2024-2025學年高一數學上學期期中必刷壓軸60題（解析版）

期中真題必刷壓軸60題（20個考點專練）

一、根據特稱（存在性）命題的真假求參數

1.（22-23高一上?山東淄博?期末）若命題/“*eR,座2+2小+3=0”為假命題，則實數加的取值范圍

是.

【答案】^G[0,3）

【知識點】根據特稱（存在性）命題的真假求參數

【分析】原題轉化為方程加犬+2加x+3=0有解，求出加的范圍，然后在R中的補集即為所求.

【詳解】因為“*eR,mx2+2mx+3=0"

所以方程mx2+2mx+3=0有解，

當”7=0時，方程0./+2*0.+3=0無根；

當機手。時，A=4m2-4/w-3>0,即加e（-s,0）U[3,+co）

又因為命題?是假命題，貝。e[0,3）

綜上：me[0,3）

故答案為：me[0,3）

二、根據必要不充分條件求參數

2.（23-24高一上?陜西西安?階段練習）已知二次函數》=/一2辦-3a②，aeR.

⑴若不等式V<0的解集為卜卜1<x<3},求實數。的值及該二次函數的最小值；

（2）若-1<x<2是不等式/<0成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.

【答案】⑴。=1,5=T

12

⑵a——<a<—

33

【知識點】根據必要不充分條件求參數、解含有參數的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數

【分析】（1）根據題意，列出不等式，利用二次不等式的性質，可得參數的值，結合二次函數的性質，可

得答案；

（2）根據題意，列出不等式，利用十字相乘法，結合分類討論，可得其解集，根據必要不充分條件，可得

答案

【詳解】（1）由題意知不等式x?_2辦-3/<0的解集為3T<x<3｝,

—1+3=2a

即方程Y一2姓一3a2=0的兩根為-1,3,所以一卜3=-3尸得0—

因為了=/-2x-3=(x-l『-4,所以當x=l時，坨n=T.

(2)不等式歹<0,即*-2QX-3Q2=(X-3Q)(X+Q)<0.

當。=0時，不等式歹<0的解集為0；

當。>0時，不等式了<0的解集為｛x卜a<x<3a｝；

當a<0時，不等式了<0的解集為｛x|3a<x<-a｝.

因為-l<x<2是不等式了<0成立的必要不充分條件，所以不等式了<0的解集是卜卜1<》<2｝的真子集.

當。=0時，滿足；

[—a2—12

當。>0時，由%/c，w0<a<-；

[3（2<23

當。<0時，由<,得一彳<。<0.

[-a<23

/<2]

所以實數4的取值范圍是I33J.

三、用不等式表示不等關系

3.（23-24高一上?新疆?期中）某校新生加入乒乓球協(xié)會的學生人數多于加入籃球協(xié)會的學生人數，加入籃

球協(xié)會的學生人數多于加入足球協(xié)會的學生人數，加入足球協(xié)會學生人數的3倍多于加入乒乓球協(xié)會和加

入籃球協(xié)會的學生人數之和，若該校新生每人只能加入其中一個協(xié)會，則該校新生中加入這三個協(xié)會的總

人數至少為（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【知識點】用不等式表示不等關系

【分析】依題意列出不等式，結合其整數的性質依次從小到大分析即可得解.

【詳解】依題意，設加入乒乓球協(xié)會、籃球協(xié)會、足球協(xié)會的學生人數分別為a,b,c,

若c=l,貝IJ〃+bN3+2=5,不滿足3c>o+b；

若。=2,貝|Jq+bN4+3=7,不滿足3c>a+b；

若c=3,貝lJa+bN5+4=9,不滿足3c>a+b；

若c=4,則q+bZ6+5=11,滿足3c>a+b；

貝!l%n=4,0nm=6,6mm=5,則（a+b+cL=15.

故選：C.

四、差法比較代數式的大小

4.（23-24高一上?山東濰坊?期中）某人分兩次購買同一種物品，因價格有變動，兩次購買時物品的單價分

別為q,&且q7%.若他每次購買數量一定，其平均價格為2；若他每次購買的費用一定，其平均價格為

白，貝I（）

A.bx<b2B.b1>b2

C.t\=b?D.瓦,優(yōu)不能比較大小

【答案】B

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】根據條件分別計算出小打，作差比較大小即可.

