專項(xiàng)18-四邊形中的折疊問題-專題訓(xùn)練

四邊形中的折疊問題-專題訓(xùn)練（30道）一、選擇題1．（淅川縣期末）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處，易證四邊形AECF是平行四邊形．要使四邊形AECF是菱形，則∠BAE的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．50°2．（嘉興二模）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝6，E是CD上一點(diǎn)，連結(jié)AE，△ADE沿直線AE翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為G．若AD＝3GD，則DE的值為（）A．5 B．52 C．6553．（南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，將矩形沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，若AB＝10，AD＝8，則線段AE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（南崗區(qū)模擬）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（江北區(qū)期末）如圖，已知矩形紙片ABCD的兩邊AB＝4，BC＝2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)F處，折痕為BE，則EF的長(zhǎng)為（）A．8?43 B．23 C．436．（海東市三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA＝6，將△ABC沿直線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，AD交x軸于點(diǎn)E，若∠BAC＝30°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(33，?2) B．(33，?3) C．7．（玉田縣一模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處，易證四邊形AECF是平行四邊形．當(dāng)∠BAE為（）度時(shí)，四邊形AECF是菱形．A．30° B．40° C．45° D．50°8．（蓮湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），若將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（38，6） B．（74，6） C．（34，6） 9．（金華模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，8），點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D在y軸上，將∠ABO沿直線CD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．若點(diǎn)E在線段CD延長(zhǎng)線上，且CE＝5，點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，如果以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，那么點(diǎn)N有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．（大鵬新區(qū)二模）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP＝45°時(shí)，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP＝30°時(shí)，△OAD的面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，CD的最小值為234?6；④當(dāng)OD⊥AD時(shí)，BPA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．（阜新）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為．12．（紅橋區(qū)三模）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為6，G是BC的中點(diǎn)，沿著AG折疊該紙片，得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為．13．（渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD邊CD上，將△ADE沿AE翻折，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)F處，若AB＝2CF，CE＝3，連接DF，與AE交于H點(diǎn)，連接BH，則點(diǎn)F到BH的距離為．14．（河南模擬）如圖，在矩形ABCD中，CD＝3，對(duì)角線AC＝5，點(diǎn)G，H分別是線段AD，AC上的點(diǎn)，將△ACD沿直線GH折疊，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)E，F(xiàn)處．當(dāng)點(diǎn)E落在折線CAD上，且AE＝1時(shí)，CH的長(zhǎng)為．15．（寧波模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A與CD邊中點(diǎn)M重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G，則DE長(zhǎng)度為，BG與BC的數(shù)量關(guān)系為．16．（邵陽縣模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠D＝45°，點(diǎn)E在BC邊上，將△ABE沿AE所在的直線折疊得到△AB1E，AB1交CD于點(diǎn)F，使EB1經(jīng)過點(diǎn)C，則CB1的長(zhǎng)度為．17．（拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點(diǎn)E為DC一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，D′落在∠ABC的平分線上，滿足條件的點(diǎn)D′有且僅有一個(gè)，則AF的長(zhǎng)為．18．（泰山區(qū)期末）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．19．（江漢區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，若∠DAF＝18°，則∠DCF＝度．20．（沈河區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，將點(diǎn)C折疊與點(diǎn)E重合，折痕與邊CD和BC分別交于點(diǎn)F和G，當(dāng)DE＝2時(shí)，線段CF的長(zhǎng)是．三、解答題21．（南崗區(qū)模擬）已知：將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AF．（1）如圖1，求證：四邊形AECF為菱形；（2）如圖2，若∠CFG＝60°，連接AC交EF于點(diǎn)O，連接DO，GO，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有的等邊三角形．