激光束的自聚焦-自散焦與自調(diào)制

激光束的自聚焦、自散焦與相位調(diào)制引言：在各向同性的非線性介質(zhì)中，光場(chǎng)會(huì)引起介質(zhì)極化率的實(shí)部發(fā)生變化，或者說(shuō)光致折射率變化或產(chǎn)生非線性折射率。光致折射率變化的效應(yīng)有多種，這里只介紹光學(xué)克爾效應(yīng)，它表述為介質(zhì)某處折射率變化的大小與該處光強(qiáng)大小成正比。本文介紹自作用（自相位調(diào)制）和互作用（交叉相位調(diào)制）兩種光克爾效應(yīng)。還要討論由于高斯光束橫向分布的不均勻性，光束在傳播過(guò)程中引起的自聚焦，自散焦效應(yīng)的理論，以及相關(guān)的時(shí)間和空間自相位調(diào)制的現(xiàn)象。一．光學(xué)克爾效應(yīng)光克爾效應(yīng)是指光電場(chǎng)直接引起的折射率變化（即非線性折射率）的效應(yīng)，其折射率變化大小與光電場(chǎng)的平方成正比，即。這種效應(yīng)屬于三階非線性光學(xué)效應(yīng)。具有克爾效應(yīng)的介質(zhì)稱為克爾介質(zhì)。光學(xué)克爾效應(yīng)因其產(chǎn)生的非線性極化率的方式不同而被分為兩種：自作用光學(xué)克爾效應(yīng)利用頻率為ω的信號(hào)光自身的光強(qiáng)引起介質(zhì)折射率變化，同時(shí)用一束信號(hào)光直接探測(cè)在該頻率ω下的非線性極化率實(shí)部或非線性折射率的大小。互作用光學(xué)克爾效應(yīng)演示這種光克爾效應(yīng)，需要兩束光：泵浦光---引起折射率變化的強(qiáng)光；信號(hào)光----探測(cè)介質(zhì)折射率變化大小的弱光。也就是用頻率不同（ω’）或偏振方向不同的強(qiáng)泵浦光引起介質(zhì)折射率變化，同時(shí)用頻率為ω的弱信號(hào)光探測(cè)介質(zhì)非線性極化率實(shí)部或非線性折射率的大小。圖1.給出了自作用克爾效應(yīng)和互作用克爾效應(yīng)的兩個(gè)典型例子。(a)自作用克爾效應(yīng)（b）互作用克爾效應(yīng)圖1.兩種光克爾效應(yīng)設(shè)信號(hào)光頻率為ω，泵浦光頻率為ω’，忽略吸收，自作用克爾效應(yīng)和互作用克爾效應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度分別表示為（）（）在光波傳播過(guò)程中，折射率的變化會(huì)引起光的相位的變化?？紤]一個(gè)沿Z方向傳播的平面單色波,光從z=0出發(fā)傳至z=L,引起介質(zhì)的折射率變化為Δn,傳播常數(shù)變化為Δk,相應(yīng)光波的相位變化為（）上式表明光致折射率變化調(diào)制了相位，對(duì)自作用光克爾效應(yīng)和互作用光克爾效應(yīng)，相應(yīng)地存在自相位調(diào)制（SPM）和交叉相位調(diào)制（XPM）兩種。自相位調(diào)制光克爾效應(yīng)為討論自作用光克爾效應(yīng)中折射率與光場(chǎng)的關(guān)系，設(shè)頻率為ω的強(qiáng)激光入射各向同性介質(zhì)，僅考慮一階和三階效應(yīng)，其中一階極化率和三階極化率皆取實(shí)部，則總極化強(qiáng)度為（）根據(jù)和，并定義有效三階極化率,由（）得（）式中是總介電系數(shù)，為實(shí)數(shù)。利用線性介電系數(shù)的關(guān)系和，得到,將它代入式（）得到（）利用（），得總折射率n為（）式中，考慮到等式右邊圓括號(hào)中的后一項(xiàng)比1小得多。