【詳解】假設每次購買這種物品的數量為加，

則平均價格4=誓%=幺詈；

假設每次購買這種物品所花的錢為〃，

nn

則第一次購得該物品的數量為一，第二次購得該物品的數量為一,

%a2

_2〃_2_2。必2

2---

則平均價格A+2L±+±?I+?2，

.,；Q[+〃22〃]〃2（〃]+2）2—4〃]/

貝I]bx-b2=--'=―—'"

2ax+a2

=（%二琢>0

2（4+。2）

所以4>b2,

故選：B.

五、基本不等式的應用

5.（22-23高一上?山東?期中）己知x>0,y>0,且x+y+肛=3,若不等式x+y27”?恒成立，則實

數機的取值范圍為（）

A.-2<m<1B.-1<m<2

C."zW-2或D."zV-l或機，2

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題

【分析】首先根據基本不等式得到（工+用小=2,結合題意得到蘇一加W（x+y）1nm,即療一機《2,再解不

等式即可.

【詳解】孫=3-（x+y）wSp，當且僅當x=V=l時等號成立，

解得x+y22,即（x+yL=2.

因為不等式x+加2一加恒成立，

所以加2一加?（x+y）min，即加？—加工2,解得一加42.

故選：B

6.（多選）（23-24高一上?山東煙臺?期中）已知4>0,6>0,2。+6=1則（）

112

A.必的最大值為三B.—1"：的最小值為6

8ab

C.的最大值為0D.。+4的最小值為:

8b8b8

【答案】AC

【知識點】利用函數單調性求最值或值域、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不

等式“1”的妙用求最值

【分析】根據均值不等式和不等式的性質判斷AB,消元思想和函數性質的應用判斷CD即可.

【詳解】對于A：l=2a+b>2y/2ab^>ab<-f

8

當且僅當a==：時取到等號，A正確；

42

c12f12""64aclb4a

對于B：—+—=—+—（2a+Z））=4+—+—->4zi+2J—x—=o8,

ab\ab）ab\ab

當且僅當。=!，/>=：時取到等號，B錯誤；

42

對于C：2a+6=lna=1>o,所以6e(0,l),所以

ZoOZoOZ\,ZoO

"j所以『b1

S^-+—>2,—i---=o>

28b28b44

當且僅當。）:取到等號，c正確;

11-b1

對于D：-1---=----1—

8b28b

由函數性質易知/㈤=46）在（0,1）單調遞增，所以/伍）=46＜/（1）=3,

所以,小一少,'胃,故口錯誤，

故選：AC

7.（多選）（23-24高一上?湖南長沙?階段練習）設。，6為兩個正數，定義。，6的算術平均數為

4（a,b）二卒,幾何平均數為G（a,6）=而，則有：G（a,b）＜A（a,b）,這是我們熟知的基本不等式.上

個世紀五十年代，美國數學家DH.Ze/wver提出了Ze歷wer均值"，即乙（。,6）=-「其中。為有

505

,M_a°-+b-_y[a+4b

理數.如：與"尸尸二匚工.下列關系正確的是（）

y[ay[b

A.L05（a,b）＜A（a,b）B.￡0（?,/?）＞G（?,/））

C.L2（a,b）NL、（a,b）D.Ln+l（a,b）＜L^a^b）

【答案】AC

【知識點】由不等式的性質比較數（式）大小、柯西不等式求最值

【分析】根據新定義逐個選項代入，化簡后根據基本不等式與柯西不等式判斷即可.

.、當花刀、卜Lo5(a，b)=^+弋=工"+b),

【詳解】A：°-5V71112IL故A對；

y/ay/b

cT/7、Q0+b02ab/labr-r1..

B：L(a,b)————r=-----—f==y]ab—G(a,b),故B錯；

0a+ba+b2vub

?r/a2+b2rl八a+b

C：七(。,6)=------>4((1,1))=不一,

a+b2

222

Z,(a,b)2(/+/)2(/+/)a+b++]j

1JL\a,b)(?+Z))2cr+bUlaba2+b2+2ab-'雙…

an+1+b"+1

n

乂/T+尸

L*i(a,b)nn(a”+i+6"+i)(4+b^

D：由柯西不等式,a+b故D錯.

L"(a,b)an+bn(an+bn)2~(an+bn)2

4

故選：AC.

