意，可知，結(jié)合三角函數(shù)的同角基本關(guān)系，可求出和再根據(jù)，利用兩角差的余弦公式，即可求出結(jié)果.【步驟詳解】因為，所以，因為，所以，又，所以，所以.故答案為：.11．【思路分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系先求出，由二倍角公式求出，由三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的關(guān)系先求出，再分析出，從而求出的值，得出答案.【步驟詳解】由，則所以，所以由，，可得由角終邊交圓心為坐標原點的單位圓于點，且，則，則所以所以由所以故答案為：12．（1）；（2）.【思路分析】（1）根據(jù)，以及的范圍結(jié)合求出和，再由結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解；（2）利用兩角和的正切公式結(jié)合的范圍即可求解.【步驟詳解】解：（1）因為，都是銳角，即，又（2）由，得為銳角，為鈍角即，13．(1);(2).【思路分析】（1）利用和角公式求解即可;（2）利用弦化切的方法，分子分母同時除以即求.(1)∵，∴；(2)∵，∴.14．(1)；(2).【思路分析】（1）由任意角的三角函數(shù)的定義求出，再利用二倍角公式計算可得；（2）利用誘導(dǎo)公式將式子化簡，再將弦化切，最后代入計算可得；(1)由三角函數(shù)定義可知：；(2)由三角函數(shù)定義可知:，∴.15．(1)(2)，【思路分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得.（2）將寫成，再用兩角差的余弦求解；由可求，先化簡再代入求解.(1)，且，解得，，所以.(2)因為，，所以，所以，所以.因為，，所以，，所以.16．(1)；(2)點是弧的中點時，矩形的面積最大，最大為.【思路分析】（1）利用扇形的面積公式可求得的大??；（2）連接，設(shè)，將、用的代數(shù)式表示