高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

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2023導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練

解答題(共50小題)

1.已知函數(shù)/(X)=?〃(工+/)-,其中4￡火.

(1)當(dāng)4=1時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

a

(2)當(dāng)X...0時，/(%)”一(sinx+cosx)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a

2.已知函數(shù)/(x)=xe"-I,g(x)=txlnx—ex+1(ZeR).

(1)當(dāng)％=1時，求證：g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)工…1時，/(x)+g(x)...O,求，的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(x)=f+alnx{aGR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=/(%)-2x+l存在兩個極值點(diǎn)，且不是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，求證：gOo)>；-;而2.

4.已知函數(shù)f(x)=e2x-ax-l(aGR).

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)>0對X￡(0,+oo)恒成立，求。的取值范圍；

(3)證明：若/(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)飛,貝！

5.已知函數(shù)〃刈=蛆-左.

X

(I)當(dāng)左=0時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程；

(II)若/(%),,0恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍；

(III)證明：In一■F/H—+...+/?—<—(——F—+...H——)(n>l,neN*).

23ne23n

6.已知/(x)=2"x+ax+2在x=\處的切線方程為y=-3x.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)/<%)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意xe[l,+oo),都有/(%)-/'(X),-2%+—+1.

7.已知函數(shù)f(x)=ex+kln(x+1)-GR).

(1)當(dāng)后=1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;

(2)若對任意%￡(l,+oo),都有/(x)...O,求實(shí)數(shù)左的取值范圍;

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(3)當(dāng)上.「工時，對任意的s,te[0,+00),且"和試比較八s)+「3與2/(s)-2f⑴的大小.

2s-t

8.已知函數(shù)f(x)=a(ex-x-1)-ln(x+1)+x,a.0.

(1)證明：/(x)存在唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)g(x)=ae"+x,若存在項，x2G(-1,+OO),使得/(再)=g(xj-g%)，證明：-2x2..l-2ln2.

9.已知函數(shù)/a)=>x—3x.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vx￡(0,+8),/(x)<x(aex一4)+6,證明：a+b...O.

10.已知函數(shù)/(x)=,g(x)=2xex-Inx-x-ln2.

x

(1)若直線y=x是曲線y=/(x)的一條切線，求。的值；

(2)若對于任意的石￡(0,+8),都存在％2￡(0,+8)，使/a)...g(%2)成立，求。的取值范圍.

11.已知函數(shù)/。)=吧-巴.

/ex

(1)若/(%)…0在，0]上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若°=1,判斷關(guān)于x的方程/a上--1-在[(2左+1)/，(2左+2)淚(左eN*)內(nèi)解的個數(shù)，并說明理由.

12.已知函數(shù)f(x)=ax2-x+(x+V)lnx.

(1)當(dāng)4=0時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃%)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

13.已知函數(shù)/(x)=X2一妙(加￡氏)，g(x)=-Inx.

(1)當(dāng)加=1時,解方程/(x)=g(x);

(2)若對任意的再，X2G[-1,1],都有|/(再)2恒成立，試求加的取值范圍;

(3)用臉""｝表示加，〃中的最小者，設(shè)函數(shù)3)=就“/3+3(?心。)’討論關(guān)于X的方程

/7(X)=0的實(shí)數(shù)解的個數(shù).

14.已知函數(shù)/(x)=/〃x.

(1)若函數(shù)y=/[/(x)]+/(x)的零點(diǎn)在區(qū)間伏，4+1)上，求正整數(shù)后的值；

(2)記g(x)=/[(3-(a)-2x,若g(x)?0對任意的xe[0,+對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

15.完成下列問題:

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(1)若關(guān)于x的不等式(1-⑼/+"：.2在［-歷2,山2］上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)已知二次函數(shù)/(%)的頂點(diǎn)為(-2,0),且與直線y=2%+3相切，若函數(shù)g(x)=/〃"(%)-向在區(qū)間［2,

+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(x)=ax-ex+蛆>0).

a

(1)證明：當(dāng)Q=1時，函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)；

(2)證明：當(dāng)〃￡(0,e)時，/(%)<0對任意的、￡(0,1)恒成立.