8.（23-24高一上?山東煙臺?期中）某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來

水的使用量.經測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：萬元）

與設備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數為0.2.預計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費C（單

位：萬元）與設備占地面積x之間的函數關系為C（x）=U（x>0）.將該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4

年需繳水費之和合計為了（單位：萬元）.

（1）要使y不超過7.2萬元，求設備占地面積X的取值范圍；

（2）設備占地面積x為多少時，V的值最??？

【答案】⑴[11,20]

（2）設備占地面積為15m2時，y的值最小.

【知識點】建立擬合函數模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用

【分析】（1）由題意解不等式0.2x+--^7.2,即可求得；

x+5

（2）利用基本不等式即可求解.

QQ

【詳解】（1）由題意得V=0.2x+--（x>0）.

要滿足題意，則yW7.2,

OQ

即0.2x+——W7.2,解得：llVx<20.

x+5

即設備占地面積X的取值范圍為[11,20].

八。80x+580lx+580.__/T-T_

（2）y—0.2,xH-------=--------1---------122J-------x---------l=2jl6-I4—7,

x+55x+5v5x+5

當且僅當亭=2=X=15時等號成立.

所以設備占地面積為15m2時，y的值最小.

9.（23-24高一上?山東煙臺?期中）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基

本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出

南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東

門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門x里見到樹，則.若一小城，如圖

X

15

所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）

)

A.2函里B.4A麗里C.6廂里D.8麗里

【答案】D

【知識點】基本(均值)不等式的應用、基本不等式求和的最小值

EF-GF

【分析】根據題意得G4=----------,進而得斯?Gb二匹?GZ=4x2.5=10,再結合基本不等式求4(即+GF)

EB

的最小值即可.

【詳解】因為1里=300步，

則由圖知￡8=1200步=4里，G/=750步=2.5里.

FFGF

由題意，得由~f1

EB

貝=E3-GN=4x2.5=10,

所以該小城的周長為4(EF+GF)>^EF-GF=8廂，

當且僅當EF=GF=歷時等號成立.

故選:D.

10.(23-24高一上?湖南長沙?階段練習)已知函數/(x)=x-2,g(x)=x2-2mx+4(%eR),若對任意國e[l,2],

存在344,5],使得g(xj=/(x2),則掰的取值范圍_____.

【答案】]"行

_4J

【知識點】求二次函數的值域或最值、基本(均值)不等式的應用、函數不等式恒成立問題、函數不等式

能成立(有解)問題

【分析】

由題意可判斷{y，=g(x),lWxW2}￡{y,=/(x),4Wx45},由此求出/(x)e[2,3],可得相應不等式恒成

立，轉化為函數最值問題，求解即可.

【詳解】由題意知｛引尸g(x)”尤W2｝u｛中=〃X),4W｝；

當xe[4,5]時,/(x)e[2,3],

故g(x)=/-2加x+4(weR)需同時滿足以下兩點：

①對VXE[1,2]時,g(x)=x2-2mx+4<3

2加Zx+L恒成立，

由于當Vxe[l,2]時，y=x+^為增函數，

X

2m+—

24

②對VXE[1,2]時，g(x)=x2-2mx+4>2,

2一

2加Kx+—恒成立，

由于無+2220,當且僅當x=2,即x=J^e[l,2]時取得等號，

X%

2m<26.,:.m<V2,

me—,V2,

l_4」

故答案為：14」

11.（23-24高一上?江蘇連云港?階段練習）設矩形的周長為16,如圖所示，把它沿對角

設48=x,A"）產的面積為S.

⑴用x表示如長，并寫出x的范圍;

（2）求S的最大值.

…舊、,,8x-32口”。

【答案】（1）尸。的長為>=------且4Vx<8

X

(2)48-1672

【知識點】分式型函數模型的應用、基本(均值)不等式的應用

【分析】(1)設=結合CP+PD=X,得出方程J(8-x)2+j?+y=x,求得y="六，進而得到

4Vx<8,即可求解；

(2)由$=二(8-無)?y=:;(8-x)?上二=4-(-x--+12)=48-4.(x+—),結合基本不等式，即可求解.

22xxx

【詳解】(1)解：因為矩形的周長為16,由/2=x,則3c=8-x,

設尸D=>,由絲△CB'P,可得DP=B，P=y,

在直角^CB'P中，可得CP=yJCB'2+B'P2=7(8-x)2+y2,

又由CP+PQ=x,可得J(8_x)2+/+y=x,整理得好應干

又因為可得x>4且8-工>0且，解得4Vx<8,

所以心的長為y=空上且4Vx<8.