22．（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，四邊形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，連接CF，把∠D沿CF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．當(dāng)△AFG為直角三角形時(shí)，求CF的長(zhǎng)度．23．（灌南縣二模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAE為多少度時(shí)，四邊形AECF是菱形？請(qǐng)說明理由．24．（下城區(qū)模擬）小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，求矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比值．25．（中山市校級(jí)月考）一張矩形紙ABCD，將點(diǎn)B翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)M處，折痕CE交AB于點(diǎn)E．將點(diǎn)D翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處，折痕AF交DC于點(diǎn)F，折疊出四邊形AECF．（1）求證：AF∥CE；（2）當(dāng)∠BAC＝度時(shí)，四邊形AECF是菱形？說明理由．26．（道里區(qū)二模）在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證：AE⊥BF；（2）如圖2，將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，若AB＝4，求QF的值27．（嶗山區(qū)一模）已知：如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的點(diǎn)，連接AE、CE．（1）求證：AE＝CE；（2）若將△ABE沿AB翻折后得到△ABF，當(dāng)點(diǎn)E在BD的何處時(shí)，四邊形AFBE是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．28．（睢寧縣期中）把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為EF．（1）連接BE，求證：四邊形BFDE是菱形，并說明理由；（2）若AB＝8cm，BC＝16cm，求線段DF及折痕EF的長(zhǎng)．29．（梅列區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG．（1）求∠EDG的度數(shù)．（2）如圖2，E為BC的中點(diǎn)，連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段AG的長(zhǎng)．30．（東城區(qū)一模）閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE+DF，試說明理由．小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對(duì)集中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法．她的方法是將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，再利用全等的知識(shí)解決了這個(gè)問題（如圖2）．參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE+DF；（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的長(zhǎng)．

四邊形中的折疊問題-專題訓(xùn)練（30道）解析版一、選擇題1．（淅川縣期末）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處，易證四邊形AECF是平行四邊形．要使四邊形AECF是菱形，則∠BAE的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．50°【解題思路】證出∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，即可解決問題．【解答過程】解：由折疊的性質(zhì)得：∠BAE＝∠CAE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE，∵四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，∴∠BAE=1故選：A．2．（嘉興二模）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝6，E是CD上一點(diǎn)，連結(jié)AE，△ADE沿直線AE翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為G．若AD＝3GD，則DE的值為（）A．5 B．52 C．655【解題思路】過點(diǎn)E作EH⊥FG，易得四邊形GHED為矩形，則GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝25；設(shè)DE＝x，則GH＝EF＝x，HF＝25?x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE【解答過程】解：過點(diǎn)E作EH⊥FG，交FG于點(diǎn)H，如圖，由題意：△AEF≌△AED，則AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG=A∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四邊形GHED為矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．設(shè)DE＝x，則GH＝EF＝x，HF＝25?x在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴(25解得：x=6∴DE=6故選：C．3．（南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，將矩形沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，若AB＝10，AD＝8，則線段AE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：△EFB≌△EAB，則AE＝EF，BF＝AB＝10；在Rt△BCF中，由勾股定理可得FC＝6，則DF＝4；設(shè)AE＝x，則DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵△EFB是由△EAB沿直線BE翻折得到，∴△EFB≌△EAB，則AE＝EF，BF＝AB＝10．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．在Rt△BCF中，CF=B∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．設(shè)AE＝x，則EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（8﹣x）2+42＝x2．解得：x＝5．則AE＝5．故選：C．4．