式（）的前項(xiàng)n0為線性折射率，后項(xiàng)為非線性折射率，即為（）可見(jiàn)非線性折射率與場(chǎng)振幅平方成正比，比例系數(shù)為非線性折射系數(shù)，即（）它與有效三階非線性極化率實(shí)部成正比。（）變?yōu)椋ǎ├?由式得（）可見(jiàn)非線性折射率與光強(qiáng)成正比，比例系數(shù)n2稱為非線性折射系數(shù)，它與三階極化率實(shí)部的關(guān)系為（）總之克爾介質(zhì)的總折射率包括線性和非線性兩部分，它與光強(qiáng)成線性關(guān)系，即光克爾效應(yīng)引起的光致折射率變化的物理機(jī)制很多，例如：電子極化，電致伸縮，熱效應(yīng)等?？藸柦橘|(zhì)的非線性折射系數(shù)越大，介質(zhì)的響應(yīng)速度越慢，響應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。當(dāng)光束傳播一定距離L時(shí)，因?yàn)榭藸栃?yīng)引起介質(zhì)折射率的變化，而產(chǎn)生光束的非線性相位差為（）交叉相位調(diào)制光克爾效應(yīng)考慮一種特殊的互作用光克爾效應(yīng)。頻率為ω的單色信號(hào)光與頻率為ω’的單色泵浦光同沿Z方向傳播，但兩者的偏振方向不同：泵浦光沿y方向偏振；信號(hào)光沿x-y平面內(nèi)的某任意方向偏振，如圖2所示圖2.信號(hào)光（ω）與泵浦光（ω’）的傳播方向和偏振方向泵浦光引起介質(zhì)折射率或極化率（實(shí)部）發(fā)生變化，從而分別由信號(hào)光電場(chǎng)的x和y方向分量Ex(ω,z)和Ey(ω,z)所產(chǎn)生的非線性極化強(qiáng)度的x和y分量分別為（）（）y方向的耦合波方程為將（）代入上式，并且Δk=0,得（）若認(rèn)為泵浦光E（）不隨x變化，就可得y方向的信號(hào)光場(chǎng)強(qiáng)（）上式中方括弧內(nèi)的量正是信號(hào)光在y方向的非線性折射率，記為Δn聚焦與自散焦示意圖對(duì)于自聚焦，沿介質(zhì)的徑向從軸心到邊沿高斯光束的光強(qiáng)是逐步衰減的，根據(jù)Δn=n2I,因而其折射率也是逐步減小的。可以把光束經(jīng)過(guò)的路徑看成一個(gè)折射率漸變的波導(dǎo)，其作用就像一個(gè)自聚焦透鏡，如圖4所示圖4.自聚焦透鏡對(duì)光束的會(huì)聚作用根據(jù)漸變折射率自聚焦透鏡端面處最大數(shù)值孔徑公式（）式中n0是介質(zhì)的線性折射率，θs為最大的會(huì)聚角。n(0)為中心軸上的折射率，n(0)=n0+Δn。n(R)是邊沿的折射率，該處光場(chǎng)近似為0，則有n(R)=n0,所以由（）得由于會(huì)聚角一般很小，近似有。因此自聚焦會(huì)聚角與激光引起的非線性折射率的關(guān)系為（）另一方面，若介質(zhì)入射面是高斯光束的束腰位置（如圖5），高斯型激光的衍射角近似為圖5.高斯光束的衍射（）K為波矢，a為束腰半徑。所以自聚焦會(huì)聚角與激光衍射角的平方比為（）由此可見(jiàn)，在自聚焦過(guò)程中，同時(shí)存在著兩種互相競(jìng)爭(zhēng)的作用：Δn引起光束會(huì)聚；衍射引起光束發(fā)散。光越強(qiáng)，光束會(huì)聚光斑越小，則衍射作用越強(qiáng)。在本節(jié)末會(huì)證明，只要滿足或（）則自聚焦始終強(qiáng)與衍射，直至其它非線性效應(yīng)終止自聚焦過(guò)程?？紤]到Δn=n2I,為產(chǎn)生自聚焦所需的Δn，根據(jù)（）必須使用的激光光強(qiáng)為（）例如，設(shè)n2=10-13cm2/W,a=1mm,,由（）得當(dāng)光強(qiáng)超過(guò)1MW/cm2就能產(chǎn)生自聚焦。