X

(2)解：由a的為直角三角形，可得：

11or_ao3?32I

S^-(8-x)-y=-(8-x)----------=4.(-x-—+12)=48-4-(x+—)<48-4x2Jx--=48-1672,

22xxx，x

當且僅當工=三時，即x=4及時，等號成立，

X

所以am5面積的最大值為48-16垃.

12.(23-24高一上?山東?期中)某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生

產設備，預計使用該設備后前”(〃eN*)年的支出成本為(10/-5")萬元，每年的銷售收入95萬元.設使用

該設備前〃年的總盈利額為/(〃)萬元.

(1)寫出/(")關于〃的函數關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；

(2)使用若干年后對該設備處理的方案有兩種：

方案一：當總盈利額達到最大值時，該設備以20萬元的價格處理；

方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備以60萬元的價格處理；

問哪種方案較為合理？并說明理由.

【答案】⑴/5)=T0("T)(”9),該設備從第2年開始實現總盈利；

(2)方案二更合適，理由見解析.

【知識點】利用二次函數模型解決實際問題、基本(均值)不等式的應用

【分析】(1)根據題意，直接求得了(〃)，令/(〃)>0,結合〃的取值范圍，即可求得結果；

(2)分別求得兩種方案下的總利潤，結合使用年限，即可判斷.

【詳解】(1)由題意可得/■(〃)=95"-(10"2-5〃)-90=-10/+100〃-90=-10(〃-1)(〃-9),

由〃")>0得1<〃<9,又“eN*,所以該設備從第2年開始實現總盈利.

(2)方案二更合理，理由如下：

方案一：由(1)知，總盈利額/("hTOr+ioow-gOn-lOe-Sy+lGO,

當〃=5時，/(〃)取得最大值160,

此時處理掉設備，則總利潤為160+20=180萬元；

方案二：由(1)可得，

平均盈利額為E?=T0/+I0°”9Q

nn

=-10,+2]+1004100一20^TJ=40,

9

當且僅當〃==,即〃=3時等號成立；

n

即〃=3時，平均盈利額最大，此時/(")=120,

此時處理掉設備，總利潤為120+60=180萬元.

綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適.

六、根據分段函數值相等求參數

y/x,x>0

13.(23-24高一上?江蘇淮安?期中)已知函數”x)=1,若機<",=則〃一力的取值

—x+l,x<0

12

范圍是()

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.弓,2)

【答案】B

【知識點】分段函數的性質及應用

【分析】畫出圖象，根據圖象確定〃7,〃的取值范圍，得出”一機的取值范圍.

【詳解】根據圖象〃x)=0有兩個交點，/?e(0,1],

m<n，f(m)=f(n),

/(x)=l時，m=0,令五=1,x=\,故〃=1,所以〃一加二1；

/(x)=。時，m=-2,令4=0，x=l,故〃=0,根據題意〃wO,所以〃一機v2

所以〃-加w[1,2).

故選：B

七、由抽象函數的周期性求函數值

14.（23-24高一上?江蘇淮安?期中）已知定義在（0,+8）上的函數/（x）,滿足〃9）+1=/（力+/（田，且

佃=0,則/（*=（）

A.1B.10C.11D.1024

【答案】C

【知識點】由抽象函數的周期性求函數值

【分析】根據〃孫）+i=/（x）+/（y）進行賦值，得到/'（xb/im+i進而求解答案即可.

【詳解】因為定義在（0,+8）上的函數/（X）,滿足/（到）+l=/（x）+/（＞）,

所以令X=y=l,得+1=+所以=

令匕，得?。?=｛）+/出,

因為m°，所以〃x）=4￡i+i,

所以/（2|。）=/（29）+1=/（28）+2=-.=〃2）+9=/（1）+10=11.

故選：C

八、“三個二次”綜合問題

15.（23-24高一上?山東煙臺?期中）已知在（一8,1]上遞減的函數Hx）=N—2笈+1,且對任意的打,

切曰0,f+1],總有貝"（一兀⑸區(qū)2,則實數f的取值范圍是（）

A.［-V2,V2］B.［1,V2］

C.［2,3］D.［1,2］

【答案】B

【知識點】根據二次函數的最值或值域求參數

【分析】由函數Hx)=N—2笈+1在(-8,1］上遞減，可得侖1,從而可得;(x)在［0,f+1］上的最大值為人0)=

1,最小值為2〃+1=—/十］,進而得］從而求出f的取值范圍

【詳解】由于兀t)=N—2a+1的圖象的對稱軸為x=3

又y=Ax)在(-8，1］上是減函數，所以侖1.