17.已知函數(shù)+(4一1)、一歷工,aeR.

(I)討論/(X)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)〃〉0時，證明/(幻…2—二.

2a

18.已知函數(shù)f(x)=ex+cosx-2.

(1)證明：函數(shù)/(%)只有一個零點(diǎn)；

(2)在區(qū)間(0,+8)上函數(shù)/(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(%)="x1-cosx(x￡［-見工］)?

ex2

(1)求證：函數(shù)〃%)在eg上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)］￡［-肛-g時，旌出工.」/(%)+8$幻"一0051恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

20.已知函數(shù)f(x)=Inx-ax+(2-2a)4x(aGR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若a=l,—<t<e,且存在石￡(工力，x2^［t,e),使得/(石)+/(%2)>/3,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

ee

21.已知函數(shù)〃x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0).

(1)若函數(shù)y=/(x)是(-oo,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的最小值；

⑵若陪1,且對任意xe［吟，都有不等式/("⑴成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(X)=/〃X+Q,設(shè)4(西，/(%))，B(%2，/(%2))，且石，、2.

(1)若。=-1,求函數(shù)y=/(x)在尸(1,f(1))處的切線方程；

(2)證明：/⑺-/5)>,

X2-Xj2

23.已知函數(shù)/⑴=/外-小兀①^尺).若函數(shù)〃x)恰有兩個不同的極值點(diǎn)再，x2(x,<x2).

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(1)求a的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得[/(國)-/'(初2=[/每)]2成立？請說明理由.

24.已知函數(shù)/(x)=jJ-cosx(xe[-肛工]).

e*2

(i)求證：函數(shù)在[-肛g上單調(diào)遞增；

(II)當(dāng)0]時，左sinx.UXXl+cosxH-cosx恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(力=，

(1)求曲線“X)在x=0處的切線/的方程，并證明除了切點(diǎn)以外，曲線/(x)都在直線/的上方；

(2)若不等式e*x-cosx...O對任意xe[0,+co)恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

26.已知函數(shù)/(x)=a",其中0＜a＜l.

(1)求函數(shù)g(x)=/(x)-xGa的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)〃(工)=優(yōu)-3^-/-工/〃。-。+(3-左)/〃。+(加2)2在工€[1,+co)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)人的取值范

圍.

27.已知函數(shù)/(x)=e*.

(1)求曲線〃x)在x=0處的切線/的方程，并證明除了切點(diǎn)以外，曲線〃x)都在直線/的上方；

(2)當(dāng)犯，1時，證明不等式e*-加x-cosx...O,在xe[0,+co)上恒成立.

28.已知函數(shù)/(x)=e￡-婀-1.

X

(1)求曲線＞=/(%)在點(diǎn)a，/(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(X)=/(%)-3有兩個零點(diǎn)七，x2(其中石＜、2)，且不等式再爐+2X2*＞加恒成立，求實(shí)數(shù)加

的取值范圍.

29.已知函數(shù)f(x)=ex-ax+e2-7.

(1)當(dāng)4=2時，求曲線y=/(x)在x=2處的切線方程；

(2)若對任意的X...0,“X)…恒成立，求a的取值范圍.

30.已知函數(shù)/(x)=x2-4x+4+alnx.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

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(2)若“X)有2個不同的極值點(diǎn)再，％2(再<%2)，求證："再)+X；〉3.

x24

31.設(shè)函數(shù)f(x)=ax(2-cosx)-sinx.

(1)當(dāng)Q=1時，求/(x)在［0,加上的最值；

(2)對X/x￡(0,+oo),不等式/(x)〉0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

32.已知函數(shù)f(x)=ex-ax+e2.

(1)當(dāng)q=2時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.

33.已知函數(shù)/(x)=x(/幾工一；工一1),h(x)=(a-3)x+(1-?+x)lnx-1.

(1)尸(x)=△2，求尸(x)的最值；

X

(2)若函數(shù)g(x)=〃(x)-/(x)恰有兩個不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.

