2024-2025學(xué)年山西省呂梁市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山西省呂梁市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-2,—1,0,1,2},B-{x|x2<2},則4CB=()

A.[0,1}B.{-1,1}C.{-1,0,1)D.{0}

2.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)2,貝i||z|=()

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）

A./(%)=cosxC./(%)=D./(x)=2%-2

4.已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均不為0,設(shè)甲：ai=an_2an+2（nEN*,n>3）；乙：數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列，則甲是

乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

5.已知△ABC滿足卷1而，AM=^AB+^C,且向量瓦?在向量就上的投影向量為萍，貝UtanNCAM=

西

2

6.如圖，設(shè)矩形ABCDQIB<4D）的周長(zhǎng)為8si,把△4CD沿4C向△4BC折A

疊，力。折過(guò)去后交BC于點(diǎn)P,記aABP的周長(zhǎng)為I,面積為S,貝號(hào)的最大值

A.3-2A/2

B.3+2A/2

C.6+4^2

D.6—4^/2

7.已知函數(shù)/（%）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（尤+1）為偶函數(shù)，當(dāng)0W比W1時(shí)，/（x）=32x+2x-l,則下

列結(jié)論中正確的是（）

B.樗)<3

A./(14)>3C./(萬(wàn)3)<3D./(log218)<3

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TTX

8.當(dāng)％e[0,2初時(shí)，曲線y=2s譏?%-§)3>0)與y=sinS-,)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，則實(shí)數(shù)3的取值范圍

是()

A.(|為B.[|,5C.(|,演D.[總芻

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列命題正確的是()

1

A.sin6cos6(tan0+=1

B.sm40°(tanl0°—=1

C.在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，an=m,am=n,(m^n),則。加十九=0

D.在等差數(shù)列｛七｝中，S九為其前幾項(xiàng)和，若S4=6,S8=10,則Si6=18

10.若實(shí)數(shù)%,y滿足/+y2_/y=2,則()

A.%2+y2<3B.xy>|C.%+y之一的D.y-x<平

11.已知函數(shù)/(X)='-mX,則下列結(jié)論正確的是()

A.若0<a<b,則/(a)>f(b)

B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C./(log20232024)+/(log20242023)=0

D.若/'(a)=「-以：；，a￡(0,1),be(0,+oo),則ae"=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量H=(2,3),b=(m,|),且(2+21)〃Z,則zn=.

13.對(duì)于數(shù)列｛aj定義數(shù)列｛斯+1+斯｝為數(shù)列｛陶的“和數(shù)列"，若的=1,數(shù)列｛a?｝的“和數(shù)列”的通

項(xiàng)公式為3-2",則數(shù)列｛冊(cè)｝的前21項(xiàng)和S2i=.(結(jié)果保留指數(shù)形式)

14.在銳角△A8C中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若爐―=公，則稱+一的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(Y)=2^sina>xcosa>x—2cos2a>x+1(<D>0,xGR),且/'(%)的最小正周期為兀.

(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移9(W>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若。(久)是偶函數(shù)，求3的最小

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值；

(2)若f(o)=|,ee[o,f],求cos2。的值.

16.(本小題15分)

2

已知函數(shù)/(%)=log2(x-2x+2).

(1)證明：曲線y=/(%)是軸對(duì)稱圖形；

(2)若函數(shù)gQ)=2/W+|x3-2x+a在[—3,3]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題15分)

民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村需振興.為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)域規(guī)劃成休閑度假

區(qū)，通過(guò)文旅賦能鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個(gè)功能區(qū)：區(qū)域規(guī)劃為露營(yíng)區(qū)，

△P4B區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū)，△27!(；區(qū)域規(guī)劃為自由活動(dòng)區(qū).為安全起見，預(yù)在魚塘四周圍筑護(hù)欄.已知

乙ABC=90°,AB=3?m,BC=3km,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，乙BPC=120°.

(1)當(dāng)時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度(△P4B的周長(zhǎng))；

(2)若乙4PB=120°,求tan/PBA；

(3)為了容納更多的游客，露營(yíng)區(qū)的面積要盡可能大，求露營(yíng)區(qū)面積的最大值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(X)=x(lnx+rri)(m&R).

(1)令g(x)=4^+小久之+久，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在%1，*2(久1<刀2)使得/'(久1)=/(久2)，求證：%1%2<e-2~2m.