（南崗區(qū)模擬）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解題思路】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答過程】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分線，∴P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：D．5．（江北區(qū)期末）如圖，已知矩形紙片ABCD的兩邊AB＝4，BC＝2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)F處，折痕為BE，則EF的長(zhǎng)為（）A．8?43 B．23 C．43【解題思路】由翻折的性質(zhì)可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，設(shè)AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，由翻折的性質(zhì)可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，設(shè)AE＝EF＝x，∴CF=B在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴(2?x)∴x=8?43故選：A．6．（海東市三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA＝6，將△ABC沿直線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，AD交x軸于點(diǎn)E，若∠BAC＝30°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(33，?2) B．(33，?3) C．【解題思路】過D點(diǎn)作DF⊥x軸，垂足為F，則DF∥y軸，由矩形的性質(zhì)及30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解AB=63，OE=23，AE=43，結(jié)合折疊的性質(zhì)可求解AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF【解答過程】解：過D點(diǎn)作DF⊥x軸，垂足為F，則DF∥y軸，∵四邊形AOCB為矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，∵∠BAC＝30°，∴AC＝12，OC＝AB=63由折疊可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB=63∴∠OAE＝30°，∴OE=23，AE=4∴ED=23∵DF∥y軸，∴∠EDF＝∠EAO＝30°，∴EF=3，DF∴OF＝OE+EF=33∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（33故選：B．7．（玉田縣一模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處，易證四邊形AECF是平行四邊形．當(dāng)∠BAE為（）度時(shí)，四邊形AECF是菱形．A．30° B．40° C．45° D．50°【解題思路】由折疊性質(zhì)得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA＝EC，于是得到結(jié)論．【解答過程】解：當(dāng)∠BAE＝30°時(shí)，四邊形AECF是菱形，理由：由折疊可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，∵∠B＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，∴EA＝EC，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形，故選：A．8．（蓮湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），若將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（38，6） B．（74，6） C．（34，6） 【解題思路】根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)得出AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCB＝∠OAB＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，求出BE＝OC，根據(jù)全等三角形的判定得出△OCD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝ED，設(shè)CD＝ED＝x，則BD＝8﹣x，根據(jù)勾股定理求出x即可．【解答過程】解：∵B（8，6），四邊形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，∠CDO=∠EDB∠OCD=∠E∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，設(shè)CD＝ED＝x，則BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x=7即CD=7∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（74故選：B．9．（金華模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，8），點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D在y軸上，將∠ABO沿直線CD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．若點(diǎn)E在線段CD延長(zhǎng)線上，且CE＝5，點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，如果以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，那么點(diǎn)N有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解題思路】分別以EC為邊，EC為對(duì)角線討論可知滿足條件的菱形．【解答過程】解：如圖中，分別以EC為邊，EC為對(duì)角線討論可知滿足條件的菱形有5個(gè)．故選：D．10．（大鵬新區(qū)二模）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP＝45°時(shí)，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP＝30°時(shí)，△OAD的面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，CD的最小值為234?6；④當(dāng)OD⊥AD時(shí)，BPA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】①由矩形的性質(zhì)得到∠OBC＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四邊形OBPD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到四邊形OBPD為正方形；故①正確；②過D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DH=12OD=3，根據(jù)三角形的面積公式得到△OAD的面積為12OA?DH③連接OC，于是得到OD+CD≥OC，即當(dāng)OD+CD＝OC時(shí)，CD取最小值，根據(jù)勾股定理得到CD的最小值為234?6；故③④根據(jù)已知條件推出P，D，A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPB＝∠POA，等量代換得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根據(jù)勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正確．