34.已知函數(shù)/(刈=理-巴.

exex

(1)若/(月…。在，0］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=l,判斷關(guān)于x的方程/⑴二-4在仁4+1)］，(24+2)乃］(左eN*)內(nèi)解的個數(shù)，并說明理由.

e71

35.已知函數(shù)/(x)=xlnx+2ax2-2.

(1)若函數(shù)7=/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),討論函數(shù)/'(%)零點(diǎn)的個數(shù);

17

(2)當(dāng)a=l時，函數(shù)〃(x)=/(x)-一-x在定義域內(nèi)的兩個極值點(diǎn)為玉，x(0<<x),試比較占?考與

82Xl2

e3的大小，并說明理由.

36.已知函數(shù)/(x)=sinx-axcosx.

(1)當(dāng)4=1時，求曲線y=〃x)在xg處的切線方程；

(2)對任意的x￡(0,+oo),都有f(x)<ax2+ax,求a的取值范圍.

a2

37.已知函數(shù)/(工)=1/"+(4—2)e'—r/'(x)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論了'(X)的單調(diào)性；

-2

(2)右匹，12(玉<々)為/(x)的極值點(diǎn)，證明：x-x<ln(3-a)-Ina+——1.

2一xa

38.已知函數(shù)/(x)=x-a歷(1+x).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

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(2)當(dāng)4=1時，證明/(x)...O；

(3)證明對于任意正整數(shù)"，IPW-+—+—+—1—+—>2/?2.

nH+1〃+24〃-14〃

39.已知函數(shù)/(x)=axe*-gx2-x.

(1)討論/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性;

2-X1-X2

(2)若°>0時，方程/'(x)=/"x-；/有兩個不等實(shí)根X],x?,求證：XjX2>e.

40.已知x>-l,證明：

(1)ex-l.x.Jn(x+1)；

(2)(ex-l)ln(x+1)..￡.

41.已知函數(shù)f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(aGR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

42.已知函數(shù)f(x)=aex-ax-\(a0).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，證明：/(x)>21nx-2x+2.

43.已知函數(shù)/(x)=alnx+——ex.

a

(1)若4=1,證明：/(X)存在唯一極值點(diǎn).

(2)若a〉L證明：VXG(0,1),/(x)<0.

e

44.已知/(%)=勿、一"，g(x)=x+lnm(mGR,m>0)

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=-1時，若不等式ega)+g(x).J(x)在％￡(0,+8)上恒成立，求加的取值范圍(e為自然對數(shù)的底

數(shù))

45.已知4￡尺，函數(shù)/(X)=+Q(1.

(1)若/(X)”。恒成立，求4的取值范圍；

(2)過原點(diǎn)分別作曲線>=/(幻和>="的切線/]和(，試問：是否存在。>0,使得切線4和。的斜率互

為倒數(shù)？請說明理由.

x

46.已知函數(shù)f(x)=ae-bx-c(0<a<l9b>0).

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(1)若a=b,求/(%)的極值；

*Ak

(2)若項，%2是/(%)的兩個零點(diǎn)，且演>%2，證明：一+---->一.

al-aa

47.已知函數(shù)/*)=小關(guān)+±(左€五).

x+1

(1)若/(x)在定義域上具有唯一單調(diào)性，求左的取值范圍；

2(x-—)

(2)當(dāng)％￡(1,2)時，證明：(2-x)ex-2x2+x<0.

48.已知函數(shù)，(x)="-xlnx-a(aGR).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0</1時，/(戲,0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

/。、、兒"r*歷1ln2Innn(n-l)

(3)設(shè)〃EN,求證：一+—+…+----?—-----.

23H+14

49.已知函數(shù)/(x)=2sinx-冰，aeR.

(1)若是&上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

■7T

(2)當(dāng)。=1時，求g(%)=/(%)->(％+1)在［0=］上的最小值;

6

(3)證明：sin—+sin-+sin—+---+sin—.

234n2

50.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)〃x)=VLe"，

(1)若4￡火，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若a>0,且當(dāng)xe(0,+oo)時，不等式(^產(chǎn)…處恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

xax

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2023導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.已知函數(shù)/(x)='|■>(％+/)-,其中QER.