19.(本小題17分)

對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛an｝,“若存在口力一出=eN*即>k),必有。?,+1-縱+1=t”，則稱數(shù)列｛an｝具有

M(t)性質(zhì).

(1)若數(shù)列5｝滿足即=(In-SCn^kneN*)判斷數(shù)列5｝是否具有“⑴性質(zhì)？是否具有M(4)性質(zhì)？

(2)把(1)中滿足M(t)性質(zhì)的t從小到大一一列出，構(gòu)成新的數(shù)列｛g｝，若S“=￡之14,求證：Sn<2；

2^-1

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（3）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{即},設(shè)T={x|x=dj-aj</},若數(shù)列具有M（。）性質(zhì)，求集合T中元素個(gè)數(shù)的最大

值.（寫出表達(dá)式即可，結(jié)論不需要證明）

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參考答案

l.c

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.0

8.B

9.4C

IQ.ACD

ll.BCD

12.1

13.411—3

14.(羊竽)

15.解：(1)/(%)=2y^sina)xcosa)x—2cos2(ji)x+1

=y/^sin2a)x—cos2(ji)x=2sin(2a)x—^),

由于/(%)的最小正周期為江，所以3=1,

所以/(%)=2s譏(2%—勺,

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=/0-0)=2s譏［2(%-0)-看

71

]=2sin(2x—2(p--^),

由于g(x)是偶函數(shù)，所以一20-著=/OT+-W=-Gz,

由于0>0,所以k=一1時(shí)，0取得最小值為號(hào).

(2)/(0)=2s譏(28—1)=,,sin(20=1)=|,

由于e6[O,f],20G[0,爭(zhēng),29—臺(tái)[—翳],

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所以cos(2。一勺=Jl-sin2(20-^)=右

所以cos26=cos［(20-^)+?=x^-|x1=4^~3.

UDD/。乙J_U

16.(1)證明:由函數(shù)/(%)=/。比(/-2%+2),定義域?yàn)镽,

22

則/(2-%)=Zo,g2［(2—%)—2(2—%)+2］=log2(x—2x+2),

因此可得/(%)=/(2-x),

故函數(shù)y=/(乃的圖象關(guān)于久=1,即曲線y=/(%)是軸對(duì)稱圖形.

2o7

(2)解：由g(%)=2“%)+-%3—2%+a=%2—2%+2+-%3—2%+a=-%3+%2—4%+2+a,

若函數(shù)g(x)=2八，)+|爐—2x+a在［—3,3］上有三個(gè)零點(diǎn)，

則方程以久)=|x3+X2-4X+2+a=0在［—3,3］上有三個(gè)實(shí)根，

即。=-jx3-%2+4x—2在［—3,3］上有三個(gè)實(shí)根，

令拉⑺=-|x3-x2+4x-2,則y=a與h(x)的圖象在［—3,3］上有三個(gè)交點(diǎn)，

又h'(X)=—2x2—2x+4=-2(%+2)(x—1),

當(dāng)—3<%<—2或1<%<3時(shí)，h'(x)<0,

則h(%)在［-3,-2)和(1,3］上單調(diào)遞減,

當(dāng)一2V%VI時(shí)，hf(x)>0,則九(%)在(-2,1)上單調(diào)遞增,

又h(-2)=x(—2)3—(—2)2+4x(—2)-2=一學(xué)'九(1)=xI3—I2+4X1—2=

h(-3)=-|x(-3)3—(—3)2+4x(-3)-2=-5,h(3)=一|x33-32+4x3-2=-17,

因此可得h(久)的圖象如圖所示，

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17.解：（1）在aPBC中，由正弦定理得

sinZ-PCBsin乙BPC

gn二

sin乙-sinl20of

解得sin/PCB=1,

而NPCB為銳角，貝U/PC8=30°,乙PBC=30°,/.PBA=60。，

在△PEB中,由余弦定理得以2=(73)2+(373)2-2X73X3鄧Xcos60°=21,

即R4=721,

所以△P4B的周長(zhǎng)，

即護(hù)欄的長(zhǎng)度為(即+4^3)km；

(2)令銳角NPB4=6,則NPBC=90。一仇乙PCB=60°-(90°-0)=6-30°,

在△PBC中，由正弦定理得:

sin(0-3O°)—s譏120。

貝!JPBs譏120。=3sin(0-3O°),

在△P4B中，由正弦定理得

sinZ.PABsin乙4PB

貝lJPBsinl20。=3避sin（60。-0）,

于是3s譏（8—30。）=3避sin（60?！?）,

整理得tcm。=竽，

所以tan/PBA=早；

（3）設(shè)4PBC=,（0°<（p<60°）,貝！UPCB=60°-cp,

PRQ

在△PBC中，由正弦定理得訴『二痂而，

則PB=24sin（6OO-0）,

于是△P8C的面積,BCsin（p=3避sin（60°—0）siri0=3避吟~sin（pcos（p-5?（p）

=3Fd^~stn2（p+7cos2（p"）=^?sin（2（p+30°）—^^,

44424

而30°<2R+30°<150°,

則當(dāng)2p+30°=90°,即s=30°時(shí)，（S4PBC）=攣，

4

所以為了容納更多的游客，露營(yíng)區(qū)的面積要盡可能大，露營(yíng)區(qū)面積的最大值為攣人小2.

4

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18.解：(1)易知g(%)="%++mN+%,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

h〃目，/、2mx2+x+1

可得9(X)=---------------，

當(dāng)TH=0時(shí)，g'(x)=號(hào)>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)加>0時(shí)，g'Q)>W^>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m<0時(shí)，4=1—8m>0,

令g'(x)=0,

解得久1=T+--8T=-1-《一8優(yōu)>0,

4m4m

因?yàn)?1+'1—8m>0,

所以％1<0,

當(dāng)0<%V%2時(shí)，“(%)>0,g(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)%>%2時(shí)，“(%)V0，9(%)單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)m>0時(shí)，g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)巾<0時(shí)，9(比)在(0,士三加)上單調(diào)遞增，在(一1一『而+8)上單調(diào)遞減

(2)證明：易知/(久)定義域?yàn)?0,+8),

可得「(%)=+m+1,

當(dāng)0<%ve-m-i時(shí),f(x)<0,f(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)久>e-mT時(shí),f'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

m1

所以%1<e--<x2,

因?yàn)椋?("%1+m)=%2(2+血)，

令第1=tx2,0<t<1,

此叮無(wú)2一仇5+m~tf

grpi仇為2+m_

"Int+lnx2+m-'

pti-tjthrt

lnx=--m,

2i-t

所以=Int+lnx2=7^7—m,

1—t

第8頁(yè)，共10頁(yè)

止匕時(shí)仇打十仇=2=-2m(0<t<1),

"：1—1t""

冷一2

即久i%2—e1n

此時(shí)只需證明2即可,

1—t

即明(t+1)仇t+2(1—t)<0,

令h(t)=(t+l)Znt+2(1—t),函數(shù)定義域?yàn)?0,1),

令F(%)=lnx-x+1,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得F'(久)=亍，

當(dāng)0<久<1時(shí)，尸(久)>0,F(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)z(x)<0,F(%)單調(diào)遞減,

所以F(%)<F(1)=0,

所以仇％<%-1,

即吟4一1,

111

所以"(t)=lnt+A-1>1-A+A_1=O,h(。在(0,1)上單調(diào)遞增，

則h(t)<h(l)=0.

故久i%2<e~2~2m,

19.解：(1)因?yàn)榧?｛聚5/色&ENy

當(dāng)九23時(shí)，冊(cè)均為奇數(shù)，

故若存在。加一以=1(磯々EN*,m>fc),

由題意可得口m+s~ak+s=l，sN3,sGN，

由奇數(shù)減奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)減偶數(shù)為偶數(shù)，可得a^+s-隊(duì)+s為偶數(shù),

與a?n+s—+s矛盾，

所以數(shù)列｛冊(cè)｝不具有M(l)性質(zhì)；

因?yàn)椤?—。3=4,。6—。4=4,且。5+左一。3+k=4,k6N,

故數(shù)列｛冊(cè)｝具有M(4)性質(zhì)；

(2)證明:因?yàn)榭?圖”>為”N*)，

Q1=2,。2=4為偶數(shù)，

n>3時(shí)，an均為奇數(shù)，故由題設(shè)條件知t不可能為奇數(shù)，

第9頁(yè)，共10頁(yè)

又a3+k+n-a.3+k=2n(fc>0,n>1),bn=2n,

令c="—=二_=_____I_____<」_

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