【解答過程】解：①∵四邊形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°，∵將△OBP沿OP折疊得到△OPD，∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，∵∠BOP＝45°，∴∠DOP＝∠BOP＝45°，∴∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，∴四邊形OBPD是矩形，∵OB＝OD，∴四邊形OBPD為正方形；故①正確；②過D作DH⊥OA于H，∵點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），∴OA＝10，OB＝6，∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，∴∠DOA＝30°，∴DH=1∴△OAD的面積為12OA?DH=12③連接OC，則OD+CD≥OC，即當(dāng)OD+CD＝OC時(shí)，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC=OA2∴CD＝OC﹣OD＝234?即CD的最小值為234?6；故③④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三點(diǎn)共線，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴∠OPA＝∠POA，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP=1∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正確；故選：D．二、填空題11．（阜新）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為6.8．【解題思路】由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng)，設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根據(jù)勾股定理計(jì)算出x的值即可．【解答過程】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng)，設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，即（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，故答案為：6.8．12．（紅橋區(qū)三模）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為6，G是BC的中點(diǎn)，沿著AG折疊該紙片，得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為2．【解題思路】由折疊的性質(zhì)可得AF＝BA，∠ABC＝∠AFG＝90°，BG＝GF＝3，由“HL”可證Rt△AEF≌Rt△AED，可得DE＝EF，在Rt△GEC中，由勾股定理可求DE的長(zhǎng)．【解答過程】解：如圖，連接AE，∵正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為6，G是BC的中點(diǎn)，∴BG＝GC＝3，∵折疊，∴AF＝BA，∠ABC＝∠AFG＝90°，BG＝GF＝3，∴AD＝AF，在Rt△AEF和Rt△AED中，AF=ADAE=AE∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），∴DE＝EF，∵GE2＝EC2+GC2，∴（3+DE）2＝（6﹣DE）2+9，∴DE＝2，故答案為：2．13．（渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD邊CD上，將△ADE沿AE翻折，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)F處，若AB＝2CF，CE＝3，連接DF，與AE交于H點(diǎn)，連接BH，則點(diǎn)F到BH的距離為655【解題思路】在Rt△EFC和Rt△ABF中，分別利用勾股定理求得DE、AD的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可求得．【解答過程】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：AD＝AF＝BC，DE＝EF，AE是線段DF的垂直平分線，H是DF的中點(diǎn)，設(shè)DE＝EF＝x，則DC＝AB＝x+3，F(xiàn)C=12AB=1在Rt△EFC中，F(xiàn)C2+EC2＝EF2，即[12（x+3）]2+32＝x2解得：x＝5或x＝﹣3（舍去），∴DC＝AB＝5+3＝8，F(xiàn)C＝4，設(shè)AD＝AF＝BC＝y(tǒng)，則BF＝y(tǒng)﹣4，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即82+（y﹣4）2＝y(tǒng)2，解得：y＝10，∴BF＝6，過H作HN⊥BC于N，過F作FM⊥BH于M，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∴HN∥CD，∴HN=12CD＝4，F(xiàn)N=∴BN＝BF+FN＝8，由勾股定理得：BH=BN2∵S△BHF=12BF×HN=12∴FM=BF×HN故答案為：6514．（河南模擬）如圖，在矩形ABCD中，CD＝3，對(duì)角線AC＝5，點(diǎn)G，H分別是線段AD，AC上的點(diǎn)，將△ACD沿直線GH折疊，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)E，F(xiàn)處．當(dāng)點(diǎn)E落在折線CAD上，且AE＝1時(shí)，CH的長(zhǎng)為2或157【解題思路】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解．【解答過程】解：∵AC＝5，CD＝3，∴AD=AC當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時(shí)，∵將△ACD沿直線GH折疊，∴CH＝EH，∵AE＝1，∴EC＝4，∴CH＝2；當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，如圖2，連接EC，過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，∵S△AEC=12×AE×CD=1∴1×3＝5×EN，∴EN=3∴AN=AE∴NC=21∵將△ACD沿直線GH折疊，∴CH＝EH，∵EN2+NH2＝EH2，∴925+（215?HC）2∴HC=15綜上所述：CH的長(zhǎng)為2或15715．