(1)當(dāng)0=1時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

a

(2)當(dāng)X...0時，/(x),±(sinx+cosx)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a

s4,----.

【分析】(1)當(dāng)。=§時，/(》)=三歷(丫+1)-\/》+2的定義域為(T,+oo),求導(dǎo)，分析/<x)的符號，/(X)的

單調(diào)性.

(2)利用端點(diǎn)值確定。的必要性區(qū)間，利用三角函數(shù)的分界性，分區(qū)間討論，利用放縮和估值法，討論。的

范圍，進(jìn)而可求.

【解答】解：⑴當(dāng)。、時，/(防=辛心+1)-而1的定義域為(一1,+8),

、418,x+2-3(X+2)+3-(3&+2+1)(或+2-3)

則J(%)=-----------1------------/-----------------/-----,

3(%+1)2yjx+26(x+l)Jx+26(x+1)vr+2

當(dāng)l<Jx+2<3時,即-l<x<7時，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)Jx+2>3時,即x>7時，f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)“X)單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,7),單調(diào)遞減區(qū)間為(7,+oo)；

(2)證明：設(shè)g(x)=3(sinx+cosx),由40)=-&,g(0)=3,

aa

解得Q”-----或。>0,

2

①當(dāng)〃>0時，f(3)=aln2-y/5,g(x)=sin(x+—),

1a4

當(dāng)包)時，g(x)單調(diào)遞減，

44

g、imJE3A/2.7〃3A/2

所以g(3)<g(——)=---sin—=----,

12a62。

alnl-V5<,則a/n2+3近一<小,

2a2a

因為q2歷2.士2=J6行02(當(dāng)且僅當(dāng)aln2=￡!■時等號成立),

2av2a2a

又因為,60打2

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所以<611rl2一45,

2a

此時f(x)?g(x)不成立，即?！?不合題意，

②當(dāng)4,-當(dāng)時，/(x)為減函數(shù)，

-3-72I----r-

當(dāng)x￡［0,工)時，/(x)-g(x)=—ln(x+1)-Vx+2--(sinx+cosx)?ln(x+1)-4+2+也(sinx+cosx)，

42a4

_aB____

令h(x)=--—ln(x+1)-令+2+^^sinx+cosx),貝！J〃(0)=0,

所以h'(x)=-----------,+&(cosx-sinx),

4(x+l)2^+2

此時〃(0)=0,

h"(x)=-30,H------11---V5(sinx+cosx)=_3s,t-----J——2sin(x+3，

4(x+l)24(V7+2)34(X+1)24(A^+2)34

當(dāng)xe［?！謺r，小)單調(diào)遞減’〃⑺"(。)<。，

所以〃(x)在［0,?)上單調(diào)遞減，又〃(0)=0,

所以在［0,?)上〃(町,0,

所以〃(x)在［0,7)上單調(diào)遞減，又〃(0)=0,

所以在［0,?)上/?(x)?0,

即當(dāng)xe［。,辛?xí)r，山…)恒成立'

當(dāng)工￡［(,+00)時,

f(X)=3+1)-Jx+2”33ln(x+1)-Jx+2”3f/幾q+1)-J?+2

X-+1>1.78>V^,-+2>2.78>2.56=1.62,

44

所以/(x)〈三鼠(@_立^=［^_|<_2,

,、3行,

g(x)…---…-2,

a

所以當(dāng)無嗚，+00)時，〃x),,g(x)恒成立,

故a的取值范圍為(-8,-呼］.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了不等式的恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想的

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應(yīng)用，屬于中檔題.

2.已知函數(shù)/(x)=xe"-I,g(x)=txlnx—ex+1(ZeR).

(1)當(dāng)，=1時，求證：g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)工…1時，/(x)+g(x)...O,求，的取值范圍.

【分析】(1)把r=1代入，先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)由2知不等式整理可得X.』時,(x-l)ex-x2+txlnx+1..0(*),構(gòu)造函數(shù)/z(x)=(x-l)e"-Y+1,

X.1,對〃(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)可求.

