高考數(shù)學二輪復習：立體幾何綜合小題必刷100題

專題19立體幾何綜合小題必刷100題

任務一:善良模式（基礎）「30題

一、單選題

1.已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2,則該正四棱錐的體積為（）

A.—B.472C.逋D.4^/3

33

【答案】A

【分析】

計算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積.

【詳解】

正四棱錐的底面積為2x2=4,正四棱錐的高為j2?-（亞了=拒

因此，該正四棱錐的體積為‘X收、4=逆.

33

故選：A.

2.已知加，〃為兩條不同的直線，口,尸為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加〃〃，〃ua,則〃?//aB.若加〃a,“ua,貝！|機〃〃

C.若能ua,"u〃，mlln,則a//￡D.若a〃0，mua,則加//々

【答案】D

【分析】

利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解

【詳解】

選項A：有可能出現(xiàn)冽ua的情況；

選項B：加和〃有可能異面；

選項C：a和A有可能相交；

選項D：由a〃夕，mua,得直線加和平面「沒有公共點，所以加///,

01/140

故選：D

3.如圖，空間四邊形。tBC中，點M在線段CM上，且兩=2通5,N為2c的中點，MN=xOA+yOB+zOC,

則x,y,z的值分別為（）

【答案】B

【分析】

利用空間向量的基本定理求解.

【詳解】

__?__?___?1__?__?O__,

因為而=而_兩=5（歷+雙）況

2-11-

二——a+—b+7—c,

322

所以尤=一|"，y=g，z=\-

故選：B.

4.已知。，P，7是三個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）

A.若冽//a,mil。,則a//￡B.若冽//a,〃//a,則加〃〃

C.若加_La,n-La,則加〃"D.若a_L/,則。//6

【答案】C

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【分析】

利用空間中點線面之間的位置關系即可對每個選項做出判斷，從而選出正確選項.

【詳解】

對于選項A：若冽〃a,mlIp,則a與尸平行或相交，故選項A不正確；

對于選項B：若冽〃a,nila,則加與〃可平行、異面、或相交，故選項B不正確；

對于選項C：若m，a,則加〃”，垂直于同一平面的兩個直線平行，故選項C正確；

對于選項D：若a~Ly,0工丫,則a與尸平行或相交，故選項D不正確.

故選：C

5.已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則

該四棱錐的體積（單位：co?）是（）

A—B.述C.逑D,

3333

【答案】B

【分析】

根據(jù)四棱錐尸-/BCD是正四棱錐求解.

【詳解】

如圖所示：

由題意知：四棱錐是正四棱錐,

因為四棱錐尸-48CD的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形,

03/140

所以PE=2,3C=2,

則正四棱錐的高為：P0=\IPE2-EO2=V3>

又因為俯視圖為正方形，

所以％=:x2x2x6=

故選：B

6.在正方體中，則直線4。與直線4C所成角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】

設正方體的棱長為。，連接4G，證明4G//NC可得NO4G或其補角即為直線4。與直線4C所成角，在

△D4G中求NO4G即可求解.

【詳解】

設正方體ABCD-44G2的棱長為a,連接4G,

因為AAJ/CC,且AAX=CCX,所以四邊形/4GC是平行四邊形，

可得4CJ/4C,

所以/04G或其補角即為直線4。與直線AC所成角，

在中，DA\=AG=DC[=4ia,所以ND4G=60°,

所以直線4。與直線AC所成角大小為60。，

故選：C.

04/140

7.正方體/BCD-4與G2的棱長為2,P為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足也卜迷，則△P3C面積的最小

值為（）

A.1B.72C.2D.2-V2

【答案】B

【分析】

建立空間直角坐標系如圖所示，設尸（2/,z）由歸。|=V6,得出點尸的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得|P8L，

再根據(jù)垂直關系求出△P8C面積的最小值.