（寧波模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A與CD邊中點(diǎn)M重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G，則DE長(zhǎng)度為92，BG與BC的數(shù)量關(guān)系為BG=25【解題思路】過A作AH⊥MG于H，連接AG，設(shè)DE＝x，則AE＝ME＝12﹣x，Rt△DME中，由勾股定理可得x=92，即DE=92，證明△ADM≌△AHM，可得AD＝AH，MH＝MD＝6，可證明Rt△AHG≌Rt△ABG，有HG＝BG，設(shè)BG＝y(tǒng)，則HG＝y(tǒng)，CG＝12﹣y，Rt△CMG中，由CM2+CG2＝MG2，可列方程62+（12﹣y）2＝（6+y）2，解得y=245，即BG【解答過程】解：過A作AH⊥MG于H，連接AG，如圖：設(shè)DE＝x，則AE＝ME＝12﹣x，Rt△DME中，DM=12DC＝6，DM2+DE2＝ME∴62+x2＝（12﹣x）2，解得x=9∴DE=9∵正方形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A與CD邊中點(diǎn)M重合，∴∠MAB＝∠AMG，∵DC∥AB，∴∠DMA＝∠MAB，∴∠DMA＝∠AMG，在△ADM和△AHM中，∠D=∠AHM=90°，∠DMA=∠AMG∴△ADM≌△AHM（AAS），∴AD＝AH，MH＝MD＝6，∴AH＝AD＝AB，在Rt△AHG和Rt△ABG中，AH=ABAG=AG∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL），∴HG＝BG，設(shè)BG＝y(tǒng)，則HG＝y(tǒng)，CG＝12﹣y，Rt△CMG中，CM=12DC＝6，MG＝MH+HG＝6+y，CM2+CG2＝MG∴62+（12﹣y）2＝（6+y）2，解得y=24∴BG=24∴BGBC∴BG=25故答案為：92，BG=216．（邵陽縣模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠D＝45°，點(diǎn)E在BC邊上，將△ABE沿AE所在的直線折疊得到△AB1E，AB1交CD于點(diǎn)F，使EB1經(jīng)過點(diǎn)C，則CB1的長(zhǎng)度為22?2【解題思路】由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，由折疊的性質(zhì)可得BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，可求∠BAB1＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求BB1的長(zhǎng)，即可求解．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，∵將△ABE沿AE所在的直線折疊得到△AB1E，∴BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，∴∠B＝∠B1＝45°，∴∠BAB1＝90°，∴BB1=2AB＝22∴CB1＝BB1﹣BC＝22?故答案為22?17．（拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點(diǎn)E為DC一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，D′落在∠ABC的平分線上，滿足條件的點(diǎn)D′有且僅有一個(gè)，則AF的長(zhǎng)為3﹣22．【解題思路】過點(diǎn)D′作D′G⊥BC，D′H⊥AC，交BC于G，AB于H，過點(diǎn)F作FI⊥D′H，交D′H于I，連接BD′，先證明出四邊形D′HBG為正方形，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)把線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程思想，然后根據(jù)滿足條件的點(diǎn)D′有且僅有一個(gè)說明Δ＝0，求出方程的解即可．【解答過程】解：如圖所示，過點(diǎn)D′作D′G⊥BC，D′H⊥AC，交BC于G，AB于H，過點(diǎn)F作FI⊥D′H，交D′H于I，連接BD′，∵D′落在∠ABC的平分線上，∴則四邊形D′HBG為正方形，設(shè)AF＝x，設(shè)D′H＝y(tǒng)，則DF＝5﹣x＝D′F，AH＝AB﹣BH＝7﹣y＝IF，D′I＝D′H﹣AF＝y(tǒng)﹣x，∵D′I2+IF2＝D′F2，∴（y﹣x）2+（7﹣y）2＝（5﹣x）2，化簡(jiǎn)得：2y2﹣2xy﹣14y+10x+24＝0，即2y2﹣（2x+14）y+10x+24＝0，將y看成未知數(shù)，x看成常數(shù)，∵D′有且僅有一個(gè)，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，故（2x+14）2﹣8（10x+24）＝0，∴x＝3±22，∵x＝3+22＞5＝AD∴AF＝3﹣22．故答案為：3﹣22．18．（泰山區(qū)期末）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（85，?6【解題思路】先證明BE＝OE，由勾股定理可求BE＝OE=52，由面積法可求【解答過程】解：設(shè)BD與OA交于點(diǎn)E，作DF⊥OA于點(diǎn)F，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，設(shè)BE＝OE＝x，則AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x=52，即BE∴OE＝BE=5在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4?5由12OE?DF=12OD?DE得12×5∴DF=6在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（65）2=∴OF=8∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（85，?故答案為：（85，?19．（江漢區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，若∠DAF＝18°，則∠DCF＝36度．【解題思路】由折疊的性質(zhì)得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠FAE＝36°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度數(shù)．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，由折疊的性質(zhì)得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠FAE=1∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∴∠ECF=1∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；故答案為：36．20．