【解答】(1)證明：當(dāng)￡=1時，g(x)=xlnx-ex+\,

則g'(x)=lnx+l-ex,

所以g"(x)=』-e，在(0,+8)上單調(diào)遞減，g"(-)=2-V^>0,g"(1)=l-e<0,

x2

故存在天￡(［，1),使得g"(Xo)='—/。=o,即/=-加：0，

2%

當(dāng)xe(O,%o)時,g"(x)〉0,g<x)單調(diào)遞增,當(dāng)X￡(%0,+8)時,g"(x)<0,g%r)單調(diào)遞減,

所以g'(x),,g'(x())=lnxQ+1——IHXQ+1-----——x0+1------<0，

%%

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(2)解：當(dāng)x…1時，/(x)+g(x)…0，

則入..』時，(x—l)ex—x2+txlnx+1..0(*),

令h(x)=(x—l)ex—x2+txlnx+1,x..』，

貝!Jh\x)=xex-2x+tlnx+/,h(1)=0,

若使得(*)成立且〃(1)=0,則/(1)=t+e-2..O,即￡.2—e,

下面證明當(dāng)￡.2-e時，hg..h(1)在工」時恒成立，

因為X..1，/〃x+l〉0,

所以〃(%)..x(ex-2)+(2-e)(l+Inx),

又歷x+l,x,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

所以〃(%)../(/-2)+(2-e)x=x(ex-e)...O,

故〃(x)單調(diào)遞增，h(x)...h(1)=0,即(*)恒成立,

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

故/的取值范圍為［2-e,+00).

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.已知函數(shù)=玩v(ae火).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=/(x)-2x+l存在兩個極值點(diǎn)，且不是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，求證：g(Xo)>：-g/"2.

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

(2)利用條件/是函數(shù)的極值點(diǎn)，確定°的數(shù)值，然后證明：g(x0)>|-1z?2.

【解答】解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+oo),_T(X)=2X+@=2/，

XX

當(dāng)a.O時，/'(x)>0恒成立，函數(shù)/(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，令/(X)=0,得x=或x=-卜g"(不合題意，舍去)，

貝UO<x<j|時，f'(x)<0,當(dāng)時，f'(x)>0,

二函數(shù)/(x)在(0,后)上單調(diào)遞減，在(*，+◎上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a..O時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，函數(shù)〃x)在(0,白)上單調(diào)遞減，在(弓，+◎上單調(diào)遞增.

(2)證明：,/g(x)=M一2%+1+alnx,

g\x)=2x-2+—=

x

,?,函數(shù)g(x)存在兩個極值點(diǎn)，設(shè)兩個極值點(diǎn)為再，%,

/.Xj,x0是方程2-—2%+。=0的兩個不同的正根，

—4—8a>0,—>0,「.0<。<2，再+/=1,

???函數(shù)y=2f—2x+a開口向上，與x軸交于兩點(diǎn)，%是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn),

玉<%0,從而；</<1,

由—2x0+a=0,得a=—2片+2XQ9XQG(—,1),

g(x())=(尤。-I)?+(2x0-2x；)lnx0,

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

設(shè)恤)=Q-1)2+(2?-2f2)/??(!<?<1),

■.■h'(t)=2(l-2t)lnt>0,

,2)在(；,1)上遞增，

/7(0>A(1)=|-1Z?2,

/、

g(x0)>11]1歷,C2.

【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值問題.對于參數(shù)問題要注意進(jìn)行分類

討論，屬于中檔題.

4.已知函數(shù)/(x)=/*_辦_1(。eR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)>0對xe(0,+co)恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：若〃x)在區(qū)間(0,+⑹上存在唯一零點(diǎn)％,則/<a-2.

【分析】(1)討論以0、。>0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；

(2)由f'(x)=2e2x-a,討論與2、a>2研究導(dǎo)數(shù)符號判斷/(x)單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)不等式是否恒成立,

即可得參數(shù)范圍；

(3)根據(jù)(2)結(jié)論及零點(diǎn)存在性確定a>2時“X)在(；)],+00)上存在唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)

性，應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證/(4-2)>0在。>2上恒成立，即可證結(jié)論.