【詳解】

以點。為原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則R（0,0,2）,5（2,2,0）,設尸（2,%z）

所以陷J=j4+j/+(z-2)2=屈,得/+(Z-2)2=2,

22

所以戶B/n=7(2-0)+(0-2)-V2=72

因為8C_L平面/3片4,所以

05/140

故aPBC面積的最小值為S=^BC\-\PB\m.a=V2

故選：B

8.在直三棱柱/8C-481G中，44cs=90。.2、耳分別是/畫、4G的中點，CA=CB=C(則44與

82所成角的余弦值為()

.V15口回「后nV30

15151010

【答案】D

【分析】

以C為坐標原點，以CB、CA、CG方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標系，如圖，設=B=CQ=1,

分別求出國、布的坐標，根據(jù)空間向量的數(shù)量積求出cos(西，布)即可.

【詳解】

以C為坐標原點，以CB、CA,CG方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標系，

如圖，設8C=NC=CG=I,5(1,0,0),^(1,0,1),40,1,0),4(0,1,^,4]1j<(0,0,),與

——.11——-1

則BD、=（一5,5,1）,,

甌?布_V30

所以cos（AD],/&

阿西「10

故選：D

06/140

1

9.如圖，在正方體48繆-4月￡〃中，則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.初〃平面CB、D\B./ZLL平面CBA

C.AC」BDD.異面直線與絹所成的角為45°

【答案】B

【分析】

利用直線與平面平移以及垂直的關系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即可.

【詳解】

解：A,在正方體48（力-454〃中，①初〃44，打〃?平面小〃；

做?平面CBR；所以初〃平面CB。；A正確；

B,；AD//4〃，且42，平面DCCR,所以1,平面DCCR,

又平面OCG2與平面啰〃不平行，所以/〃與平面仍〃不平行，；B不正確;

07/140

C,zc在底面/配9上的射影ZGBDLAQ所以ZC；_L初；C正確；

D,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得/。//5c

所以異面直線m與團所成的角即為直線與4所成的角，

由/5。耳=45°,所以異面直線4?與綱所成的角為45°；D正確

故選：B.

10.已知向量方=(2/+1,3,卬-1),b=(2,m,—ni),且，〃B，則實數(shù)"的值等于()

A.—B.—2

2

3-

C.0D.—或一2

2

【答案】B

【分析】

利用空間向量平行的坐標表示，即可求得結(jié)果.

【詳解】

當m=0時，a=(1,3,—1),3=(2,0,0),

不與B不平行，

.2機+13m-]

，.-----=—=-----,斛得〃=一2.

2m-m

故選：B

11.正方體480-46C〃中，E,尸分別是線段5G以5的中點，則直線46與直線跖的位置關系是(

A.相交B.異面

C.平行D.垂直

【答案】A

【分析】

連接82，C2，C2與CQ交于點F,易得4BCA是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線48與

直線EF的位置關系.

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【詳解】

如圖所示，連接回九cn,與G。交于點F,

由題意，易得四邊形48cA是平行四邊形，

在平行四邊形48cA中，E,b分別是線段8C,C2的中點，

J.EFUBD,,又45c3,=5且4,民瓦尸共面，則直線與直線所相交.

故選：A.

12.已知直三棱柱中，ZABC=60',AB=2,BC=CC,=1,則異面直線工片與BQ所成角

的余弦值為（）

A.—B.0C.—D.—

253

【答案】B

【分析】

先用余弦定理求出/C=g,再由勾股定理可證8CL/C,可所以C4C8,CG兩兩垂直，如圖建立空間直

角坐標系，求出各點坐標以及福、房的坐標，利用空間向量夾角公式計算卜色（福，西，即可求解.

【詳解】

因為直三棱柱NBC-44cl中，ZABC=60°?48=2,BC=\,

在A/8C中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=4+l-2x2xlx-=3,

2

所以/c=Vs，

所以5。2+/。2=/82,所以3CL/C,進而可得C4C3,C。兩兩垂直，

09/140

所以以C為原點，C8為X軸，。為了軸，CG為Z軸，建立空間直角坐標系,

則/（0,6,0）,5（1,0,0）,片（1,0,1）,Q（0,0,1）,函=（1,一后1）,5Q=（-1,0,1）,

所以cos（/"四TB",g”網(wǎng)HB苑C（廣—本1+0近+1=0,

設異面直線ABX與BCX所成角的平面角為0,

則異面直線ABt與BCt所成角的余弦值為：cose=|cos（Z8；,SC；）|=0,

故選：B.