如果激光的自聚焦作用與激光的衍射作用達(dá)到平衡θs=(1/2)θd,就會(huì)出現(xiàn)一種自陷效應(yīng)。穩(wěn)定自陷實(shí)際上就是空間光孤子。根據(jù)入射激光脈沖寬度與激光感生介質(zhì)折射率變化的響應(yīng)時(shí)間的關(guān)系可以把自聚焦分為：穩(wěn)態(tài)自聚焦，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦和瞬態(tài)自聚焦。下面我們分別來(lái)介紹三種自聚焦現(xiàn)象。穩(wěn)態(tài)自聚焦如果激光的脈沖寬度比較長(zhǎng)，遠(yuǎn)大于介質(zhì)的響應(yīng)時(shí)間，自聚焦后的光斑尺寸、焦距都保持相對(duì)穩(wěn)定，此時(shí)自聚焦現(xiàn)象的理論可以用穩(wěn)態(tài)方法處理。以下介紹自聚焦的近軸穩(wěn)態(tài)理論。非線性介質(zhì)的波動(dòng)方程為（）假設(shè)介質(zhì)是各向同性的，方程中的介電常數(shù)為標(biāo)量；并設(shè)E為線偏振的，則（）可寫(xiě)成標(biāo)量形式。方程左邊第一項(xiàng)為（）式中對(duì)于克爾介質(zhì)，利用（）將方程（）右邊的PNL寫(xiě)成（）利用和，則方程（）變?yōu)樵诜匠蹋ǎ┲写胍韵卵豘方向傳播的單色平面光電場(chǎng)和極化強(qiáng)度（）（）式中k=k0n0=n0ω/c;n0為介質(zhì)的線性折射率。則方程（）左邊的第二項(xiàng)為（）這里考慮到復(fù)數(shù)場(chǎng)振幅是z的緩變函數(shù)，因此在方程（）中略去了含項(xiàng)。方程（）中左邊的第三項(xiàng)和右邊的項(xiàng)都含有（）這里考慮到在穩(wěn)態(tài)情況下方程式（）中可略去含和的項(xiàng)。將（）和（）代入（），該式變?yōu)椋ǎ┻@就是拋物線型的穩(wěn)態(tài)自聚焦波動(dòng)方程。一般情況光波不是平面波，復(fù)振幅可表示為如下形式（）式中表示光場(chǎng)的振幅函數(shù)，S（r,z）表示實(shí)際波面與平面波的幾何差異，二者皆為軸對(duì)稱的實(shí)數(shù)。kS(r,z)=φ是光場(chǎng)的相位。將式（）代入（）再分成實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)方程，成為位相和振幅相互耦合的一組耦合方程（）（）方程（）反映能量關(guān)系。因?yàn)楣β?，，?duì)（）兩邊在整個(gè)截面上積分，可得，這表明P在傳播的過(guò)程中是不變的（能量守恒）。對(duì)于高斯光束，在z=0的束腰處，a(z)=a0,場(chǎng)強(qiáng)，，該處截面積為，則通過(guò)光束橫截面的總功率P（與傳播位置z無(wú)關(guān)）為（）方程（）描述光的波面（相位）變化，表明波面的變化由等式右邊兩項(xiàng)所代表的作用確定：第一項(xiàng)為衍射作用，第二項(xiàng)為非線性作用。此方程難于直接求解，只能近似求解。方程（）可以在近軸條件下近似求解。在該條件下，光束橫截面內(nèi)的光束為高斯型，光斑尺寸沿z軸變化,此時(shí)（）和（）就可看做是描述在介質(zhì)中高斯光束傳播的規(guī)律。當(dāng)Δn=0時(shí)為球面波形式。當(dāng)時(shí)波面仍可近似看成球面波，只是球面曲率中心在軸上的位置沿z軸連續(xù)變化，方程（）的解的形式可寫(xiě)成（）（）R為徑向坐標(biāo)。a(z)為光束的半徑，R（z）為波面的半徑。當(dāng)時(shí)為平面波，S=Φ(z)利用（），（）的（Δn/n0）可做如下近似計(jì)算。對(duì)于近軸光有r2<<a(z)2,則；根據(jù)（）,。