河北省保定市部分高中高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高一期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)椋?，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知：，為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可知.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A.2π B.3π C.23 D.【答案】B【解析】【分析】由等邊三角形面積求出等邊三角形邊長，得到圓錐底面半徑和母線長，求得底面面積和側(cè)面面積，從而得到圓錐表面.【詳解】設(shè)圓錐的軸截面是邊長為（）的等邊三角形，則，則，∴圓錐底面半徑，母線長，∴.故選：B4.如圖，已知三棱錐的側(cè)棱長均為2，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)在線段上，則周長的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】作三棱錐的側(cè)面展開圖，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短的結(jié)論及余弦定理可求的最小值.【詳解】如圖，將三棱錐的側(cè)面展開，則周長的最小值與展開圖中的線段相等.在中，，在中，根據(jù)余弦定理可得：，所以，即周長的最小值為.故選：C.5.如圖，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為，且|z-i|=5，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【詳解】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標(biāo)為．故選：D6.設(shè)平面向量，，且，則=（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，求出把兩邊平方，可求得，把所求展開即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以又，則所以，則，故選：7.如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量共線的性質(zhì)分別設(shè)，，結(jié)合條件依次表示出，，對應(yīng)解出，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量則（）A. B.與向量共線的單位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求模，即可判斷A；與向量共線的單位向量為，即可判斷B；求出即可判斷C；根據(jù)向量在向量上的投影向量是判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，故A錯誤；又，則與向量共線的單位向量為，即或，故B錯誤；因，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以向量在向量上的投影向量是，故D正確.故選：CD10.設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，且，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，，則，，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式，對于A，直接代入檢驗(yàn)即可；對于B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對于CD，直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達(dá)式為，對于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.【答案】【解析】【分析】先確定函數(shù)的定義域,再分別得出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】定義域?yàn)?，解得，?求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)的減區(qū)間,,可知單調(diào)遞減區(qū)間為,綜上可得,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令,由,得或,函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù),而外層函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為:.13.在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理列出關(guān)系式，將的值代入表示出，根據(jù)的度數(shù)確定出的范圍，要使三角形有兩解確定出的具體范圍，利用正弦函數(shù)的值域求出的范圍即可【詳解】解：由可得因，所以要使三角形有兩解，所以且所以，即，解得，故答案為：14.設(shè)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓弧BC上運(yùn)動(包含B，C兩個端點(diǎn))，且，則的最大值為________.【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得到，再由輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，因此有，因?yàn)?，，所以有，于是有，其中因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)取得最大值，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡可證得結(jié)論成立；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，結(jié)合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面積.【小問1詳解】因?yàn)?，則，即，由正弦定理可得，因此，.【小問2詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由平面向量?shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.16.如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：（1）直線和在同一平面上；（2）直線、和交于一點(diǎn)．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，利用平行關(guān)系的傳遞性得到∥即可;（2）易得與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則能得到平面，平面，結(jié)合平面平面，即可得證；【小問1詳解】如圖，連結(jié).∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴.∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴四點(diǎn)共面，即和共面．【小問2詳解】證明：正方體中，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴且∵四邊形為平行四邊形，∴，且∴∥且∴與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，∵，平面，∴平面；又∵，平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴三線交于點(diǎn)P.17.已知定義在上的奇函數(shù)．在時(shí)，．（1）試求的表達(dá)式；（2）若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，再設(shè)，根據(jù)奇偶性及上的函數(shù)解析式，計(jì)算可得；（2）依題意參變分離可得，令，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)最小值，從而得解；【小問1詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，，因?yàn)樵跁r(shí)，，設(shè)，則，則，故【小問2詳解】解：由題意，可化為化簡可得，令，，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，故．18.已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積結(jié)合兩角和的余弦公式求的值；（2）平方再開方，結(jié)合角的范圍求的取值范圍；（3）把前面的結(jié)果代入，換元后得二次函數(shù)，利用對稱軸和所得區(qū)間的關(guān)系討論得解.【小問1詳解】向量，，.【小問2詳解】，，，，，所以的取值范圍為0,2.【小問3詳解】由（1）（2）可知，函數(shù)，令，則，，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，最小值為.綜上可知，19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先計(jì)算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可；（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算并化簡即可得證；（3）利用（2）的公式計(jì)算，設(shè)，求出，將轉(zhuǎn)化成，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.【小問1詳解】因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)?，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.【小