13.把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根

鐵絲都有接觸點（皮球不變形），則皮球的半徑為（）

A.IOA/3cmB.10cm

C.IOA/2cmD.30cm

【答案】B

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【分析】

判斷出球心的位置，由此計算出球的半徑.

【詳解】

依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且OS，平面48CD,則05,04.

OA=OB=OC=OD=-AC=-xyl2,Q2+2.Q2=1072,

22

OS=^!AS2-O^=yJ202-（10x/2）：=10j2,

所以CM=08=OC=O。=OS=100，

O到AB,BC,CD,40的距離都是工48=10,

2

在等腰直角三角形。4s中，。到S4的距離為』&4=10,

2

同理可得。到S3,SC,SO的距離也是10.

所以。是皮球的球心，且皮球的半徑為10cm.

故選：B

14.一種特殊的四面體叫做“鱉腌”，它的四個面均為直角三角形.如圖，在四面體尸-應化中，設￡,F6

別是陽，如上的點，連接/￡,AF,1'（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（）

11/140

F

B

A.6個B.8個

C.10個D.12個

【答案】C

【分析】

由題設，若四面體三力用為“鱉賺'，應用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需/"麻AELPC、EFVPC,

即尸爐也是“鱉腌”，即可保證直角三角形最多，進而確定個數(shù)即可.

【詳解】

為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設四面體P-加?。為“鱉席”，

其中序_L面ABC,8Cu面ABC,則PAVBC,

又AB1BC,AB^PA=A,

面PAB.

若AELPB,EFLPC-.

由啰_1面PAB,aCu面PBC,則面用員L面PBC,又力樂=面PAB,面PABH面PBC=PB,

，/￡_L面陽GEF、PCu面PBC,則且/￡J_PG又EF1PC,

...四面體產(chǎn)一/斯也是“鱉膀”，則10個三角形全是直角三角形，

故選：C.

15.在四棱錐尸-/BCD中，底面是邊長為4的正方形，且PA=2,PB=PD=2也,則四棱錐外接球的表面

積為（）

A.4）B.8%C.36%D.144萬

【答案】C

【分析】

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利用勾股定理判斷P/J■平面/BCD,過正方形4BCD的中心。'作垂線，再過上4中點作此垂線的垂線，交

點0即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.

【詳解】

由題意可知尸才+幺笈=尸笈，pH+AD?=PD?,

所以PALAD,

又ABc4D=A,

所以P4_L平面48cD,

過正方形ABCD的中心O作垂線，

再過PZ中點作此垂線的垂線，交點為

此點即為外接球的球心，

則外接球半徑R=OA=JF+(2司=3,

所以四棱錐外接球的表面積S=4;TR2=36%.

故選：C

二、多選題

16.給出下列命題，其中正確的有()

A.空間任意三個向量都可以作為一組基底

B.已知向量?！?，則￡、書與任何向量都不能構成空間的一組基底

C.已知空間向量3=(1,0,1),1=(2,-1,2),則沆

D.已知空間向量3=(1,0,1),3=(2,-1,2),則向量￡在向量往上的投影向量的坐標是

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【答案】BD

【分析】

對選項A,B,根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯誤，B正確，對選項C,根據(jù)空間向量平行的坐標運算

即可判斷C錯誤，對選項D,根據(jù)投影向量概念求解即可.

【詳解】

對選項A,因為空間中只有不共面的三個向量可以作為一組基底，故A錯誤.

對選項B,因為°//6，則0、］與任何向量都是共面向量，故B正確.

對選項C,“=(1,0,1),B=(2,-1,2),

因為1片二，所以2、1不平行，故C錯誤?

2—1

對選項D,75=2+0+2=4，W=)4+1+4=3,

a-bb41G-"8481

所以向量Z在向量石上的投影向量為歸，同=5'§(2，-1，2)=丘,一§,寸故口正確.

故選：BD

17.如圖，正方體/BCD-4烏GR的棱長為4,以下結(jié)論正確的是()

A.直線4D與BG是異面直線

B.直線4。與8G平行

C.直線耳。與82垂直

14/140

D.三棱錐4-3CQ的體積為7

【答案】AD

【分析】

A選項結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得4。，8弓即可判斷；C由直線用。與8,是矩形的兩

條對角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個三棱錐的體積即可求出結(jié)果判斷.