【解答】解：(1)由題設(shè)_f(x)=2e2"-a,

當(dāng)q,0時，/'(x)>0,則/(x)在R上遞增;

當(dāng)4>0時，

令尸(外<0,得x<；嗎,/(X)在(一8,m吟)上遞減；

令/'(x)>0,得x>；山/(x)在(；/吟,+8)上遞增；

綜上，a,0時，“X)的遞增區(qū)間為R,無遞減區(qū)間；a>0時，/(x)的遞減區(qū)間為(-00、力學(xué)，遞增區(qū)間

為2，+0°^,

(2)由f(x)=2e2x-a,

當(dāng)為2時，/(x)>0在(0,+oo)上恒成立，故在(0,+8)上遞增，則/(x)>〃0)=0,滿足要求;

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

當(dāng)a>2時，由(1)知：“X)在(-oo」勿巴)上遞減，在d勿區(qū),+oo)上遞增，|Tff-/?->0,

222222

所以/⑴在(0,；/吟)上遞減，在(；%,+00)上遞增，要使/(x)〉0對X￡(0,+oo)恒成立，

所以，只需/d■勿區(qū))=區(qū)一區(qū)歷烏一1〉0,

22222

令g(x)=x—x而%—1且%>1，貝!Jg'(x)=—而x<0,即g(x)遞減，

所以g(x)<g(1)=0,故在x￡(0,+oo)上/(x)>0不存在。>2；

綜上，名2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,2］；

(3)證明：由(2)知:%2時，在(0,+oo)恒有/(幻>0,故不可能有零點(diǎn);

a>2時，/(x)在(。［嗚)上遞減，在(：/吟,+◎上遞增，且/,(0)=0，

所以(。］%)上〃>)<0，無零點(diǎn)，即)"|)<0，且x趨向于正無窮時/(x)趨向正無窮，

所以，在(；/吟,+00)上存在唯一X。，使/'(尤0)=02'。-1=0,

要證X。<a-2,只需/(a-2)=e2(2)--2)-1>0在a>2上恒成立即可,

令t=a-2>Q,若〃")=e”_?+2)_］,則/⑺=2(e"—1),

令p(t)=e2,-t-l,則p'S=2e"-1>0,即p(t)在(0,+oo)上遞增,故p(t)>〃(0)=0,

所以〃。)>0,即2)在(0,+8)上遞增，故為⑺>刀(0)=0,

所以/(。_2)=62(-2)_縱._2)_1>0在°>2上恒成立，得證；

故X。<a—2,得證.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的恒成立問題，考查邏輯推理能

力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5.已知函數(shù)〃x)=蛆-旌

X

(I)當(dāng)左=0時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程；

(II)若/(x),,0恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(III)證明：ln—+ln—+...+ln—<—(—+—+...+—)(?>l,neN*).

23ne23n

【分析】(I)當(dāng)左=0時，函數(shù)/(x)=媽，f(e)=-,利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得廣(x),即可得出廣(e),

xe

利用點(diǎn)斜式即可得出曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程.

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

(II)“X),,0恒成立，化為左..①的最大值，由/(x)=上?,f(e)=0,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即

XX

可得出極值與最值，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)左的取值范圍.

(III)由(II)可得：—?-,可得歷x,L,xe(0,+oo),分別令x=L-,,利用累加求和方

xee23n

法即可證明結(jié)論.

【解答】解：(I)當(dāng)人=0時，函數(shù)/(%)=—

仆)=可

X

f(e)=0,

二.曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為》-，=0.

e

(II)/(x),0恒成立，化為上.‘竺的最大值,

X

由/'(')=與竺，/'(e)=0,

x

可得x￡(0,e)時，f\x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；x￡?+oo)時，/\%)<0,函數(shù)/(幻單調(diào)遞減.

.?.x=e時，函數(shù)/(x)取得極大值即最大值，f(e)=-.

e

k..，

e

，實(shí)數(shù)后的取值范圍為d，+00).

e

lyiY11

(HI)證明：由(II)可得：—?:.lnx「x,xe(0,+oo),

xee

分別令x=』，...，1,

23n

mil7111,1117111

2e23e3nen

.In—FIn—F...+In-<一(—I---F...+-)(?>1,nGN*).

