第08講數(shù)列求和（4種解題方法）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第08講數(shù)列求和（4種解題方法）題型一：倒序相加法求和一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布列如下：012……12……其中，則（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【分析】由分布列的歸一性求出，從而，由此利用倒序相加法能求出結(jié)果．【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，得，①，②，由①②得，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是將所求數(shù)學(xué)期望變形，根據(jù)倒序相加法，利用組合式的性質(zhì)計(jì)算求解.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)都不相等的數(shù)列，2，，，圓，圓，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則的所有項(xiàng)的和為（

）A．2014 B．2015 C．4028 D．4030【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓的圓心，得到，利用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，圓與圓相交，設(shè)交點(diǎn)為，，圓，圓，相減可得直線的方程為：圓平分圓的周長(zhǎng)，直線經(jīng)過圓的圓心，，．的所有項(xiàng)的和為．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心設(shè)函數(shù)，則

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】C【詳解】分析：對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，利用倒序相加法即可得到結(jié)論.詳解：函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，由得，解得，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，故設(shè)，則，兩式相加得，則，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，正確理解“拐點(diǎn)”并利用“拐點(diǎn)”求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題.二、填空題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則__________．【答案】##【分析】利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】.依題意是等差數(shù)列，令，，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，兩式相加得.故答案為：.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則等于______．【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以．因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即．設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；3、數(shù)列求和．【知識(shí)點(diǎn)睛】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法．如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意先求，然后利用倒序相加法求，則由可得，求出的最小值即可求得的取值范圍【詳解】因?yàn)椋?，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）則當(dāng)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍是，故答案為：三、解答題8．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由，運(yùn)用倒序相加求和，可得所求通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得，再由參數(shù)分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?由①,則②,所以可得：，故，.（2）由（1）知，，則時(shí)，，所以

.又由對(duì)一切恒成立,可得恒成立,即有對(duì)一切恒成立.當(dāng)時(shí),取得最大值，所以；故實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于序列，實(shí)施變換T得序列，記作；對(duì)繼續(xù)實(shí)施變換T得序列，記作．最后得到的序列只有一個(gè)數(shù)，記作．(1)若序列為1，2，3，求；(2)若序列為1，2，…，n，求；(3)若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作，若序列B為序列的一個(gè)排列，請(qǐng)問：是的什么條件？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)充分不必要條件【分析】（1）根據(jù)所給定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)歸納推理可得，利用倒序相加法，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.（3）根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；（1）解：序列為1，2，3，，，，即8，．（2）解：時(shí)，時(shí)，．時(shí)，，時(shí)，，，取時(shí)，，取時(shí)，①，則②，①②得，所以．由序列為1，2，，，可得．（3）解：序列為序列，2，，的一個(gè)排列，．而反之不成立．例如取序列為：，，，2，1，滿足．因此是的充分不必要條件．題型二：錯(cuò)位相減法求和一、填空題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則___________.【答案】【分析】在題干條件下求出，進(jìn)而用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】①，②，兩式相減得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.則，則③，④，③-④得：，所以故答案為：2．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則__________【答案】【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求其前2021項(xiàng)的和，從而得到結(jié)果.【詳解】由得：，；設(shè)，則，，，，即，，，.故答案為：.3．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．【答案】【分析】根據(jù)可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，繼而得的表達(dá)式，采用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)()()，記的面積為，則____________.【答案】【分析】本道題結(jié)合錯(cuò)位相減法,計(jì)算結(jié)果,即可.【詳解】結(jié)合題意,得到,所以該三個(gè)點(diǎn)組成的三角形面積為,對(duì)面積求和設(shè)得到,,兩式子相減,得到,解得.【點(diǎn)睛】本道題考查了錯(cuò)位相減法,關(guān)鍵計(jì)算出三角形面積,求和,即可,難度偏難.二、雙空題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______.【答案】

