7.3 萬有引力理論的成就（舉一反三）【三大題型】（原卷版）-2024-2025學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊）

7.3萬有引力理論的成就【三大題型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【題型1天體的質(zhì)量和密度的計算】 2【題型2天體運動的分析與計算】 3【題型3天體自轉(zhuǎn)的相關(guān)問題】 4知識點1：天體的質(zhì)量和密度的計算1．天體質(zhì)量的計算（1）“自力更生法”：若已知天體（如地球）的半徑R和表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于天體對物體的引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天體質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G)，因g、R是天體自身的參量，故稱“自力更生法”．（2）“借助外援法”：借助繞中心天體做圓周運動的行星或衛(wèi)星計算中心天體的質(zhì)量，常見的情況：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r?M＝eq\f(4π2r3,GT2)，已知繞行天體的r和T可以求M.2．天體密度的計算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊情況，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r可認(rèn)為等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).注意：（1）計算天體的質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體．要明確計算出的是中心天體的質(zhì)量．（2）要注意R、r的區(qū)分．一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑．若繞“近地”軌道運行，則有R＝r.知識點2：天體運動的分析與計算1．基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運動可看作勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供．2．常用關(guān)系（1）Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r（2）mg＝Geq\f(Mm,R2)（物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力），整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為黃金代換式．3．四個重要結(jié)論：設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動．（1）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小．（2）由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越?。?）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．（4）由Geq\f(Mm,r2)＝ma向得a向＝eq\f(GM,r2)，r越大，a向越小．以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”．【題型1天體的質(zhì)量和密度的計算】【例1】2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是（）A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑【變式1-1】木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為，則（

）A．木衛(wèi)一軌道半徑為 B．木衛(wèi)二軌道半徑為C．周期T與T0之比為 D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為【變式1-2】（多）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計。則（

）A．g′∶g=1∶5B．g′∶g=5∶2C．M星∶M地=1∶20D．M星∶M地=1∶80【變式1-3】嫦娥六號進(jìn)入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為（）A． B． C． D．【題型2天體運動的分析與計算】【例2】我國是第三個對火星探測并將探測器著陸火星的國家，探測器在環(huán)繞火星表面飛行時周期是T?；鹦潜砻鏆怏w非常稀薄可近似認(rèn)為真空，在火星表面附近以初速度v0水平拋出一個物體，測得拋出點距火星表面高度為h，落到火星表面時物體的水平位移為x，已知引力常量為G，下列說法正確的是（）A．物體在火星表面附近做平拋運動的加速度大小是B．火星的半徑是C．火星的質(zhì)量是D．火星的密度是【變式2-1】2024年5月，嫦娥六號探測器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是（）A．在環(huán)月飛行時，樣品所受合力為零B．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同D．樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小【變式2-2】某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.2倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為（

）A． B． C． D．【變式2-3】某星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的4倍，半徑與地球近似相等。（1）若從地球表面高為h處平拋一物體，水平射程為，則在該星球上，從同樣高度，以同樣的初速度平拋同一物體，水平射程應(yīng)為多少？（2）如圖所示，在該星球表面發(fā)射一枚火箭，其上有精密的探測器，豎直向上做加速直線運動，已知該星球半徑為，表面重力加速度為，升到某一高度時，加速度為，測試儀器對平臺的壓力剛好是起飛前壓力的，求此時火箭所處位置距星球表面的高度？【題型3天體自轉(zhuǎn)的相關(guān)問題】【例3】地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)為原來的（）A． B．C． D．【變式3-1】假定太陽系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)可以忽略?，F(xiàn)若該星球自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時，該星球表面“赤道”上的物體對星球的壓力減為原來的。已知引力常量G，則該星球密度ρ為（）A． B． C． D．【變式3-2】（多）組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超出了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的星球，地球半徑為R，地球北極表面附近的重力加速度為g，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，則地球的最大自轉(zhuǎn)角速度ω為（）A． B． C． D．【變式3-3】（多）由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而