專項(xiàng)05 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合

專項(xiàng)05二次函數(shù)與幾何圖形的綜合類型一線段最值問題1.(2023安徽合肥五十中期末)如圖，拋物線y=-14x2+bx+c與x軸交于A(-2，0)，B(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，(1)求拋物線的解析式；(2)求線段PE長度的最大值.類型二面積問題2.(2023四川瀘州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+2x+c與坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C(0，6)三點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線x=2.(1)求該拋物線的解析式.(2)點(diǎn)F是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與y軸，直線BC交于點(diǎn)D，E.①當(dāng)CD=CE時(shí)，求CD的長；②若△CAD，△CDE，△CEF的面積分別為S1，S2，S3，且滿足S1+S3=2S2，求點(diǎn)F的坐標(biāo).類型三角度問題3.(2023浙江金華中考)如圖，直線y=52x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線的頂點(diǎn)P在直線AB上，與x軸的交點(diǎn)為C，D，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O.①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求BEEC(2)連接PC，∠CPE與∠BAO能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由. 圖1 圖2類型四特殊三角形存在性問題4.(2023重慶中考B卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中B(3，0)，C(0，(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，寫出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過程寫出來. 備用圖類型五特殊四邊形存在性問題5.(2023四川達(dá)州中考)如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3).(1)求拋物線的解析式.(2)設(shè)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，求出△PBC的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以BC為邊，點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 備用圖類型六相似三角形判定問題6.(2023湖北隨州中考)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1，0)，B(2，0)和C(0，2)，點(diǎn)P(m，n)(m>0)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N.(1)直接寫出拋物線和直線BC的解析式.(2)如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時(shí)，求m的值.(3)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))？若存在，直接寫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 圖1 圖2 備用圖

專項(xiàng)05二次函數(shù)與幾何圖形的綜合答案全解全析1.解析(1)將A(-2，0)，B(8，0)代入y=-14x2+bx+c中，可得即拋物線的解析式為y=-14(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-14x2+32設(shè)BC的解析式為y=kx+n，將B(8，0)，C(0，4)代入，得n解得n即BC的解析式為y=-12x+4∵直線PD⊥x軸，∴點(diǎn)P、E的橫坐標(biāo)相等，設(shè)為m，0<m<8，∴Em,-∴PE=-14m2∵0<m<8，∴當(dāng)m=4時(shí)，線段PE的長取得最大值，最大值為4.2.解析(1)由題意得-∴拋物線的解析式為y=-12x2(2)令y=0，則-12x2+2x+6=0，解得x=6或x=-2∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(6，0).①設(shè)點(diǎn)Fm,-由點(diǎn)A，F(xiàn)的坐標(biāo)得，直線AF的表達(dá)式為y=-12(m-6)(x+2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-12(m-6)(x+2)=6-m，即點(diǎn)D(0，6-m)，則CD=6-6+m=m由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y=-x+6，聯(lián)立得y=?12由點(diǎn)C，E的坐標(biāo)得CE=2∵CD=CE,∴m=22m8?m，解得m=0(舍去)或8-2②過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，∴其面積比為底邊的比，∴S1+∵OD∥EM∥FN，∴ADDE∴AD+EF∴2xE+xF-xE由①知xE=2m8?m，x則3×2m8?m-m=2經(jīng)檢驗(yàn)，m=4是分式方程的根，則點(diǎn)F(4，6).3.