則在區(qū)間［0,dl］上，加)max=#0)=1，

y(X)min=/K)=〃一2〃+1=~t2+1,

要使對任意的尤八X2G［0,i+1］,

都有貝內)一人到)區(qū)2,

只需1—(―F+1)W2,WW--V2<t<V2.

又侖1,，1vtwV2"

故選：B

16.(23-24高一上?天津?期中)設函數［(x)的定義域為R,滿足〃x+2)=2/(x),且當xe(0,2］時，

/(x)=x(x-2).若對任意xe(-oo,間，都有/(x)2-3,則加的最大值為.

9

【答案】1/4.5

【知識點】函數圖象的應用、求二次函數的值域或最值、函數不等式恒成立問題

【分析】根據函數/(x+2)=2/(x),且xe(O,2］時，/(x)=x(x-2),作出函數/(x)的圖象，利用數形結

合法求解.

【詳解】解:因為函數/(x+2)=2/(x),且xe(O,2］時，/(x)=x(x-2),

所以/(x)=2/(x-2),

當x￡(~~2k,-2k+2]時，x+2ke(0,2],

則〃x)=；〃x+2)+?〃x+4)=…$〃x+2%),

爹~(x+2后)(x+2人-2)G皆0，

當x￡(2左,24+2]時,x-2k(0,2],

/(x)=2/(X-2)+22/(X-4)=...=2kf(x-2k),

=2*(x-2左)(x-2左一2)e[—2：0],

作出函數/(x)的圖象如圖所示：

由圖象知:當左=2時，XG（4,6],此時/（x）=2"（x-4）e[-4,0],

所以令22口一4乂-6）=-3,解得》=|或x=],

所以對任意xe（-8,間，都有/（X）2-3時，加的最大值為g,

9

故答案為：—

17.（23-24高一上?山東日照?期中）若不等式也產上2>1對一切實數x均成立，則實數力的取值范圍

X+X+1

為.若存在實數乩使得關于加的方程/+（3—6）機+6-6=0在上述范圍有解，則實數b的取值范

圍為.

【答案】[1,5）5,g]

【知識點】復雜（根式型、分式型等）函數的值域、函數與方程的綜合應用、一元二次不等式在實數集上

恒成立問題

【分析】①由條件轉化為不等式（加-1）/+（加-l）x+l>0恒成立，運用分類討論思想及一元二次不等式恒

成立條件可求出加的范圍；②由條件轉化為方程6=.+3加+6有解,求6的范圍即轉化為函數

m+1

〃m）=加+3%+6的值域,運用分離常數法及對勾函數的單調性即可得結果.

【詳解】由條件可知即為不等式（加T）/+（加_i）x+l>O,xeR恒成立，

當加=1時不等式顯然恒成立;

m-1>0

當mwl時，由一元二次不等式（加-1江2+（加-1.+1>0/?區(qū)恒成立可得

A<0

Im>1

即j(m-l)(m-5)<01<m<5,

綜上可知：加的取值范圍為［1,5）；

因為加e［l,5）,可知根+1*0,

依題意，方程+（3-切〃+6-6=0有解，

即方程6=二誓2,04機＜5）有解，

所以求6的范圍即轉化為求函數/（加）=叱等^,（14加＜5）的值域，

?/加”七+3加+6=（加*）舊〃，+a4＞」+］,

m+1m+1m+\

4

令/=機+1＜2,6）,g（z）=/+-+l,

23

又對勾函數g（。在［2,6）上為增函數，且g⑵=5,g（6）=y,

，g⑺e5,g1,B|J.'./（?）￡5d所以6的取值范圍為5d

故答案為：［1,5）；5w］

18.（23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知函數/（力="2-2辦+b+2（a＞0）在區(qū)間［0,1］上的最大值比最

小值大3,且"1）=0.

⑴求a,6的值；

（2）當xe1,2時，函數y=/（x）的圖象恒在函數了=%/+1的圖象下方，求實數加的取值范圍.

