第3章工程信號及其可測性

3.1概述信號(xìnhào)是信息的載體，是工程測試的對象。工程測試中需考慮的問題：①不失真的將被測信號反映出來②測量系統(tǒng)要具有高的性價比第1講共一百一十五頁●激勵（excitation）：測量系統(tǒng)的輸入量?！耥憫?yīng)（response）：測量系統(tǒng)的輸出量。●失真：測量系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵的不一致性。理想的系統(tǒng)：測量系統(tǒng)的響應(yīng)能真實(shí)(zhēnshí)地再現(xiàn)輸入的變化，或者是測量系統(tǒng)的響應(yīng)是激勵的相似量。共一百一十五頁測量系統(tǒng)不失真測量與下列因素有關(guān)：①與測量系統(tǒng)的特性有關(guān)（將在下一章具體討論）；②與被測信號的頻率(pínlǜ)有關(guān)。本節(jié)討論工程信號的特點(diǎn)及分析方法。共一百一十五頁●信號分析：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具對信號加以分析研究，提取有用的信號，從中得到一些對工程有益的結(jié)論和方法。信號分析的主要作用：①分析被測信號的類別、構(gòu)成及特征參數(shù)，使工程測試人員了解被測對象的特征參量，以便深入了解被測對象內(nèi)在的物理(wùlǐ)本質(zhì)。如對信號進(jìn)行頻譜分析以確定信號的頻率組成等。(測后分析)②為正確選用和設(shè)計(jì)測試系統(tǒng)提供依據(jù)。如對信號的有效帶寬進(jìn)行分析，確定相應(yīng)的放大器工作帶寬等。(測前準(zhǔn)備)共一百一十五頁3.2工程信號的分類●根據(jù)(gēnjù)信號隨時間變化的情況可分為： ☆動態(tài)信號：隨時間變化的信號。

靜態(tài)信號：不隨時間變化的信號。（本章主要討論動態(tài)信號）●根據(jù)信號隨時間變化的規(guī)律信號可分為：

確定性信號

非確定性信號共一百一十五頁3.2.1確定性信號1、定義(dìngyì)：確定性信號是能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。例：單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)作無阻尼自由振動時的位移：mk共一百一十五頁2、特點(diǎn)：給定一個時間值就可得到一個確定的函數(shù)(hánshù)值。3、分類：根據(jù)信號的波形是否重復(fù)再現(xiàn)可分為：

●周期信號●非周期信號●直流信號共一百一十五頁1）周期信號定義(dìngyì):●按一定周期重復(fù)的信號。周期T定義。頻率（f）、角頻率（）定義。分類：①簡諧周期信號：共一百一十五頁

②復(fù)雜周期信號

由若干(ruògān)頻率之比為有理數(shù)的正弦信號組合而成的周期信號。x(t)t0共一百一十五頁2）非周期信號特點(diǎn)(tèdiǎn)：沒有重復(fù)周期。分類：準(zhǔn)周期信號、瞬態(tài)信號。共一百一十五頁①準(zhǔn)周期信號：準(zhǔn)周期信號是由一些不同頻率的簡諧信號合成的，組成(zǔchénɡ)它的簡諧分量的頻率之比不全為有理數(shù)。x(t)t0共一百一十五頁②瞬態(tài)信號(時限信號)特點(diǎn)：只在有限的時域取值，而在其余時域數(shù)值為０．瞬態(tài)量與周期(zhōuqī)信號相比：周期為無窮大１x（t）t（瞬態(tài)量例１）x（t）t（瞬態(tài)量例２）tx（t）（瞬態(tài)量例３）共一百一十五頁3）直流信號特點(diǎn)：幅值不隨時間變化的信號，實(shí)質(zhì)上是頻率為０的周期信號。確定性信號分類(fēnlèi)：（方法２）按取值情況分：連續(xù)信號離散信號。共一百一十五頁■連續(xù)(liánxù)信號■離散信號t（連續(xù)信號例）０x（t）●●●●●x（t）t０共一百一十五頁