解析(1)①∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O(0，0)，C(2，0)，∴其對(duì)稱軸為直線x=1，當(dāng)x=1時(shí)，y=52∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+35把C(2，0)代入，得a+352=0，∴y=?35∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-35②∵直線y=52x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A∴A(-2，0)，B(0，5)，設(shè)直線OP的解析式為y=kx，把P1,352代入，∴直線OP的解析式為y=352如圖a，過點(diǎn)B作BF∥x軸交OP于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為5，在y=352x中，令y=5，則5=35∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴BEEC 圖a 圖b(2)能.如圖b，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)Pm,52m+5，則F(m，0)，∴PF=5在Rt△APF中，AP2=AF2+PF2=(m+2)2+52m+52若∠CPE=∠BAO，∵∠PCD=∠ACP，∴△CPD∽△CAP，∴∠CDP=∠CPA，∵PC=PD，∴∠CDP=∠ACP，∴∠PCD=∠CPA，∴AP=AC，∴94m2+9m+9=16，解得m1=-143(舍去)，m2=∴∠CPE與∠BAO能相等，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為234.解析(1)由題意得c則拋物線的表達(dá)式為y=14(2)在y=14x2+則14x2+14x-3=0，由點(diǎn)A、C知，直線AC的表達(dá)式為y=-34x-3過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，則∠PHC=∠ACO，則tan∠PHC=tan∠ACO=43易求得sin∠PHC=45，則PD=PH·sin∠PHC=45設(shè)點(diǎn)Hn,-34n?3，則點(diǎn)P(n，則PD=45PH=45(-34當(dāng)n=-2時(shí)，PD的長取得最大值，最大值為45，此時(shí)點(diǎn)P-2,-(3)由題意可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為-2+5,-52，即平移后的拋物線的表達(dá)式為y=14(x?5)即y=14x則點(diǎn)F(0，2)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=92設(shè)點(diǎn)Q92,m，則QF2=當(dāng)QE=QF時(shí)，922+(m?2)2=94當(dāng)QF=EF時(shí)，922+(m?2)2=9+81綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為925.解析(1)由題意，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)，則-3a=3，解得a=-1，故拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.(2)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CB于點(diǎn)H，連接PC，PB.設(shè)點(diǎn)P(m，-m2+2m+3)，則點(diǎn)H(m，-m+3)，則△PBC的面積=S△PHC+S△PHB=12PH·xP+12PH·(xB-xP)=1=12PH·OB=3∴△PBC的面積的最大值為278，此時(shí)點(diǎn)P3(3)存在.由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)點(diǎn)M(1，t)，N(x，y)，若BC為菱形BCMN的邊，則BC2=CM2，即32+32=12+(t-3)2，解得t1=17+3,t2∵3+1=0+x,若BC為菱形BCNM的邊，則BC2=BM2，即32+32=(3-1)2+t2，解得t3=14,t4=?∵3+∴N3(-2，14+3),N綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，-17)或(4，17)或(-2，14+3)或(-2，-14+3).6.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1，0)，B(2，0)，∴拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-2)，將點(diǎn)C(0，2)代入得2=-2a，∴a=-1，∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-2)，即y=-x2+x+2.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，將B(2，0)，C(0，2)代入得2k(2)∵點(diǎn)M在直線BC上，且P(m，n)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，-m+2)，又C(0，2)，O(0，0)，∴OC=2，CM2=(m-0)2+(-m+2-2)2=2m2，OM2=m2+(-m+2)2=2m2-4m+4.當(dāng)△OCM為等腰三角形時(shí)，①若CM=OM，則CM2=OM2，即2m2=2m2-4m+4，解得m=1；②若CM=OC，則CM2=OC2，即2m2=4，解得m=2或m=-2(舍去)；③若OM=OC，則OM2=OC2，即2m2-4m+4=4，解得m=2或m=0(舍去).綜上，m=1或m=2或m=2.(3)存在.∵點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB.①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，則∠CBN=45°，BN=2-m，CB=22，當(dāng)△POQ∽△CBN，即∠POQ=45°時(shí)，直線OP的表達(dá)式為y=x，∴-m2+m+2=m，解得m=2或m=-2(舍去)，∴P(2∴OP2=(2)2+(∵OPBC=OQBN當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠PQO=45°時(shí)，PQ=2m，OQ=-m2+m+2+m=-m2+2m+2或OQ=m-(-m2+m+2)=m2-2，∵PQCB解得m=1±5(舍去)或2m22=m∴P1+13②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的