因此（）將（），（）和（）代入方程式（），可得以下兩個(gè)方程（）（）式中（）設(shè)入射光強(qiáng)和波面的分布具有圓柱對(duì)稱性，故采用柱坐標(biāo)，以r,φ,z代替x,y,z,,，將（），（）代入（）?？傻茫ǎ⒎匠蹋ǎ﹥蛇厡?duì)z求導(dǎo)，利用（）?？傻脤⑸鲜絻蛇叧艘?，并積分可得積分常數(shù)C由初始條件R（0）=R0，a(0)=a0和φ(0)=0來(lái)確定，得到，則方程（）變?yōu)椋ǎ┻@是各向同性非線性介質(zhì)中旁軸近似解的光束半徑變化規(guī)律。若入射光為平面波。，方程（）簡(jiǎn)化為（）可見(jiàn)，當(dāng)B>1/2時(shí)，a(z)<a0，光束會(huì)聚，為自聚焦情況。光束在焦點(diǎn)z=zf處形成焦點(diǎn)，即a(zf)=0。當(dāng)B<1/2時(shí)，a(z)>a0，光束發(fā)散，為自散焦情況。當(dāng)B=1/2時(shí)，a(z)=a0,保持光束半徑不變，屬于自陷獲情況。因此，B決定了光束傳播的規(guī)律。根據(jù)（），B也可以表達(dá)為（）可見(jiàn)B的意義是光致折射率變化的作用和光衍射的作用之比。當(dāng)B=1/2時(shí)，有。根據(jù)（），，相當(dāng)于非線性作用與衍射作用達(dá)到平衡。一般情況下，令a(zf)=0,由方程（）可算出自聚焦焦點(diǎn)位置zf,即（）此式可寫(xiě)成光功率表示形式，根據(jù)式（），（）和k=ω/c,則有（）定義B=1/2時(shí)的功率為臨界功率Pc,由（）得（）可見(jiàn)材料的非線性越強(qiáng)，產(chǎn)生自聚焦的閾值功率越低。利用（），（）和（），式（）可改寫(xiě)為（）以下討論在不同的入射波面的情況下，聚焦光束截面尺寸隨傳播距離的變化的情況：當(dāng)平面波入射，，P>Pc,自聚焦的焦距zf為正值（）由式（）可以看出：a0越小，P越大，zf越小。(2)當(dāng)會(huì)聚光入射,R<0,則焦距zf滿足（）若入射波為弱會(huì)聚，當(dāng)，式（）右邊第二項(xiàng)取“+”號(hào)，此時(shí)只有一個(gè)向入射方向移動(dòng)的焦點(diǎn)；若入射波為強(qiáng)會(huì)聚，即，式（）右邊第二項(xiàng)取“”號(hào)，即有兩個(gè)聚焦點(diǎn)存在。（3）當(dāng)入射波為發(fā)散波，R0>0,則焦距zf滿足光束在介質(zhì)中逐漸由發(fā)散轉(zhuǎn)為會(huì)聚的條件為zf>0,即。表明當(dāng)入射光率一定時(shí)，只有入射光發(fā)散不太大時(shí)，才有可能在介質(zhì)中形成自聚焦。圖6給出了在不同入射條件下的自聚焦光斑尺寸變化的圖像。（a）平行光入射（b）弱會(huì)聚光入射（c）強(qiáng)會(huì)聚光入射（d）弱發(fā)散光入射圖6.不同入射條件下的自聚焦光斑隨z的變化圖像準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦當(dāng)入射激光是短脈沖的，必須考慮光束參量隨時(shí)間的變化。如果脈沖寬度較短，但比介質(zhì)對(duì)場(chǎng)的響應(yīng)時(shí)間大很多，或者說(shuō)介質(zhì)對(duì)場(chǎng)的響應(yīng)仍可以被認(rèn)為是瞬時(shí)的，自聚焦的焦距隨激光強(qiáng)度的變化而隨時(shí)間變化，這就是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦。比如激光脈寬為10-9秒（納秒），介質(zhì)響應(yīng)時(shí)間為10-12秒（分子弛豫機(jī)制），成為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦。對(duì)于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦，不能完全忽略振幅隨時(shí)間的變化，在求解波動(dòng)方程（）時(shí)，可略去對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，但要保留對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)仍然保留場(chǎng)對(duì)z坐標(biāo)的緩變條件。公式（）變成（）為群速度。引入新的獨(dú)立變量t’=t-z/v和z’=z（）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，于是（）因此（）可改寫(xiě)為（）比較（）和（）可看出兩個(gè)方程的形式相同。所解得的自聚焦焦距公式形式也應(yīng)當(dāng)相同。只是對(duì)方程（），焦距是時(shí)間的函數(shù)。在平面波入射的情況下，自聚焦焦距應(yīng)為（）如果仍用（z,t）作變量，式（）可表示為（）可見(jiàn)在動(dòng)態(tài)自聚焦情況下，自聚焦焦距是隨時(shí)間變化的，而t時(shí)刻的zf是由t-z/v時(shí)間的光功率引起的。上面是旁軸近似得到的解，嚴(yán)格的數(shù)值解給出zf與P的關(guān)系為（）常數(shù)K和臨界功率都可以由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。由（）可見(jiàn)，在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)自聚焦中，焦點(diǎn)位置在介質(zhì)中并不固定，而是隨時(shí)間t變動(dòng)。Zf(t)與t的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖中可看出，當(dāng)激光入射至介質(zhì)后，因?yàn)樽跃劢挂獫M足閾值條件，所以在tD時(shí)刻首先在zD處產(chǎn)生一個(gè)焦點(diǎn)。然后它沿著U形線分成兩支運(yùn)動(dòng)。焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度由曲線的斜率確定。沿DAE一支向光束的前進(jìn)方向運(yùn)動(dòng)，速度可大于c/n。沿另一支DBC表示自聚焦焦點(diǎn)先是向后運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)最短焦距zB后又返回，再向前運(yùn)動(dòng)（zB與輸入脈沖峰值功率相對(duì)應(yīng)）。這一支焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度始終小于光速，特別在zB處焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為零。這種雙焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖像在實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)得到證實(shí)。