18完整版本.1.探索-勾股定理(公開課參賽)

讀一讀我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1-1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.圖1-2是在北京召開的2002年國際數(shù)學(xué)家大會（TCM－2002）的會標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.

圖1-1圖1-2勾股hdzh18.1勾股定理

在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！奔矗寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。故稱之為“勾股定理”或“商高定理”史話勾股定理勾股定理勾股弦

在西方，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，公元前三百年左右）在編著《幾何原本》時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。

相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。

相傳在2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，我們一起來觀察圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)什么。A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABCABC圖1—1（1）觀察圖1—1：正方形A中含有個小方格，即A的面積是個單位面積；正方形B中含有個小方格，即B的面積是個單位面積；正方形C中含有個小方格，即C的面積是個單位面積；99991818A的面積+B的面積=C的面積圖1—2ABC（2）觀察圖1—2：正方形A中含有個小方格，即A的面積是個單位面積；正方形B中含有個小方格，即B的面積是個單位面積；正方形C中含有個小方格，即C的面積是個單位面積；444488A的面積+B的面積=C的面積因此可知等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：對于任意直角三角形都有這樣的性質(zhì)嗎？兩直邊的平方和等于斜邊的平方看下圖ABCA的面積(單位長度)B的面積(單位長度)C的面積(單位長度)圖1圖2A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系圖1圖2491392534sA+sB=sC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABCACBacb上例中我們發(fā)現(xiàn):BC2+AC2＝AB2

即a2+b2＝c2對于任意

直角三角形這個結(jié)論都成立與兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。因為這個定理太貼近人們的生活實際，以致于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討它的證明，因此不斷涌現(xiàn)新的證法。下面我們一起學(xué)習(xí)幾種證明勾股定理的方法。勾股定理:

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

a2+b2=c2b2c2a2已知Rt△ABC中，∠C=Ｒｔ∠，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，求證：ａ２＋ｂ２＝ｃ２(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2－4×ab=a2+b2=c2可得：a2+b2－2ab=c2－2abbCa想一想：這四個直角三角形還能怎樣拼？證法一babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2

=c2證法二

在1876年一個周末的傍晚,美國華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景,他就是當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?時而大聲爭論,時而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么,只見一個小男孩正俯著身子，用樹枝在地上畫一個直角三角形，于是伽菲爾德便問，你們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別是３和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是５呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為５和７，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少呢？”伽菲爾德不假思索地回答到：“那斜邊的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？……”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。證法3

(a+b)(b+a)

=

a2+

a2+b2 = c2aabbcc伽菲爾德經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法．1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就稱這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。∟∟∟c2+2()+ab

+b2

=

c2abab

a2+b2=c2a2b2a2c2畢達(dá)哥拉斯證法證法4：abcc2=a2+b2

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理結(jié)論變形815A49B2５1.求下列圖中字母所代表的正方形的面積：y=0學(xué)以致用，做一做結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7y=0學(xué)海無涯

如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm，求正方形A，B，C，D的面積的和思考S1S2解：∵SE=49S1=SA+SBS2=SC+SD∴SA+SB+SC+SD

=S1+S2=SE=4911美麗的勾股樹學(xué)以致用y=02.求出下列直角三角形中未知邊的長度68x5x13學(xué)以致用，做一做解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x>0

x2+52=132

x2=132-52x2=144∴x=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2∵x>0ACBACB生活中的數(shù)學(xué)問題一個門框的尺寸如圖所示，一塊長３m，寬２.２m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ＤＣＡＢ2m1my=0探究1ＤＣＡＢ2m1my=0分析

連結(jié)AC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理：因此，

因為AC大于木板的寬，

所以木板能從門框內(nèi)通過。1.在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,

則c=＿＿＿＿2.在△ABC中,a=6,b=8,試求第三邊c的值10y=0練一練課堂練習(xí)：一判斷題.1.

ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,則c=10()二填空題1.在

ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則

ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.

244.8ABCD學(xué)以致用cab1、已知：a＝3，

b＝4，求c2、已知：c＝10，a＝6，求b3、已知：c＝13，a＝5，求陰影總分面積ac

小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？動腦筋58厘米46厘米74厘米

活動

∴售貨員沒搞錯∵熒屏對角線大約為74厘米例1飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米。飛機(jī)每時飛行多少千米？A學(xué)以致用4000米5000米20秒后BC

3000米練一練1、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，求a和b2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，則高AD＝＿＿＿，S△ABC＝＿＿＿cab3.在一個直角三角形中,兩邊長分別為6、

8,則第三邊的長為________10

或4、放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿著東方向和南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，小紅和小穎家的距離為（）

A、600米B、800米

C、1000米D、不能確定5、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、80/13厘米；D、60/13厘米；

DABC3、螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多少厘米？（小方格的邊長為1厘米）GFE提示構(gòu)造直角三角形例2：在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求腰上的高。ABCD131310H提示：利用面積相等的關(guān)系探究3數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？01234解：LAB點C即為表示的點擴(kuò)展利用勾股定理作出長為的線段.11課堂小結(jié)⒈勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.⒉勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、b平方和，等于斜邊c平方。a2+b2=c2⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意兩邊求第三邊的長。動動手babbccccbaaacccc