模型25 圓綜合之中點(diǎn)弧模型（原卷版）

模型介紹模型介紹【以下五個(gè)條件【以下五個(gè)條件知一推四】點(diǎn)C是的中點(diǎn)AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)類型一中點(diǎn)弧與相似點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，則∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似 【補(bǔ)充】⑥PE?PC＝PA?PB類型二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)【模型解讀】點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)鄰邊相等+對(duì)角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)相似模型，一般用來求圓中三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.由于對(duì)角互補(bǔ)，即，顯然共線，且，通過導(dǎo)角不難得出相似.類型三中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長AI交圓O于D，證DI＝DC＝BD【簡證】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

類型四弧中點(diǎn)與垂徑定理【模型解讀】知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中點(diǎn)DO⊥CB例題精講例題精講考點(diǎn)一：中點(diǎn)弧與相似三角形的綜合【例1】．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝3，ED＝4，則AB的長為_______變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，則BC?CD＝．【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F．若sin∠CAB＝，DF＝5，則BC的長為_______考點(diǎn)二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)的綜合【例2】.在的內(nèi)接四邊形中，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則的長是．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，已知是的弦，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且不與、重合，的延長線交于點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，垂足為，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在弦上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．考點(diǎn)三：中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰三角形【例3】．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長AI交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、DC、BI．求證：DB＝DC＝DI．【變式3-1】．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，延長CD、BA相交于點(diǎn)F，∠ADF的平分線交AF于點(diǎn)G．（1）求證：DG∥CA；（2）求證：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的長．【變式3-2】．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．（1）求證：ED＝EC；（2）求證：AF是⊙O的切線；（3）如圖2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長．考點(diǎn)四:弧中點(diǎn)與垂徑定理【例4】．如圖，為的直徑，，為圓上的兩點(diǎn)，，弦，相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．變式訓(xùn)練【變式4-1】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．（1）求證：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝4，求BF的長．【變式4-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，AC、BE交于點(diǎn)D，過A的切線交BE的延長線于F．（1）求證：AD＝AF；（2）若，求tan∠ODA的值．考點(diǎn)五弧中點(diǎn)與垂徑模型（三等弧模型）【例5】.如圖，是的直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的弦，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若，求的長．1．如圖，在⊙O中AB為直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，EF∥AB，連接AC交EF于點(diǎn)D，若已知DF＝2DE，則CD：AD的值為（）A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：42．如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（）A．2 B． C． D．13．在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是．4．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF⊥AC，交AC的延長線于E，交AB的延長線于F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半徑和AC的長．6．如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連接BD．（1）求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；（2）若⊙O的半徑為5，D是的中點(diǎn)，求弦CE的長．8．如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，CD的延長線交于⊙O點(diǎn)E，連接AE、BE，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的長．（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．9．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式；（2）如圖②，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）求證：BC＝AB；（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝8，求MN?MC的值．11．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點(diǎn)M，將沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長OA至P，使AP＝OA，連接PC（1）求CD的長；（2）求證：PC是⊙O的切線；（3）點(diǎn)G為的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E．交于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣，0），B（3，0），以AB為直徑的⊙G交y軸于C、D兩點(diǎn)．（1）填空：請(qǐng)直接寫出⊙G的半徑r、圓心G的坐標(biāo)：r＝；G（，）；（2）如圖2，直線y＝﹣x+5與x，y軸分別交于F，E兩點(diǎn)，且經(jīng)過圓上一點(diǎn)T（2，m），求證：直線EF是⊙G的切線．（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、T兩點(diǎn)），連接AT、CM、TM，CM交AT于點(diǎn)N．試問，是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足CN?CM＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

13．已知：如圖，拋物線y＝x2﹣x+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB＝90°，（1）求m的值及拋物