圖7（a）自聚焦焦點(diǎn)隨時(shí)間變化曲線圖7（b）入射激光脈沖功率P（t）波形值得注意的是，自聚焦焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度超過(guò)光速并不違背狹義相對(duì)論，因?yàn)椴煌瑫r(shí)刻的焦點(diǎn)是來(lái)源于入射脈沖的超過(guò)自聚焦閾值的不同部分的自聚焦，因而焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)并不代表整個(gè)光脈沖信號(hào)進(jìn)入介質(zhì)的能量傳輸過(guò)程，光脈沖的傳播速度必須用群速度來(lái)描述，它不會(huì)超光速。從自聚焦破壞的角度來(lái)講，焦點(diǎn)運(yùn)動(dòng)由速度比較慢的地方即停留時(shí)間長(zhǎng)的地方最易發(fā)生介質(zhì)破壞，這相當(dāng)于圖中的zB處。確實(shí)在透明的液體中已經(jīng)在這個(gè)區(qū)域觀測(cè)到激光引起的氣泡。瞬態(tài)自聚焦當(dāng)激光脈寬比介質(zhì)Δn的響應(yīng)時(shí)間更短（或接近）時(shí)，自聚焦的過(guò)程就必須考慮Δn隨時(shí)間的變化了，必須考慮因Δn的時(shí)間延遲引起的光脈沖的前沿部分如何影響其尾部的自聚焦，這就是瞬態(tài)自聚焦現(xiàn)象?？梢杂脠D8定性說(shuō)明。圖8.激光脈沖在介質(zhì)中形成喇叭形傳播的瞬態(tài)自聚焦過(guò)程圖(a)激光功率隨時(shí)間的變化曲線中a~f表示滿足閾值條件的各個(gè)時(shí)刻的功率。當(dāng)a部位脈沖輸入時(shí)，由于介質(zhì)來(lái)不及對(duì)場(chǎng)響應(yīng)，Δn很小，因而它在傳播時(shí)幾乎是線性地衍射，到b部位有稍微大一些的Δn，但還未大到足夠引起自聚焦，因此它依然是衍射，但較a段脈沖的衍射要小。當(dāng)c段脈沖輸入時(shí)，由于先前a、b段脈沖產(chǎn)生的Δn已經(jīng)足夠大，足以克服衍射效應(yīng)使光線向中間會(huì)聚。同樣可分析d~f段脈沖，它們的聚焦點(diǎn)一個(gè)比一個(gè)向前移，且聚焦后不發(fā)散。這是因?yàn)殡m然e~f段的峰值功率變小，但由于以前引起介質(zhì)折射率變化的累積使Δn變得很大仍可形成自聚焦。如果我們?cè)谕粫r(shí)刻把a(bǔ)~f各時(shí)刻輸入脈沖的各時(shí)刻輸入脈沖的各自波前連接起來(lái)，就得到如圖喇叭型的脈沖激光的橫向輪廓。自聚焦的危害及消除非線性自聚焦具有非常大的危害性。過(guò)去的幾十年,人們一直對(duì)此進(jìn)行著廣泛深入的研究。圓對(duì)稱超高斯激光束在克爾介質(zhì)中傳輸時(shí)也會(huì)由于非線性自聚焦效應(yīng)而形成自聚焦環(huán),自聚焦環(huán)在擾動(dòng)的作用下將分裂成絲。自聚焦環(huán)的形成及分裂是影響光束質(zhì)量,甚至造成光學(xué)元件損傷的主要因素之一。重慶文理學(xué)院物理與信息工程系的趙華君發(fā)表在《激光雜志》中的一篇論文指出可以采用具有負(fù)非線性折射率系數(shù)(n<0)的非線性介質(zhì)來(lái)補(bǔ)償非線性自聚焦效應(yīng),從而抑制光束傳輸時(shí)的非線性增長(zhǎng)。他在實(shí)驗(yàn)中采用的是具有較大負(fù)折射系數(shù)的GaAs。結(jié)果表明,圓對(duì)稱超高斯光束在通過(guò)克爾介質(zhì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯的自聚焦環(huán),然而當(dāng)使用具有負(fù)折射率系數(shù)的非線性介質(zhì)對(duì)自聚焦效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償，可以大大減小光束的累積B積分，有效防止圓對(duì)稱超高斯光束自聚焦環(huán)的產(chǎn)生。