3.2.2不確定信號(xìnhào)（隨機(jī)信號(xìnhào)）

1、定義

不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來表達(dá)，也無法確切地預(yù)測未來任何瞬間精確值的信號，都可稱之為隨機(jī)信號。２、統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)對于隨機(jī)信號雖然也可建立某些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和預(yù)測，但只能是在概率統(tǒng)計(jì)意義上的近似描述，這種數(shù)學(xué)模型稱為統(tǒng)計(jì)模型。隨機(jī)信號具有(jùyǒu)隨機(jī)特性，每次觀測的結(jié)果都不相同，無法用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表來描述，更不能由此準(zhǔn)確預(yù)測未來的結(jié)果，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法來描述它的規(guī)律。共一百一十五頁

３、分類按概率統(tǒng)計(jì)特征可分為：平穩(wěn)隨機(jī)信號、非平穩(wěn)隨機(jī)信號1）平穩(wěn)隨機(jī)信號：隨機(jī)信號中概率性質(zhì)不隨時間(shíjiān)變化的信號。2）非平穩(wěn)隨機(jī)信號：隨機(jī)信號中概率性質(zhì)隨時間變化的信號。按信號波形的形態(tài)分：連續(xù)隨機(jī)信號離散隨機(jī)信號。共一百一十五頁3.2.3工程信號(xìnhào)的描述方法１、時域描述定義：以時間作為獨(dú)立信號，信號幅值為時間的函數(shù)。特點(diǎn)：只能反映信號幅值隨時間的變化特征，不能揭示信號的頻率組成。共一百一十五頁２、頻域描述定義：以頻率作為獨(dú)立變量，信號幅值、相位(xiàngwèi)為頻率的函數(shù)。特點(diǎn)：揭示了信號的頻率組成。x（f）f０（幅值－頻率(pínlǜ)）φ（f）f（相位－頻率）共一百一十五頁3.3周期信號描述(miáoshù)及分析周期(zhōuqī)信號是按一定的時間間隔T不斷重復(fù)的量，

（n=1、2、…）周期信號可分為：簡單周期信號復(fù)雜周期信號。共一百一十五頁3.3.1簡單(jiǎndān)周期信號1.數(shù)學(xué)描述共一百一十五頁x（t）t０（時域描述）●０x（f）f（頻域描述—幅值）共一百一十五頁

3.3.2復(fù)雜周期(zhōuqī)信號如：x（t）t…復(fù)雜周期(zhōuqī)信號例（1）…x（t）t復(fù)雜周期信號例（2）共一百一十五頁1.分析方法1）借助于傅里葉級數(shù)2）狄里赫利（Dirichlet）條件根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，在有限區(qū)間上，任何可展開成傅里葉級數(shù)的周期函數(shù)必須(bìxū)滿足狄里赫利條件，即①函數(shù)x(t)在周期T區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)；②函數(shù)x(t)只有有限個極值點(diǎn)；③函數(shù)收斂。共一百一十五頁3）傅里葉三角級數(shù)(jíshù)如果滿足狄里赫利條件，則可展成傅里葉級數(shù)，即式中

共一百一十五頁同頻率(pínlǜ)項(xiàng)加以合并，可得到或式中t共一百一十五頁4)指數(shù)(zhǐshù)形式的傅里葉級數(shù)其中：上式也可為：共一百一十五頁5）物理意義

A0、A1、……An均為常數(shù)，稱為(chēnɡwéi)諧波系數(shù)n為從１到∞的正整數(shù)，稱為諧波階數(shù)n＝１時，A1為基波分量的幅值n＝2時，A2為二次諧波分量的幅值……為基波角頻率；為基波頻率；各階諧波分量為初相角。共一百一十五頁2、幾點(diǎn)說明1）滿足狄里赫利條件的任何周期信號可分解成直流分量及許多簡諧分量，且這些簡諧分量的角頻率必定(bìdìng)是基波角頻率的整數(shù)倍。共一百一十五頁