【詳解】

直線絹D在平面8CG4內(nèi)與5G沒有交點，所以直線斗□與8G是異面直線，故4項正確；

因為/8//?？冢襈8=G2,所以四邊形/BG2為平行四邊，因此/々/〃G，又因為/。，/巳，所以

4DL8G，故8項錯誤；

直線用。與22是矩形2D，片的兩條對角線，不垂直，故C項錯誤；

囁［-BC］。=/XBCD-4m-叱廣北口―^Ct-BCD~~'C1-A^B

笳11〃…11…）11〃…11…〃64

=4——X—x4x4x4—X—x4x4x4--x—x4x4x4——x—x4x4x4=——.

323232323

故2項正確.

故選：AD.

18.如圖，正方體/BCD-4坊G2的棱長為1,點P是棱CG上的一個動點（包含端點），則下列說法正確

的是（）

15/140

A.存在點尸，使。尸//面/耳％

B.二面角P-84-D的平面角大小為60°

C.P5+P。的最小值是行

D.P到平面/4，的距離最大值是包

3

【答案】AC

【分析】

對于A,當尸與G重合時可得結(jié)論，對于B,二面角尸-84-。就是二面角C-54-D,從而可求出結(jié)果,

對于C,如圖沿棱CG展開面及8CG為面QC尸E,利用兩點之間線段最短判斷，對于D,當P與C重合時,

點。到面/耳2的距離最大，從而可求得結(jié)果

【詳解】

對于A,當尸與。重合時，DP//4用，根據(jù)線面平行的判定，可得使。尸〃面/烏。，故正確；

對于B,二面角尸-B4-。就是二面角C-5B]-。，其平面角大小為45。.故錯；

對于C,如圖沿棱CG展開面B|2CC1為面GCFE,使點A，D,C,G，E,尸共面，則PB+PB的最小

值為D、F='Dp+力尸2=石，故正確；

對于D,當尸與C重合時，4c垂直平面/耳劣，止匕時點C到面距離最大值為：4C=孚，故錯.

故選：AC.

16/140

19.已知加、〃是兩條不同的直線，a、/、/是三個不同的平面.下列說法中正確的是（）

A.若加〃a,muB,aC}/3-n,則切〃"B.若m/ln,mlla,貝

C.若ac/3=n,aVf},PLy,則D.若〃z_La,m1J3,ally,則尸〃7

【答案】ACD

【分析】

對于A,利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對于B,利用線面平行的判定定理判斷，對于C,利用線面垂直的

判定定理判斷即可，對于D,利用面面平行的判定方法判斷

【詳解】

由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確;

若機〃a,機〃〃，則〃〃a或〃即B錯誤;

設46的法向量分別為Z1,若tzn?=〃，則〃加，又a_L/,Q_L7，則￡〃7,B〃/,所以〃_Ly,

即C正確;

若加，則a〃尸，又a〃7,則夕〃7,即D正確.

故選：ACD

20.在下列條件中，不能使〃與力，B,C一定共面的是（

——1—1—1—

A.OM=2OA-OB-OC■,B.OM=-OA+-OB+-OC；

532

UUUULlllULIUL

C.MA+MB+MC=0^D.OM+OA+OB+OC

【答案】ABD

【分析】

17/140

根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

〃■與A,B,C一定共面的充要條件是血=+y礪+z反,x+y+z=l,

對于A選項，由于2-1-1=0/1,所以不能得出M48,C共面，

對于B選項，由于—I--1—71,所以不能得出C共面，

532

對于C選項，由于疝=-施-嬴，則立，礪，流為共面向量，所以48,C共面,

對于D選項，由兩+方+9+反=0得^^一方-礪-雙，而一1一1一1=一3片1,所以不能得出跖4民。

共面.

故選：ABD

21.如圖，在正方體中，。為底面的中心，產(chǎn)為所在棱的中點，M,“為正方體的頂點.則滿足"NLOP的

是（）

【答案】BC

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】

設正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接/C,則AW///C,

18/140

故NPOC（或其補角）為異面直線OR九處所成的角,

1_V2

在直角三角形。尸C,oc=6,CP=I故tanZPOC=

正二3

故MNLOP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取NT的中點為0,連接尸。，OQ,則OQLNT,PQLMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN1平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故而SNCMN=N,故平面SNZM,

又MNu平面SNTM,OQA.MN,而。?？谑?=。，

所以跖V_L平面。尸。，而尸Ou平面。尸0,故MN1OP,故B正確.