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【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.三、解答題6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，由得：，所以.由，得到所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由條件知，又將以上兩式相減得所以.7．（2022秋·福建龍巖·高三?？计谥校┰O(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）利用累加法求通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得出.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，，.（2）由（1）知，①②①-②得所以，，.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）;（2）.【分析】（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．9．（2022秋·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯(cuò)位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號(hào)兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時(shí)也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯(cuò)位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因?yàn)?，令，則，，所以．故．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對(duì)于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡(jiǎn)化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法三：由化簡(jiǎn)得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡(jiǎn)單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時(shí)，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡(jiǎn)化了運(yùn)算．10．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.13．（2023秋·天津南開·高三校考期末）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)椋?，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.14．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列，滿足，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，可得數(shù)列的遞推公式，由相鄰遞推數(shù)列相減，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得數(shù)列為等差數(shù)列，可得答案.（2）由（1），求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于數(shù)列相鄰兩項(xiàng)商，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累乘法，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)錯(cuò)位相減法，可得答案.（1）由題易知，，兩式相減得，故，兩式相減得，即，可知數(shù)列為等差數(shù)列，又，則，解得，令，，解得，等差數(shù)列的公差，故.（2）由題易知，，兩式相除得，又因?yàn)?，所以，由累乘法可得：，，…，，∴，∵，∴，?dāng)時(shí)，也符合，∴，則，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，由錯(cuò)位相減法可得：，所以，則，即得.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…，在和之間插入n個(gè)數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，求；(3)對(duì)于（2）中求得的，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在，所有的正整數(shù)對(duì)為及.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量計(jì)算求出d＝1，從而，再由，推導(dǎo)出是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求出通項(xiàng)公式；（2）由題意推導(dǎo)出公差，從而，利用公式得到，故，由此利用錯(cuò)位相減法能求出；（3）由及第（2）問得到，求出當(dāng)，n＝2，n＝3時(shí)的值，再利用導(dǎo)函數(shù)證明當(dāng)時(shí)，有，即證，由此能求出所有的正整數(shù)對(duì)．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，（d≠0），則由，得，因?yàn)?，所以，所以；由，①?dāng)時(shí)，，②①﹣②，得，∴，又當(dāng)時(shí)，，解得：，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，則，∴，∴，①則，②①﹣②得，∴．（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使成立，．，當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)n＝2時(shí)，，當(dāng)n＝3時(shí)，，下證，當(dāng)時(shí)，有，即證，設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，∴，∴時(shí)，m不是整數(shù)，∴所有的正整數(shù)對(duì)為及.【點(diǎn)睛】本題第二問和第三問有難度，第二問需要先理解題意，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解，而第三問則是數(shù)列與函數(shù)的綜合，需要利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)證明當(dāng)時(shí)，有，即證，屬于綜合題，難度大．題型三：裂項(xiàng)相消法求和一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．2．（2022春·浙江嘉興·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出，通過放縮得到，再通過分析法證得，結(jié)合裂項(xiàng)相消即可證得，又由證得即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，下證，即證，即證，即證，即證，即證令，即證，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.因此，，所以，又因?yàn)?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分析法的應(yīng)用，通過分析法證得，又由放縮得到，進(jìn)而通過裂項(xiàng)相消證得，最后由證得即可..3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【答案】B【分析】若為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項(xiàng)相消法可得，利用累加法可得，進(jìn)而可得，可判斷BD.【詳解】因?yàn)椋?，即，若為等比?shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯(cuò)誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀?shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，則C．當(dāng)或時(shí)，的最小值不存在D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)求出，再由求出，從而得到且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，由或時(shí)，可證得數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在；D選項(xiàng)，對(duì)變形為，采用裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，，令，解得：，令，解得：綜上：且，所以且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在，C正確；D選項(xiàng)，，所以，所以，故，因?yàn)?，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，綜上：，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】由數(shù)列通項(xiàng)公式研究數(shù)列的性質(zhì)，要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行處理，本題D選項(xiàng)，要將變形為，采用裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.三、填空題5．（2022·湖南湘西·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）已知函數(shù)，若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得到的表達(dá)式，最后裂項(xiàng)求和即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，故，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解四、解答題6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.7．