2）將組成的各頻率(pínlǜ)諧波信號的三要素幅值譜圖（AmplitudeSpectrum）

以角頻率（或頻率f）為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為幅值的圖Anω0(f0)ω(f)ω2(f2)0●●●●●●共一百一十五頁

相位譜圖（PhaseSpectrum）以角頻率（或頻率f）為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為幅值的圖說明：

幅值譜圖和相位譜圖均由一系列譜線組成，每一個譜線組成對應(yīng)(duìyìng)周期量的一個諧波。●●●●●●●ω1ω2ω3ω(f)φn共一百一十五頁■物理(wùlǐ)解釋共一百一十五頁3、分析舉例例3-1用角頻率為的正弦信號對角頻率為的正弦載波進(jìn)行幅值調(diào)制(tiáozhì)，得到的調(diào)幅波的時域表示形式為：求：調(diào)幅波的頻譜共一百一十五頁解：由三角(sānjiǎo)公式得：可見：調(diào)幅波是由兩個(liǎnɡɡè)正弦分量合成的，它們是等幅的。分布在載波的兩側(cè)，一個頻率為載波與調(diào)制頻率之差，另一個為。共一百一十五頁例3-2求周期(zhōuqī)方波的傅里葉級數(shù)1T/4T/2-T/2-T/4-1tx(t)

共一百一十五頁例3-3求周期(zhōuqī)矩形脈沖信號的頻譜。設(shè)該周期(zhōuqī)矩形脈沖幅度為E，脈寬為，周期為T。如圖所示。共一百一十五頁解：該信號(xìnhào)在的周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

①展成三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

共一百一十五頁式中由于是偶函數(shù)，則有，該周期矩形信號的三角(sānjiǎo)形式的傅里葉級數(shù)為稱為(chēnɡwéi)采樣函數(shù)。共一百一十五頁由上式，可知(kězhī)有共一百一十五頁②展成(zhǎnchénɡ)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

式中

所以幅度(fúdù)譜以成偶對稱，相位譜成奇對稱。共一百一十五頁例3-2討論1）譜線的密度(mìdù)只與周期T有關(guān)，T2）諧波系數(shù)的點(diǎn)，由值決定，

當(dāng)時（圖上，），3）當(dāng)一定時，周期T

越大，譜線越密，

諧波系數(shù)衰減(shuāijiǎn)越慢，且高度越低，4）當(dāng)T一定時，脈寬越小，則譜線衰減越慢。共一百一十五頁4、周期信號頻譜的特點(diǎn)1）凡是周期量都可看成靜態(tài)分量和諧波分量之和，但不同周期量的頻率結(jié)構(gòu)(jiégòu)不同（周期信號的共性與個性）；2）周期信號的傅里葉譜有三個特點(diǎn)：a、離散性：頻譜由一條條不連續(xù)的譜線組成，是離散的，相鄰譜線的間距是；b、諧波性：各頻率分量符合諧波關(guān)系，是基波的整數(shù)倍；c、收斂性：諧波分量的幅值有隨其階數(shù)的增高而逐漸減小的總趨勢。共一百一十五頁3）低頻諧波幅值較大，是構(gòu)成信號的主體，而高頻諧波只起美化細(xì)節(jié)的作用。4）隨著(suízhe)階數(shù)n的增加，諧波系數(shù)An逐漸減小，當(dāng)n很大時，An所起的作用很小。共一百一十五頁3.4時限信號分析瞬態(tài)量也可以進(jìn)行頻譜分析。工程(gōngchéng)信號按自變量定義在時域和頻域范圍可分為：時限信號及頻限信號。共一百一十五頁■時限信號：信號在有限區(qū)間(qūjiān)(t1，t2)內(nèi)有定義，在區(qū)間（t1，t2）外為0。p(t)x(t)0tt1t0時限信號例1時限信號例2時限(shíxiàn)信號工程上又稱為瞬態(tài)信號。共一百一十五頁■頻限信號：若信號在頻域內(nèi)只占據(jù)有限的帶寬，在帶寬外信號恒為0?！裰芷谛盘柕念l譜分析方法是基于傅立葉級數(shù)(jíshù)（FS）；●瞬態(tài)量的頻譜則可用傅立葉積分（變換）（FT)x（f）f0（頻限信號例1）共一百一十五頁3.4.1瞬態(tài)量的頻譜