對于C,如圖（3）,連接5。，則BDIIMN,由B的判斷可得。尸，3D,

19/140

故OP1MN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取/。的中點。，NB的中點K,連接NC,PQ,OQ,PK,OK,

貝ljAC//MN,

因為DP=PC,i^PQUAC,故尸?！臯,

所以ZQPO或其補角為異面直線POMN所成的角，

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故尸。行，0Q=y/AO2+AQ2=Vb+2=73,

PO=yJPK2+OK2=V4+I=V5>QO2<PQ2+OP2,故N。尸。不是直角,

故尸O,九W不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

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22.設一空心球是在一個大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已知內(nèi)球面上的

點與外球面上的點的最短距離為L若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，貝I（）

A.該正方體的核長為2B.該正方體的體對角線長為3+劣

C.空心球的內(nèi)球半徑為百-1D.空心球的外球表面積為（12+6百）兀

【答案】BD

【分析】

設內(nèi)外球半徑分別為r,R,利用正方體的對角線求得尺=6廠，根據(jù)兩球上點的距離最小值為&-=1,求

解后得到r,R,進而求得正方體的對角線和外接球的表面積.

【詳解】

設內(nèi)外球半徑分別為r,R,則正方體的棱長為2r,體對角線長為2R,，R,

又由題知K-r=l,所以r=立土1,R=*+3,

22

正方體棱長為g+1，體對角線長為3+右，

外接球表面積為兀（3+百）=（12+66）兀，

故選：BD.

23.在正三棱柱N2C-4月G中，AB=\,AA,=2,BQ與片C交于點尸，點￡是線段4月上的動點，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.AF=-AB+-AC+-AA

2221

B.存在點使得AF_LBE

C.三棱錐3-/￡尸的體積為必

12

D.直線/F與平面3CGA所成角的余弦值為叵

7

【答案】AC

【分析】

21/140

A.利用空間向量運算求解判斷；B.利用空間向量運算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面

角的求解判斷.

【詳解】

由題意，畫出正三棱柱44。如圖所示,

向量言=翔+而=港+，（就+甄）=衣+1■（衣-衣）+工石=工方+1_/+工石,故A正確;

222222

假設存在點￡，設4￡=幾4g，0W4W1,所以

BE=AE-AB=AAi+A^E-AB=AAi+XA^Bl-AB=A^+（A-1）AB.因為/尸，BE,所以

22

AF-BE=-Z8+-^C+-（A-1）I45]=1（2-1）1S+114+|（A-1）^C-I8+1

222

ZZ^-A5=1（A-l）+1x22+|（2-l）xlxlx1=0.^^2=l.故B錯誤;

因為正三棱柱N3C-&B|G，所以/瓦/工百，所以

匕棱錐E—4即一七棱錐與―Z瓦7—‘三棱錐尸-二萬'二棱錐C-/38i=5—三棱錐用-/8C"xlxl速x2」二旦所以

222312

h

匕棱細-g=嚏棱做-w=法，故c正確；

設5c中點為0,所以4OL5C,三棱柱45。-/蜴G是正三棱柱，所以40,平面54G。，所以44廠。即

CF12、/7

AF與平面BB&C所成的角,cosZAFO=器=卡=停.故D錯誤.

故選：AC.

第II卷（非選擇題）

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三、填空題

24.已知正方體辦46c〃的棱長為2,從N分別為明、比■的中點，則三棱錐爐陷的體積為

【答案】1

【分析】

利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】

=

—N-DMC、=—D-NMC、§^^NMCt'

=-x|22--x1x1--xlx2-—xlx2|x2=1

3I222)

故答案為：1

25.已知正三棱錐的底面邊長是6,側(cè)棱與底面所成角為60。，則此三棱錐的體積為

【答案】1873

【分析】

過。作OG1平面4BC交于點G,延長/G交8C于。，在A4BC中，求得NG=2百，

根據(jù)。G_L平面4BC,得到/Q1G=6O。，求得OG=6,結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，過。作OG,平面/8C交于點G,延長/G交3C于。，

所以點G是A/3C的中心，所以4D是等邊A/BC的一條高，其中邊長為6,

所以4D="8C=3VL可得月G=^4D=26，

23

因為OG1平面N3C,所以/O4G=60。，

在直角△O/G中，可得。G=Vl4G=>Ax2百=6,

由的邊長為6,可得S△相c=^x62=9力，

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所以三棱錐。一/3C的體積為廠=；XS.”LOG=；X9^X6=18JI

故答案為：18。.