23ne23n

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值及最值、切線方程、累加求和方法、不等式的證明，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

6.已知/(x)=2lnx+ax+—^.x=1處的切線方程為y=-3x.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)/(%)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意XG[1,+oo),都有/(%)-/'(X),-2%+—+1.

【分析】(1)根據(jù)條件得到關(guān)于4,6的方程，即可得到結(jié)果;

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

(2)根據(jù)題意，令g(x)=〃x)-/'(X)-(-2x+,+l),然后求導(dǎo)得到其在xe[l,+00)上的最大值，即可得

X

證.

【解答】解：(1)由題意可得，f(1)=a+b=-3f且f\x)=—+a—■%,貝U/'(1)=2+q—6=—3,即

xx

a-b=-5，

則。=-4,b=1,

所以/(x)=2lnx-4x+—；

x

i?1

(2)證明：由(1)可知,f(x)=2lnx-4x+-,f\x)=一一4一~

XXX

所以/(%)_/(%)=2萬x-4%--+-^-+4,

xx

g(x)=21nx—4x---1——+4-(—2xH---F1)=2lnx—2x----1——+3,

'XXXXX

則g,(x)=-2+1-餐=一2(1-qa+x),

XXXX

所以X...1時，g'(x)=-2(j?a+x),,0,

X

即g(x)在XE[1,+00)上單調(diào)遞減，

所以g(x)”g(1),即g(x)=2/nx—4x---1--r+4—(—2x-f---卜1)?0，

xxx

所以/(x)-/'(X)_(-2x+-+1)?0,即/(%)-f'g,-2X+-+1.

XX

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，考查邏輯

推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.已知函數(shù)/'(》)=爐+左/”(工+1)-1(左€尺).

(1)當(dāng)左=1時，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若對任意xe(l,+oo),者隋/(x)…0,求實(shí)數(shù)左的取值范圍;

(3)當(dāng)上..-工時，對任意的s,;e[0,+oo),且sw/,試比較八s)+f'S與2/(s)-2f⑴的大小.

2s-t

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)由已知不等式恒成立且"0)=0知/'(0)=0,進(jìn)而求得左=-1,再代入y=/(x)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究〃x)…0

恒成立，根據(jù)充要關(guān)系確定參數(shù)值；

(3)設(shè)s>>..0,構(gòu)造8(5)=[7")+尸(。](5—)-2[/($)-/(切，利用導(dǎo)數(shù)研究g(s)單調(diào)性,進(jìn)而確定其函

數(shù)值符號，即可證結(jié)論.

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【解答】解：(1)當(dāng)斤=1時/(x)=/+/〃(尤+1)-1,/(0)=0,所以/'(X)=/+」一，/'(0)=2,

X+1

所以>=〃x)在點(diǎn)(0，/(0))處的切線方程為2x-y=0.

(2)對Vxe(-1,+8)都有/(x)...O且〃0)=0,而/(?=6工+上,則/(0)=1+左=0,

X+1

所以后=-1,止匕時/(無)=+故r(x)=g(x)=e，—一—,貝l]g'(x)=/+—

X+1(X+1)

在xe(-l,+oo)上,g\x)>0,即g(x)=/(x)單調(diào)遞增，且八0)=0,

當(dāng)xw(-1,0)時，/\0)<0,/(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xw(0,+oo)時，/'(0)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以/(x).J(0)=0,滿足題意,

綜上，k=—1.

(3)不妨設(shè)s1.O,令g(s)=Lr(s)+r(/)Ks—)-2[/(s)-/?)],

所以g'(s)=/W-0+,則g"(s)=尸(s)(s-f),

又…V'

且x>0,

2k1

當(dāng)上U(x)="+------c---------,而e*>1,----<1,

(X+1)3…(X+1)3(x+l)3

所以/”(x)>0,故g"(x)=〃(s)(s—)>0，g'⑸在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(s)>g，《)=0,所以g(s)單調(diào)遞增，故g(s)>g(f)=0,

所以g(s)=[『(s)+/'(初(s-f)-2[/(s)-/⑺]>0,即以⑸+=(/)>2/⑻-2"。.

s-t

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的恒成立

問題，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.已知函數(shù)/(%)=〃(/一%-1)一>(x+l)+x,a..O.