由周期量的幅值譜可知，相鄰兩條譜線間的圓頻率間隔為，若即周期量的周期愈長，則譜線間隔愈小，相鄰兩譜線則愈靠近，愈密集(mìjí)。當(dāng)時，則有，離散譜線則變成了連續(xù)譜。瞬態(tài)信號可以是周期為無限大的量，可見瞬態(tài)量的頻譜是連續(xù)譜。共一百一十五頁1、分析方法周期(zhōuqī)量的傅立葉級數(shù)，可用復(fù)數(shù)形式表示：其中：

共一百一十五頁推導(dǎo)(tuīdǎo)過程：共一百一十五頁當(dāng)共一百一十五頁記為：

F

F意義：1）稱為信號的傅立葉積分變換，為的頻譜濾波函數(shù)。2）稱為的傅立葉積分逆變換3）構(gòu)成(gòuchéng)一對傅立葉變換對。4）能被分解為連續(xù)的無限個頻率為ω的，并且有無限個小幅值的頻率分量組成。，共一百一十五頁2、傅立葉變換存在的條件不是所有的時限信號都可進(jìn)行(jìnxíng)傅里葉變換，時限信號是否存在傅里葉變換同樣需要滿足下述狄里赫利條件：

①信號絕對可積，即：

②在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號只有有限個最大值和最小值；

③在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號僅有有限個不連續(xù)點(diǎn)，而且在這些點(diǎn)的躍變都必須是有限值。共一百一十五頁三個條件中，條件①是充分但不是必要條件；條件②、③則是必要而不是充分條件。因此對于許多不滿足條件①，即不滿足絕對(juéduì)可積的函數(shù)，如周期函數(shù)，但滿足條件②、③的也能進(jìn)行傅里葉變換。共一百一十五頁

3、時限信號的幾點(diǎn)說明：

是一個復(fù)數(shù)(fùshù)，可寫成

Re（ω）、Im(ω）分別為的實(shí)部和虛部。分別為的幅值和幅角。Re（ω）--ω為實(shí)頻函數(shù)（實(shí)頻曲線）Im(ω）--ω為虛頻函數(shù)（虛頻曲線）共一百一十五頁

稱為x(t)的幅值譜密度函數(shù)(hánshù)

--ω為x(t)幅值譜密度曲線

θ（ω）--ω為x(t)相位譜密度函數(shù)共一百一十五頁

3.4.2信號的能量(néngliàng)與功率稱x(t)信號的平方可積(a)稱x(t)為絕對可積(b)共一百一十五頁

當(dāng)滿足(mǎnzú)：平方之平均可積（功率有限）則稱為信號的瞬時功率，如功率信號：若滿足（a）式能量信號：若滿足（b）式

共一百一十五頁１、周期(zhōuqī)信號的功率與功率譜時域內(nèi)功率Ｐt（c）共一百一十五頁有（c）式共一百一十五頁２、時限(shíxiàn)信號的能量與能量譜時域內(nèi)的能量

即有：共一百一十五頁3.4.3典型時限(shíxiàn)信號分析例3-3求矩形脈沖的頻譜矩形脈沖如圖所示，時域表達(dá)式為共一百一十五頁解：由于(yóuyú)是一個實(shí)數(shù)，沒有虛部，所以其幅頻譜為相頻譜為共一百一十五頁頻譜圖幅頻圖相頻圖共一百一十五頁討論：●瞬態(tài)量的頻譜是連續(xù)的，它的形狀為周期(zhōuqī)量的離散譜的包絡(luò)線是相似的，有一個主瓣和一些副瓣組成。1）主瓣將變“高”變瘦；