26.如圖，在直三棱柱/2C-44。中，/4CB=90°,AAl=AC=BC=l,則異面直線為B與所成角

的余弦值是.

【答案】g

3

【分析】

由/勿4G，知NG4B是異面直線/田與/C所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線48與力c

所成角的余弦值.

【詳解】

解：連結(jié)8G，?.3C〃4。，

/C《B是異面直線AXB與/C所成角（或所成角的補角），

:在直三棱柱/8C-481G中，ZACB=^O°,AAl=AC=BC=l,

:?AB=五，43=5BC1=6,4cl=1,

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cosNGA\B=W

???異面直線42與"所成角的余弦值為當

故答案為：4

27.已知圓臺上底半徑為1,下底半徑為3,高為2,則此圓臺的外接球的表面積為.

【答案】40%

【分析】

先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點等于外接球半

徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.

【詳解】

如圖所示，

設外接球半徑為r,球心到上底的距離為右，則球心到下底的距離為-2|

則有y2=1+〃2,r2=9+(2-h)2,解得〃=3,r=VlO.所以外接球的表面積為=40萬.

故答案為：407r

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28.如圖，已知平行六面體中，底面/BCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱/同長為3,且

ZA{AB=N//D=120°,貝|

【答案】V5

【分析】

由空間向量的加法法則有布=15+運+五彳，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算可得.

【詳解】

平彳丁六面體45cz?—中，ACX=AD+AB+AAX,

1?2??―，，??232??2“??-一,,一

AC.=(AD+AB+AA^=AD+AB+AAX+2AB-AD+2AD-AAX+2AB-AAX

=4+4+9+0+2X2X3X(--)+2X2X3X(--)=5

..?./￡=西=氐

故答案為：.

29.如圖，在空間四邊形如回中，刀=［礪=3,1=△點"在如上，且(W=2K4,N為優(yōu)的中點,

則用向量4,3,C表示向量而^=.

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【分析】

根據(jù)跖V=ON-OM=5(OB+OCj-]CM,由此能求出結(jié)果.

【詳解】

:在空間四邊形3%中，厲=￡,礪=3,反=入點〃在物上，且(W=2K4,“為8c的中點,

------.，1/—?—2—-2—1—1f

：.MN=ON-OM=-\OB+OC\——OA=——a+-b+-c.

2、)3322

2一1一1一

故答案為：一；4+76+7。.

322

30.已知四棱錐尸-/&N的頂點都在球。的球面上，底面是邊長為2的正方形，且為，平面2為加

若四棱錐產(chǎn)-/及/的體積為g,則球。的表面積為.

【答案】24%

【分析】

由題意，畫出示意圖，四棱錐產(chǎn)T8切的體積-=；S?P/=；x4xP/=q，PA=4,AC=y/2AB=2s[2>

PC=AC2+AP2=14i>'球〃的半徑尺=3「o=血，進而求解.

【詳解】

解：由題意，畫出示意圖如圖：

則正方形2867?面積94,

■?四棱錐產(chǎn)-的體積%?尸N='X4XP/=3,/.尸4=4,

333

AC=42AB=242>PC=>JAC2+AP2=246

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球。的半徑五=;尸。=病

球。的表面積：S=4兀R?=24萬.

故答案為：24萬

任務二:中立模式（中檔）1-40題

一、單選題

TT

1.在三棱錐尸一48C中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=-,/\PAB,/XPAC,△如C的面積分別記為加邑，品，

且3S]=2S2=2S=36，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）

.2>/6—V3口2^/6—V3

37

C28+1D2血+1

'-3-'-6~

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長，再求出棱錐高得出棱錐體積，由等體積法求出內(nèi)切球

的半徑即可.