(1)證明：/(x)存在唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)g(x)=ae”+x,若存在再，x2G(-1,+OO),使得/(石)=g(%J-g(%2)，證明：-2x2..l-2ln2.

【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)求/(%)單調(diào)性，結(jié)合/(0)=0即可求解.

(2)由題意可得歷($+1)+〃(項+i)="*+馬，若王是方程打(、+1)+〃(、+1)=6的根，則歷(占+i)是方程

ae'+x=6的根，所以工2=》(再+1)，玉-2%2=玉-2/〃(玉+1),再利用導(dǎo)函數(shù)求1-2歷(x+1)的最小值即可.

【解答】證明：(1)由題意可得了'(x)=a(e，-l)-——+1,

X+1

11

記產(chǎn)(%)=f\x)=a(ex-1)------Fl,貝UP(x)=ae-------,

x+1(X+1)

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

因為a..0時，F(xiàn)(x)>0恒成立，所以尸(x)=7'(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

因為/'(0)=0,所以/'(尤)在(-1,0)上恒小于0,在(0,+8)上恒大于0,

所以/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增，

因為/(0)=0,所以/(x)有唯一零點(diǎn)0.

(2)由/區(qū))=g(xj-g(xz)可得/"(X]+1)+。(玉+1)=a*+尤2，

若X]是方程加(x+l)+a(x+l)=b的根,則/"區(qū)+1)是方程ae*+x=b的根,

Hm(x)=ln{x+1)+a(x+1),n{x)=aex+x都單調(diào)遞增，

所以x?=ln(xi+1),&-2X2=-21Mxi+1)，

7丫一1

設(shè)〃(x)=x-2/〃(x+l),h\x)=1-----=----，

x+1x+1

所以h'{x}>0的解為(l,+oo),h\x)<0的解為(-1,1)，

所以〃(x)在上遞減，在(1,+8)上遞增，

所以〃(x)的最小值為〃(1)=l-2ln2,即再-2%的最小值為1-202.

故原不等式成立.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)零點(diǎn)以及不等式的證明，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

9.已知函數(shù)/(x)=/?x-3x.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vxe(0,+8),f(x)<x(aex-4)+6,證明：a+b...O.

【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；

(2)要證原不等式成立，等價于證明/”(xe)辦/+6在xe(0,+oo)上恒成立，結(jié)合不等式構(gòu)造函數(shù)，對新

函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)可證.

【解答】(1)解：r(x)=-1-3=^1—一3丫,x>0,

XX

當(dāng)0<x<；時，f\x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，f\x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(02)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為4，+oo)；

(2)證明：若V%￡(0,+8)，/(x)<x(aex—4)+F,

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

則VxG(0,+co),Inx-3x<x{aex-4)+6,

所以Inx+x?axex+b,

所以ln(xex\axex+6在%￡(0,+8)上恒成立，

令，=xex,￡>0,

則歷4成+6在，>0時恒成立，

當(dāng)q,0時，lnt?at+b^t>0時不可能恒成立，

故。>0,

令g?)=at+b-lnt,貝!Jgf(t)=——,

t

當(dāng)0</<!時，g'(/)<0,g?)單調(diào)遞減，當(dāng)"工時，g'(t)>0,g。)單調(diào)遞增，

aa

故當(dāng)公工時，g(。取得極小值，也是最小值g(3=l+b+Ina...0，

aa

所以6...-Ina—1,

所以〃+k..a-Ina-1,

令〃(a)=a-Ina-1,〃>0,

則〃(a)=1-1=—,

aa

易得，a>l時，h'(a)>0,h(a)單調(diào)遞增，當(dāng)0<°<l時，h'(a)<0,h(a)單調(diào)遞減，

故〃(a)min=h(1)=0,

所以a+”..0.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了函數(shù)的性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用，屬于中

檔題.

10.已知函數(shù)/(x)=x/〃x+q,g(jc)=2xex-Inx—x-ln2.