主瓣將變“矮”變胖，若0，則主瓣變成近似水平的帶寬。

共一百一十五頁2）將周期矩形脈沖的頻譜

與單個脈沖頻譜作比較：當(dāng)n=1，時，在周期脈沖的基波(jībō)圓頻率下，以及共一百一十五頁說明：周期信號脈沖的頻譜的包絡(luò)線比脈沖連續(xù)譜差一個(yīɡè)常數(shù)，因子為，兩者是相似曲線。3）在使用頻譜時，一般關(guān)心各譜線間的比例關(guān)系，而不是譜線的絕對值。4）周期信號的能量是無限的，因此用功率譜表示；時限信號的能量是有限的，用能量譜表示。有：共一百一十五頁3.4.4周期信號與時限(shíxiàn)信號的異同點(diǎn)1、相同點(diǎn)：周期信號頻譜的包絡(luò)線與時限信號頻譜的包絡(luò)線相似。2、不同點(diǎn)：時限信號的頻譜時連續(xù)譜，周期信號的頻譜是離散譜共一百一十五頁■從能量角度上看：周期信號用功率譜表示(biǎoshì)；時限信號用能量譜表示?！鲋芷谛盘柗底V縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的諧波分量的幅值；時限信號幅值譜縱坐標(biāo)表示幅值譜密度；■周期信號采用傅立葉級數(shù)（FS）分析；時限信號采用傅立葉積分分析。共一百一十五頁傅里葉變換的主要(zhǔyào)性質(zhì)共一百一十五頁1.卷積特性(tèxìng)證明，F(xiàn)F3.4.5傅里葉變換的主要(zhǔyào)性質(zhì)F共一百一十五頁證明(zhèngmíng)：

令共一百一十五頁2.尺度(chǐdù)變換證明共一百一十五頁３.5隨即信號描述及分析３.5.1隨機(jī)信號的分類1、幾個基本概念１）樣本函數(shù)對隨機(jī)過程作一般時間的現(xiàn)實(shí)記錄所得到(dédào)的時變函數(shù)，如：共一百一十五頁２）樣本總體(zǒngtǐ)所取得的若干個樣本函數(shù)的總和，即由幾個樣本組成的總體。３）隨機(jī)過程所有樣本函數(shù)的集合共一百一十五頁4）隨機(jī)變量在實(shí)驗(yàn)時間T內(nèi)，的每一時刻(shíkè)，隨機(jī)過程是一個隨機(jī)變量。即：將稱之為隨機(jī)過程時刻的狀態(tài)或截口。共一百一十五頁2、隨機(jī)過程的分類1）均值（數(shù)學(xué)期望）

隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)的集合特性，指集合的平均。2）自相關(guān)函數(shù)在隨機(jī)過程中，

共一百一十五頁隨機(jī)過程可分為：平穩(wěn)(píngwěn)隨機(jī)過程、非平穩(wěn)(píngwěn)隨機(jī)過程★平穩(wěn)隨機(jī)過程★非平穩(wěn)隨機(jī)過程●平穩(wěn)隨機(jī)過程分為兩大類：各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程；非各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程。共一百一十五頁1）各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程樣本的時間平均特性可用共一百一十五頁2）非各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程

共一百一十五頁3）各態(tài)歷經(jīng)與非各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程(guòchéng)的主要區(qū)別：各態(tài)歷經(jīng)：共一百一十五頁3.5.2隨機(jī)信號的描述方法幅值域時差(shíchā)域頻域1．幅值域1）均值：2）均方值：共一百一十五頁3）方差(fānɡchà)：4）標(biāo)準(zhǔn)偏差：共一百一十五頁5）概率分布函數(shù)(hánshù)P(x)