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)以及可得該數(shù)列是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的、寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.（2）有題意可知，然后根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求得.【詳解】（1）解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；（2）由題知?jiǎng)t8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解；（2）由裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,，解得,,；（2）解：，.9．（2022秋·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：.【答案】(1)；(2)，證明見解析.【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行運(yùn)算證明即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項(xiàng)是.由，可得.由，可得，所以，所以；（2）證明：因?yàn)椋?又，所以.10．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時(shí),∴∴當(dāng)時(shí),,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴12．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）正項(xiàng)遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）先計(jì)算出，再通過退位相減計(jì)算的通項(xiàng)公式；（2）先求出，進(jìn)而得到，借助進(jìn)行放縮，最后裂項(xiàng)求和即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴.當(dāng)時(shí)，，即，解得.由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，∴或.（2）當(dāng)時(shí)，，，則，.，則.∴.∴.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用列{}為正項(xiàng)數(shù)列，將條件給的式子兩邊開方，從而構(gòu)造出{}為等差數(shù)列，先求解出，再去求解，然后再利用去求解數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證時(shí)是否滿足；（2）將第（1）問中求解出的數(shù)列{}的通項(xiàng)公式帶入，并使用裂項(xiàng)的方法將通項(xiàng)公式展開，然后求解出的表達(dá)式，根據(jù)n取奇數(shù)、偶數(shù)不同通過討論分別求解出對(duì)應(yīng)的最小值，即可完成求解.（1）正項(xiàng)數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以.（2）因?yàn)樗?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由{}遞增，得，所以的最小值為.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)遞推一項(xiàng)作差即可求解；(2)根據(jù)題意求出，利用裂項(xiàng)相消求和即可證明.（1）由題，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，由，所以，兩式相減，可得，∴．當(dāng)時(shí)，滿足，∴．（2）由題，所以，∵，∴，∴．15．（2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用得到，變形后求出通項(xiàng)公式；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，得到，再令，則證明出結(jié)論；（3）先不等式兩邊取對(duì)數(shù)，再構(gòu)造，，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，得到，從而對(duì)不等式放縮得到，利用累加法和放縮法證明出不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，得：，，即，變形為，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也適合．.（2）構(gòu)造函數(shù)，，在上遞減，，時(shí)．∵，∴令，則有（3），，原不等式等價(jià)于證明：，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，令，然后累加得：．原不等式得證．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)的不等式，要結(jié)合不等式特點(diǎn)，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)，再將數(shù)列代入即可，本題第三問要構(gòu)造，，得到，再進(jìn)行相應(yīng)的放縮.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由結(jié)合即可判斷數(shù)列的單調(diào)性；（2）直接求出，由即可證得；又由得，由累加法得，結(jié)合放縮得到，再由裂項(xiàng)求和及放縮證得.【詳解】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，則.∵，，∴，則，當(dāng)，累加可得，則，則，則，∴，則．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用進(jìn)行放縮得到，再由累加法得到，再次進(jìn)行放縮得，再通過裂項(xiàng)求和及放縮即可證得結(jié)論.題型四：分項(xiàng)（并項(xiàng)）法求和一、多選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和．故選：AD．2．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得【答案】BC【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)及即可判斷A選項(xiàng)，按照給出的定義求出即可判斷B選項(xiàng)，數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，故，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，所以，，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時(shí)也成立，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由知不成立，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)知：，則，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項(xiàng)的判斷，C選項(xiàng)通過數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D選項(xiàng)借助C選項(xiàng)的結(jié)論，通過累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.二、填空題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.三、雙空題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．【答案】

1

506【分析】當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而可求得，令，化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即得的范圍，分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的，從而可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，即，則，所以，方程，即為，即為，令，則，則有，令，則函數(shù)在上遞增，因?yàn)?，，所以，使得，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1；506.【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的問題，考查了數(shù)列新定義及數(shù)列求和的問題，綜合性很強(qiáng)，對(duì)邏輯推理能力和數(shù)據(jù)分析能力要求很高，考查了分類討論思想，難度很大.四、解答題5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考期中）在公差為2的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的公差為,得到,,再根據(jù),,成等比數(shù)列,由等比中項(xiàng)公式得出首項(xiàng),代入通項(xiàng)公式即可得通項(xiàng).（2）由（1）得,數(shù)列,是等差加等比的形式,所以數(shù)列求和用分組求和即可..【詳解】解：（1）∵的公差為,∴,.∵,,成等比數(shù)列,∴,解得,從而.（2）由（1）得,.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組求和,是數(shù)列中最基本的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，根據(jù)通項(xiàng)公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；（2）解：，所以．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列.（2）利用分組求和法求得.（1）由，得，又，故，故，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，所以，

所以．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，；(2)