四川大學(xué)光電系和中國(guó)工程物理研究院高溫高密度等離子體物理國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的研究人員發(fā)表在《光學(xué)學(xué)報(bào)》上的一篇論文指出適當(dāng)?shù)剡x取圓對(duì)稱超高斯光束的初始參量，如合理選取其階數(shù)和寬度，可以降低自聚焦成環(huán)效應(yīng)，從而降低因自聚焦環(huán)分裂在光束邊緣出現(xiàn)的細(xì)光束對(duì)介質(zhì)造成的成絲破壞。三．自相位調(diào)制時(shí)間自相位調(diào)制實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一個(gè)線寬很窄（~1cm-1）的激光脈沖經(jīng)過(guò)自聚焦后，從細(xì)絲區(qū)出射的光有很強(qiáng)的頻譜展寬。對(duì)納秒脈沖，展寬約數(shù)十個(gè)波數(shù)（cm-1），而對(duì)皮秒脈沖，展寬可達(dá)幾千個(gè)波數(shù)以上。對(duì)亞飛秒脈沖，甚至可展成白光連續(xù)譜。這種自聚焦光的譜線自增寬效應(yīng)是由自聚焦的相位自調(diào)制引起的。以下用一個(gè)物理理論模型加以解釋。設(shè)入射激光脈沖的光電場(chǎng)表示為（）式中τ=t-(z/v);v是光脈沖的群速度；光功率密度為。光脈沖在自聚焦細(xì)絲中傳播，使介質(zhì)的折射率發(fā)生的變化為。光束通過(guò)長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)絲，其相位被調(diào)制，發(fā)生如下的相位變化（）設(shè)入射光脈沖的中心頻率為ω0，自相位調(diào)制引起的頻移為Δω=ω-ω0。在t時(shí)刻相位變化引起的頻率增寬為（）在頻域中的光振幅是頻率增寬的函數(shù)，可由傅里葉變換得到（）相應(yīng)的光強(qiáng)的頻譜分布為（）假設(shè)入射脈沖為脈寬約為5ps的高斯型光脈沖，因，也應(yīng)是高斯型對(duì)稱的，用公式（）可算得隨時(shí)間變化的波形，如圖9上部所示；按公式（）算得頻移啁啾曲線，Δω(t)的兩個(gè)負(fù)的和正的峰分別對(duì)應(yīng)高斯型的兩個(gè)拐點(diǎn)，如圖9中部所示；用（）和算得的光強(qiáng)頻譜分布曲線如圖9下部所示?？梢?jiàn)功率譜相對(duì)于激光的頻率ω0也是對(duì)稱的.頻譜增寬約300cm-1。如果入射功率引起的相位調(diào)制是上升比下降陡得多的，則功率譜是不對(duì)稱的。如圖（b）所示圖9（a）上升和下降對(duì)稱的相位調(diào)制Δφ及其對(duì)應(yīng)的功率譜圖9（b）上升比下降陡得多的相位調(diào)制Δφ及其對(duì)應(yīng)的功率譜因?yàn)?，此處有最大的斜率，因此譜振幅最大，它們處于頻率譜上最遠(yuǎn)的兩端：-Δω(即ω=ω0+Δω)在左邊；Δω(即ω=ω0-Δω)在右邊。靠近曲線的中心部分斜率最小，因而譜振幅最小。在Δω(t)曲線上存在著許多頻率相同，但位相不同的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)相當(dāng)于兩個(gè)頻率相同但位相不同的兩個(gè)波發(fā)生干涉，是相長(zhǎng)干涉還是相消干涉，由它們間的相位差決定，因此輸出譜上出現(xiàn)峰和谷交替的半周期振蕩結(jié)構(gòu)。每一邊的峰數(shù)目由的整數(shù)倍數(shù)決定。由于Δω(t)曲線的峰頂較平坦，因此譜邊沿的峰較寬。由于不對(duì)稱的輸出功率譜，因?yàn)轫憫?yīng)的太小，變化緩慢，使振蕩數(shù)太少，且周期太