【詳解】

百=^-\PA\-\PB\-sinZAPB=告.評出8|=拒,

S?=3?|尸P。?sinZAPC=^-\PA\-\PC\=^,

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5=^\PB\-\PC\-smZBPC=*出C卜?,

解得忸4|=|尸B|=2,\PC\=3,

由余弦定理可得|第=忸C|=V7,|/8|=2,

取的中點。，連接PA,CD,如圖，

可得CDVAB,PD=s/3,CD=46,\PD[+\CD^=\PC\",

所以P￡>_LC7),

所以PD_L平面ABC,

3Vp-4BCV6?V3_2V6-V3

內(nèi)切球半徑=-

SAPAB+SAP*C+SQpBC+SHBC4V3+V67

故選：B

2.在立體幾何探究課上，老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型，同學們在探究的過程中得到

了一些有趣的結(jié)論.已知直線〃平面直線BC〃平面a,b是棱8c上一動點，現(xiàn)有下列三個結(jié)論:

①若M,N分別為棱NC,她的中點，則直線MN〃平面a；

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②在棱8c上存在點凡使平面a；

③當尸為棱比1的中點時，平面/。尸_L平面a.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】

將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項.

【詳解】

可將正四面體放在正方體中研究，如圖，

對于①，由直線工?！ㄆ矫鎍,直線3C〃平面a,知平面a是與左右兩個側(cè)面平行的平面，

是前后兩個側(cè)面的中心（對角線交點），則直線跖V〃平面a或直線MNu平面a,故①錯誤.

對于②，正方體的左、右兩個側(cè)面與平面a平行，因此，與平面a垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或

重合的直線，故②錯誤.

對于③，平面4D尸就是平面皿FE,由DP與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，

故選：A.

AE

3.已知圓臺上底面半徑為3,下底面半徑為4,高為7,若點4B、。在下底面圓的圓周上，且

點?在上底面圓的圓周上，貝!］尸/2+尸82+尸。2的最小值為（）

A.246B.226C.208D.198

【答案】D

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【分析】

問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐尸-/8C且三棱錐有外接球，求PA2+PB2+PC2轉(zhuǎn)化為求QA1+QB2+QC2的最值,

再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.

【詳解】

如圖，

.O

'這

△/6c的外心是AC中點。?,點尸到底面/回的距離為7,設尸所在截面圓的圓心為儀，此截面與平面46C

平行，球心。在上，

22

0。］=SIR-OC=552-42=3,OO2=QQ_OOX=7-3=4，

則r=O2P=_（?&=3,

設P在平面/8C上的射影為0,則o在以。I為圓心，3為半徑的圓，因為aa平面/比；所以用與平面

/6C內(nèi)所有直線都垂直，pg,

所以Pf+尸32+PC1=PQ2+QA2+PQ2+QB2+PQ2+QC2

=QA2+QB2+QC2+141

22

QA+QB+婚=（西+呵2+（函+啊2+（西+西2

--------*2?2?2*2--------*??**

=30。1+0/+0xB+0tC+2Q0x-0xA+2,Q0t-0tB+2Q01-01C

=27+16+16+16+2西.卬+永卜2M印

=75+2的W，

當?shù)?，至反向時，的?前取得最小值T2,

所以PT+PB2+PC2的最小值147+75-2x12=198.

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故選：D

4.北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.

用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的

內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面

體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所以正四面體在各頂點的

7T

曲率為如-3x；=7t,故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為（）

A.2乃B.4乃C.5乃D.67r

【答案】B

【分析】

根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可.

【詳解】

解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，

因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成,

所以面角和為4萬+2汀=6萬，

故總曲率為5X2T-6T=4萬.

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故選：B.

5.如圖，正方體的棱長為1，線段4。上有兩個動點￡,F,且跖=等，則三棱錐N-8跖

的體積為（）

D.不確定

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可知用2〃平面/BCD,而E,尸在線段42上運動，則￡F//平面48cD,從而得出點3到直

線4A的距離不變，求出ABM的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出2。_L平面尸，得出點A到

平面3所的距離為/O=變，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐A-BEF的體積.

2

【詳解】

解：由題可知，正方體/BCO-421G2的棱長為1，

則BQ]//平面43c￡）,又E,尸在線段3a上運動，

斯〃