（沈河區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，將點(diǎn)C折疊與點(diǎn)E重合，折痕與邊CD和BC分別交于點(diǎn)F和G，當(dāng)DE＝2時(shí)，線段CF的長(zhǎng)是267【解題思路】過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，易證∠DFH＝30°，設(shè)CF＝x，則DF＝6﹣x，DH=12（6﹣x），HF=32（6﹣x），EH＝DE+DH＝5?x2，由折疊的性質(zhì)得EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝【解答過程】解：過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝CD＝6，∠EDF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∠DFH＝30°，設(shè)CF＝x，則DF＝6﹣x，DH=12DF=12（6﹣x），HF∴EH＝DE+DH＝2+12（6﹣x）＝5由折疊的性質(zhì)得：EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+HF2，即x2＝（5?x2）2+[32（6﹣x解得：x=26∴CF=26故答案為：267三、解答題21．（南崗區(qū)模擬）已知：將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AF．（1）如圖1，求證：四邊形AECF為菱形；（2）如圖2，若∠CFG＝60°，連接AC交EF于點(diǎn)O，連接DO，GO，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有的等邊三角形．【解題思路】（1）由折疊性質(zhì)得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，由矩形性質(zhì)得出∠ADC＝∠BAD＝90°，AE∥CF，證出AE＝CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）先證出∠DAF＝30°，得出∠EAF＝60°，證出△AEF和△CEF是等邊三角形；再證出OD=12AC＝OA，∠OAD＝60°，得出△AOD是等邊三角形；證出CG＝OC＝OG，得出△【解答過程】解：（1）證明：由折疊性質(zhì)得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，∵四邊形ABCD為矩形，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵AE＝CE，∴AE＝CF，∵AF＝FC，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四邊形AECF為菱形．（2）解：等邊三角形為：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下：∵∠CFG＝60°，∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°，∵四邊形AECF是菱形，∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，∴△AEF和△CEF是等邊三角形，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAE＝30°，∠FAO＝30°，∴∠DAO＝60°，∵∠ADC＝90°，∴OD=12AC＝∴△AOD是等邊三角形，∵CG＝AD＝OC，OG=12∴CG＝OC＝OG，∴△COG是等邊三角形．22．（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，四邊形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，連接CF，把∠D沿CF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．當(dāng)△AFG為直角三角形時(shí)，求CF的長(zhǎng)度．【解題思路】（1）由AB＝AC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得∠DAC＝∠ACB，∠AEC＝90°；進(jìn)而得到AD∥EC，∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°，由于∠D＝90°,利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可得結(jié)論；（2）分∠AGF＝90°，∠AFC＝90°，∠FAG＝90°三種情形解答，分別利用勾股定理求得CF的長(zhǎng)．【解答過程】解：（1）證明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥EC．∵AB＝AC,E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．∵∠D＝90°,∴四邊形AECD為矩形．(2)當(dāng)∠AGF＝90°時(shí)，G在AC上，如圖，∵AD＝8,CD＝6,∴AC=A∵CG＝CD,∴AG＝AC﹣CG＝4．設(shè)DF＝x,則AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．∴42+x2＝(8﹣x)2．解得：x＝3．∴CF=C當(dāng)∠AFC＝90°時(shí)，G在CE上，此時(shí)四邊形CDFG為正方形，如圖：∴CF＝62；當(dāng)∠FAG＝90°時(shí)，G在AB上，此時(shí)CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,∵斜邊大于直角邊，∴G不可能在AB邊上．綜上，CF＝62或35．23．（灌南縣二模）如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAE為多少度時(shí)，四邊形AECF是菱形？請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）首先證明△ABE≌△CDF，則DF＝BE，然后可得到AF＝EC，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等四邊形是平行四邊形可證明AECF是平行四邊形；（2）由折疊性質(zhì)得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣30°＝60°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA＝EC，于是得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）方法一：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．由翻折的性質(zhì)可知：∠EAC=12∠BAC，∠NCF=∴∠EAC＝∠NCF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形；方法二：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．由翻折的性質(zhì)可知：∠EAB=12∠BAC，∠DCF=1∴∠EAB＝∠DCF．在△ABE和△CDF中∠B=∠DAB=CD∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF＝BE．∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAE＝30°時(shí)，四邊形AECF是菱形，理由：由折疊可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，∵∠B＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，∴EA＝EC，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形．