定義：隨機(jī)信號幅度在某個x值以下的概率稱之為概率分布函數(shù)

性質(zhì)：

共一百一十五頁6）概率密度函數(shù)P(x)定義(dìngyì)：概率分布函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)共一百一十五頁表示方法：設(shè)落在某一指定(zhǐdìng)區(qū)間內(nèi)的概率為

共一百一十五頁性質(zhì)(xìngzhì)：共一百一十五頁7）均值(jūnzhí)、均方值與P(x)的關(guān)系●概率分布●均值均值為P（x）的一次矩●均方值共一百一十五頁聯(lián)合(liánhé)概率密度共一百一十五頁2、時差域（時延域）★自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)共一百一十五頁●自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)的性質(zhì)共一百一十五頁●互相(hùxiāng)關(guān)函數(shù)性質(zhì)：共一百一十五頁共一百一十五頁應(yīng)用(yìngyòng)例共一百一十五頁★相關(guān)系數(shù)

互相關(guān)系(guānxì)數(shù)函數(shù)

自相關(guān)系數(shù)函數(shù)測量(cèliáng)系統(tǒng)激勵相應(yīng)共一百一十五頁討論(tǎolùn)：共一百一十五頁3、頻域描述對隨機(jī)信號(xìnhào)而言，不能直接用傅立葉積分進(jìn)行頻譜分析?！裨蚴牵翰环辖^對可積的條件一般采用自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)。共一百一十五頁1）自譜密度函數(shù)定義為隨機(jī)(suíjī)信號的自譜密度函數(shù)，用表示共一百一十五頁2）互功率譜密度函數(shù)(hánshù)定義共一百一十五頁

3.6典型激勵(jīlì)信號描述

激勵信號(xìnhào)在測試信號(xìnhào)的分析中起著重要的作用。工程測試中常通過施加激勵信號(xìnhào)來求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)等，以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性參數(shù)或傳感器的靈敏度等。

共一百一十五頁3.6.1沖激函數(shù)及其譜分析

1.沖激函數(shù)定義1（1）圖中的矩形脈沖(màichōng)G(t)，寬為，高為，其面積為1。保持脈沖(màichōng)面積不變，逐漸減小，則脈沖(màichōng)幅度逐漸增大，當(dāng)時，矩形脈沖(màichōng)的極限稱為單位沖激函數(shù)，記為，即函數(shù)，表達(dá)式為

共一百一十五頁表示只在點(diǎn)有“沖激”；在點(diǎn)以外各處，函數(shù)(hánshù)值均為0，其沖激強(qiáng)度（脈沖面積）是1。一個強(qiáng)度為E倍單位值的函數(shù)(hánshù)用來表示。(a)(b)共一百一十五頁（2）狄拉克（Diract）定義(dìngyì)狄拉克給出的沖激函數(shù)定義為

對于在任意點(diǎn)處出現(xiàn)的沖激，可表示為

共一百一十五頁2.沖激函數(shù)的性質(zhì)（1）積分篩選特性當(dāng)單位沖激函數(shù)與一個在處連續(xù)且有界的信號相乘時，其積的積分只有在處得到，其余各點(diǎn)之乘積(chéngjī)及積分均為零，從而有

類似地，對于

共一百一十五頁當(dāng)連續(xù)時間函數(shù)(hánshù)與單位沖激信號或者相乘，并在時間內(nèi)積分，可得到在點(diǎn)的函數(shù)(hánshù)值或者點(diǎn)的函數(shù)(hánshù)值,即篩選出或者。（2）沖激函數(shù)是偶函數(shù)

即

共一百一十五頁

（3）乘積（抽樣）特性若函數(shù)在處連續(xù)，則有

（4）卷積特性兩個信號(xìnhào)與卷積的定義：即定義為信號與的卷積，記作，寫成

共一百一十五頁

對于(duìyú)時延單位脈沖，有

共一百一十五頁3.信號的頻譜