【答案】（1）0=3/=1

（2）（3*）

【知識點】函數不等式恒成立問題、根據二次函數的最值或值域求參數

【分析】（1）根據二次函數的性質，得到可得/（x）在［0』上單調遞減，求得函數的最大值和最小值，列

出方程，求得。=3,進而求得b的值，得到答案；

（2）根據題意，轉化為加＞2-（工）2-62+3在日,2］上恒成立，設/=,€。,3］,設函數

/z（f）=2f2-6l+3jeg,3］,結合二次函數的性質，得到函數最大值，即可求解.

【詳解】（1）解：由/（X）=ox?—2〃x+b+2=〃（1一1）2-a+b+2,（a＞0）,

所以/（X）表示開口向上，且對稱軸X=1的拋物線,

可得函數/(X)在［0,1］上單調遞減,

所以/(x：L=〃l)=-a+6+2J(xL=/(O)=6+2,

又由/■(。)一〃1)=3,可得b+2-(一。+6+2)=3,解得0=3,

所以/。)=—。+6+2=6—1=。，可得6=1,即。=3,6=1,

(2)解：由題意，可得/(x)=3廠-6x+3<+1在耳,2］上恒成立，

即加>2《工)2-62+3在日,2］上恒成立，

1114

設七叱,3］,設g)=2產-6/+3/e［于3］,開口向上，對稱軸語，

133

所以，當代耳3］時，函數〃⑺單調遞減；當時，函數〃⑴單調遞增，

所以〃(。4以3)=2*9-6、3+3=3,所以加>3,

所以實數加的取值范圍為(3,+e).

19.(23-24高一上?山東煙臺?期中)已知函數/'(力=-^+/，beR,

⑴解關于x的不等式/(x)+2Z>2>0；

⑵從①{中(/(x)<24=上2］,②{/(X)㈠x42/}=卜,2中這兩個條件中任選一個,補充在下面問題的

橫線處，并給出問題的解答.

問題：是否存在正數,,使得_?若存在，求出f的值：若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析.

【知識點】根據函數的單調性求參數值、解含有參數的一元二次不等式、根據二次函數的最值或值域求參

數

【分析】(1)先代入，再進行因式分解，最后根據參數的取值不同分別得到解集即可；

(2)先將題目意思理解為定義域和值域問題，然后對二次函數對稱軸的分布分類討論，根據不同情況分別

求出/和6的值，再逐一驗證是否符合要求即可.

【詳解】(1)由/(X)+2/20,則*+樂+26220,

即(x+b)(x-2b)<0,

①當6=0時，不等式的解集為｛0｝；

②當6<0時，不等式的解集為［26,

③當6>0時，不等式的解集為卜A2”，

綜上，當6<0時不等式的解集為［26,-川，6=0時不等式的解集為｛0｝,6>0時不等式的解集為［-仇2”；

(2)因為/(x)是開口向下的二次函數，

若選擇條件①：

此時d/(x)V2f的解集為xe&2］,

所以/(/)="空=：,且/電力

由/(')="t+2t=b,得一?+3"=/,解得￡=

133

當，=］時，6=—,此時/(%)=-，,

—⑶9339)1。

所以——=/—=----F—x—=—<2x—=2^,

UJUJ1624162

因此”;時符合題意；

若選條件②：

此時％￡在2］,24,

①當|■N2^=>624%時，/(X)在［，2］單增，此時/?)=/=>—/+4=，=>/=6—1,

且/(2，)=2,=>—4/+26,=2,n，=------,所以6-1=---=>b=1,此時％=0,矛盾;

22

②當時，/(X)在上2］單減，止匕時

且/(/)=2，n—t2+bt=2t=t=b-2,所以2［】=6-2=>b=g,

此時與矛盾；

③當/時，/(x)在單增，|,2?單減，

,/八cb2b2b2

此時n/曰=20-丁+萬=n20/=葭

且/-==

所以"="，解得6=2土夜，

o4

當6=2-&時1=3:&,與/矛盾；

當6=2+也■時/=過22，滿足所以"過22滿足要求；

4224

④當時，/(x)在單增，1,2/單減，

此時/曰=20-了+萬=2/,=葭

且/?)='=-t2+bt=t=t=b—\,

所以"=6-1,解得6=4±2也，

O

3b

當6=4-2后時/=3-2&,與]矛盾；

3b

當6=4+2后時f=3+20，與5t<5<2/矛盾，

故正數/的取值為史2區(qū)，

4

綜上，若選①則若選②則公土芋.