24．（下城區(qū)模擬）小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，求矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比值．【解題思路】連接DE，由翻折的性質(zhì)知，四邊形ABEF為正方形，∠EAD＝45°，而M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，則DE平分∠GDC，易證Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝DG，而△AGD為等腰直角三角形，得到AD=2DG=2【解答過程】解：連接DE，如圖：∵沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴四邊形ABEF為正方形，∴∠EAD＝45°，由第二次折疊知，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG為折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD為等腰直角三角形，∴AD=2DG=2∴矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比值為2，故答案為2．25．（中山市校級(jí)月考）一張矩形紙ABCD，將點(diǎn)B翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)M處，折痕CE交AB于點(diǎn)E．將點(diǎn)D翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處，折痕AF交DC于點(diǎn)F，折疊出四邊形AECF．（1）求證：AF∥CE；（2）當(dāng)∠BAC＝30度時(shí)，四邊形AECF是菱形？說明理由．【解題思路】（1）證出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE；（2）證出四邊形AECF是平行四邊形，再證出AF＝CF，即可得出四邊形AECF是菱形．【解答過程】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由翻折知，∠DAF＝∠HAF=12∠DAC，∠BCE＝∠MCE=1∴∠HAF＝∠MCE，∴AF∥CE；（2）解：當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)四邊形AECF為菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，由（1）得：AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝60°．∴∠ACD＝30°，由折疊的性質(zhì)得∠DAF＝∠HAF＝30°，∴∠HAF＝∠ACD，∴AF＝CF，∴四邊形AECF是菱形；故答案為：30．26．（道里區(qū)二模）在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證：AE⊥BF；（2）如圖2，將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，若AB＝4，求QF的值【解題思路】（1）首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE＝90°，即可證明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF可得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90，在利用角的關(guān)系求出QF＝QB，設(shè)QF＝x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程解方程求出x的值即可．【解答過程】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，設(shè)QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，∴QB＝x，PQ＝x﹣2，在Rt△BPQ中，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即QF＝5．27．（嶗山區(qū)一模）已知：如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的點(diǎn)，連接AE、CE．（1）求證：AE＝CE；（2）若將△ABE沿AB翻折后得到△ABF，當(dāng)點(diǎn)E在BD的何處時(shí)，四邊形AFBE是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【解題思路】（1）利用正方形的性質(zhì)和SAS證明△ABE≌△CBE即可；（2）由折疊的性質(zhì)得出∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AE=12BD＝BE＝DE，證出AE＝BE＝AF＝BF，得出四邊形AFBE是菱形，AE⊥【解答過程】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．（2）解：點(diǎn)E在BD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形；理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，∵∠BAD＝90°，E是BD的中點(diǎn)，∴AE=12BD＝BE＝∵BF＝BE，∴AE＝BE＝AF＝BF，∴四邊形AFBE是菱形，E是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴四邊形AFBE是正方形．28．（睢寧縣期中）把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為EF．（1）連接BE，求證：四邊形BFDE是菱形，并說明理由；（2）若AB＝8cm，BC＝16cm，求線段DF及折痕EF的長(zhǎng)．【解題思路】（1）由EF垂直并平分BDBD與EF交于點(diǎn)O，四邊形ABCD是矩形，易證得△DOE≌△BOF，繼而證得DE＝BE＝BF＝DF，則可得四邊形BFDE是菱形；（2）首先設(shè)DF＝x，則FC＝16﹣x，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求得菱形的邊長(zhǎng)，再過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，即可求得答案．【解答過程】解：（1）四邊形BFDE是菱形．由折疊可知：EF垂直并平分BDBD與EF交于點(diǎn)O，則BE＝DEBF＝DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴DE∥BF，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，∠EDO=∠FBOOB=OD∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF，∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四為形BFDE為菱形；（2）設(shè)DF＝x，則FC＝16﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：FC2+DC2＝DF2，即82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，