20.(22-23高一上?山東?期中)給定teR,若存在實數/使得/(%)=%成立，則定義/為/(x)的廣

點.已知函數/(無)=辦2+6x+6+6(xeR).

(1)當。=1,6=一3時，求/(x)的1*點；

(2)設。=1,b=-4,若函數/(x)在(0,+句上存在兩個相異的/*點，求實數f的取值范圍；

(3)對于任意的ae,總存在be[-2,0],使得函數/(x)存在兩個相異的廣點，求實數/的取值范圍.

【答案】⑴/(x)的1*點為1和3；

⑵卜4+2夜,+oo)；

(3)/<-2卡或/>2.

【知識點】根據二次函數零點的分布求參數的范圍、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、函數新定義、

函數不等式恒成立問題

【分析】(1)根據給定的定義，解一元二次方程作答.

(2)根據給定的定義及已知，借助二次函數在(0,+")有兩個不同零點求解作答.

(3)根據給定的定義，利用一元二次方程恒有兩個不等實根列式，再結合恒成立的條件及一元二次不等式

在區(qū)間上有解求解作答.

【詳解】(1)當。=1,6=-3時，f(x)=x2-3x+3,依題意，x2-3%+3=x,即/-4》+3=0,解得x=l

或x=3,

所以當。=1,6=-3時，/(x)的1*點為1和3.

(2)當。=1,6=-4時，/(x)=x"-4x+2,依題意，/-4x+2=fx在上有兩個不同實數解，

即/-(/+4)》+2=0在(0,+句上有兩個不同實數解，令g(x)=x2-?+4)x+2,

A=(?+4)2-8>0

因此函數g(x)在(0,+句上有兩個零點，而g(0)=2>0,因此r+4,解得/>-4+20,

----->0

I2

所以實數t的取值范圍是(-4+2拒,+8).

(3)因函數/(x)總存在兩個相異的「點，則方程/("=氏，即辦2+9一/卜+6+6=0(。二0卜恒有兩個不

等實根，

依題意，對任意的"3』，總存在北[-2,0]使―他-)一446+6)>0成立，

即對任意的?？偞嬖赽e[-2,0]使四二]>4。成立，而2<4。<4恒成立，

于是得存在be[-2,0],不等式止11>4成立，而破二01>4o62_2?+2M+r_24>0，

一b+6b+6

從而得不等式〃3)=方2-2(7+2)6+/一24>0在[-2,0]上有解，又二次函數〃S)開口向上，

因止匕〃(-2)=/+4/-12>0或%(0)=/-24>0,解〃+務一12>0得f<一6或t>2,

解7-24>0得,t<-2瓜或t>2#),則有/<-2/或/>2,

所以實數f的取值范圍是f<-2"或"2.

21.(23-24高一上?山東德州?期中)已知函數/(x)=x2-(a+3)x+6(aeR)

⑴當。=2時,解不等式/汁)20；

(2)解關于x的不等式f(x)<6-3a;

(3)已知g(x)=?u+7-3加,當a=l時，若對任意的占e[1,4],總存在馬€[1,4],使/(現)=8伉)成立，求

實數加的取值范圍.

【答案]⑴(y,2M3,+動

(2)答案見解析

⑶(f-5]口

【知識點】根據集合的包含關系求參數、求二次函數的值域或最值、解不含參數的一元二次不等式、解含

有參數的一元二次不等式

【分析】(1)利用十字相乘法求解可得；

(2)根據相應方程兩根的大小關系分類討論即可；

(3)將問題轉化為/(x)的值域是g(x)的值域的子集求參數范圍的問題，然后根據包含關系討論可得.

【詳解】(1)當。=2時，f(x)=x2—5x+6,

所以-5x+6>0?(x-2)(x-3)>0,

解得x<2或

即不等式/(%”0的解集為2M3,十句.

(2)因為函數/(X)=%2-(Q+3)X+6(Q￡R),

所以不等式/(x)?6—3〃，等價于公―(〃+3卜+3。40,

即(X-3)(X-Q)?0,

當Q<3時，解得67<X<3;

當a=3時，解得％=3；

當。>3時，角軍得3<x<a,

綜上，當。<3時，不等式的解集為何a"W3｝；

當a23時,不等式的解集為｛x|3a｝.

(3)當a=l時，/(x)=x2-4%+6=(%-2)2+2,

因為xe[l,4],所以函數/(X)的值域是[2,6],

因為對任意的玉總存在了2?[1,4],使〃xj=g(%2)成立，

所以/(x)的值域是g(x)的值域的子集，

當切>0時，g(x)在區(qū)間[1,4]上單調遞增，得g(x)e[7-2加，加+7],

m>0

則7-2m<2,解得m>—；

2

m+7>6

當加<0時,g(x)在區(qū)間[1,4]上單調遞減,<g(x)e[m+7,7-2m],

m<0

貝卜7—2加之6,解得m<-5,

m+1<2

當機=0時，g(x)e{7},不滿足題意.

綜上，實數加的取值范圍g+s]

22.(23-24高一上?廣東?期中)已知二次函數/(x)同時滿足以下條件：①/(2+x)=/(2-x),②/(0)=1,

③/(2)=-3.

⑴求函數/(x)的解析式；

⑵若Mx)=/(x)+(相+4)x,xe[-l,2],求：

①〃(x)的最小值。(加);

②討論關于m的方程忸(S)|=左的解的個數.

【答案】⑴/(x)=x'-4x+l

5+2m,m<-4,

加2

⑵①9㈣---,-4<m<2,；②答案見解析

2—m,m>2.

【知識點】求二次函數的值域或最值、求二次函數的解析式、函數與方程的綜合應用

【分析】⑴由42+X)="27)得，對稱軸為x=2,然后設〃x)=a(x-2)2+6,利用另外兩個條件列出

方程組求解即得；

(2)①根據二次函數的對稱軸與區(qū)間的關系分類討論研究最小值：

②根據①中求得的函數。(以)的解析式，分析各段上的函數值的正負，從而得到函數了=|。(加)|的解析式,

畫出函數y=|e(M|的圖象，利用數形結合方法討論方程忸(加)|=左的實數根的個數.

【詳解】(1)(1)由/(2+x)=〃2-x)得,對稱軸為x=2,

設f(x)=a(x-21+6,

]/(0)=4a+6=lJa=l

??|/(2)=^=-3，侍1=-3'

f(x)=(x-2)--3=x2-4x+1.

(2)(2)(T)^(^)=/(x)+(m+4)x=x2+mx+l,xe[-l,2],對稱軸尤=-￡

i當RW-1即〃?22時，h（x）在［-1,2］單調遞增,

Mx)min=〃(T)=27”，

——

ii-1＜＜2即-4＜加＜2時，力（、）在1,—單調遞減，在-~—52單調遞增,

，〃⑴.—生］=1—江，

—mm12J4

iii當-即加＜-4時，“X）在［-1,2］單調遞減，

〃(x)min=〃(2)=5+2m,

5+2m,m<-4,

綜上：h[x}mm=(p{rn)=<\-^-,-4<m<2,

2-m,m>2.

②畫出函數y=o（加）的圖象圖下圖所示:

利用圖象的翻轉變換得到函數了=|。（"）|的圖象如圖所示:

方程"（時=k的根的個數為函數y=|夕的）|的圖象與直線y=k的交點個數，由圖象可知:

當在<0時，方程何加)卜左無解;當0〈萬<1時，方程何叫="有4個解;當左=0或左>1時，方程I。(，小

有2個解;當左=1時，方程/端=:有3個解.

九、分段函數的單調性、最值

23.(多選)(23-24高一上?江蘇淮安?階段練習)已知廠[而:則下列結論正確

Ij(x-2),x>1

的是()

A."12)=2

B./(x)的最大值為2

C./(x)的增區(qū)間為[2左-1,2修(AeN)

D./(/(2"l))=2(AwN)

【答案】ABC

【知識點】函數周期性的應用、函數奇偶性的定義與判斷、定義法判斷或證明函數的單調性、分段函數的

性質及應用

【分析】對于A,根據函數表達式直接求值即可；對于B,當-14x41時，=二1+出工，利用基

本不等式求出/Yx)最大值進而得到答案；對于C,先研究函數在卜1』上的奇偶性，再在利用定義

法求解單調性，結合函數周期性進而得到增區(qū)間；對于D,舉反例直接說明即可.

【詳解】對于A,當x>l時，/(x)=/(x-2),此時函數周期為2,

故/(12)=/(0)=1+1=2,故A正確；

于B,當一14xW1：寸，=l—尤+1+尤+2J1—x■11+x=2+2J1—尤.11