高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題02回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)（原卷版）

《2020年數(shù)學(xué)（文）選考與統(tǒng)計(jì)部分二輪專項(xiàng)提升》專題02回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)高考題型特點(diǎn)：這部分屬于高考必考內(nèi)容，既考客觀題，也考大題，難度中等。二、重難點(diǎn)：1.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)求出線性回歸方程.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)是根據(jù)K2的值判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度.三、易錯(cuò)注意點(diǎn)：1.求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a^，b^，由于a^，b^的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分步進(jìn)行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤.2.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值.3.獨(dú)立性檢驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k0的計(jì)算公式很復(fù)雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時(shí)出錯(cuò)，而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).四、典型例題：例1．（2019全國1文17）某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828例2．（2015湖北）已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)例3．（2012新課標(biāo)）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．?1B．0C．eq\f(1,2)D．1例4．（2015北京）高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是；②在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是．例5．（2018全國卷Ⅱ）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．6．（2017新課標(biāo)Ⅰ）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經(jīng)計(jì)算得QUOTE，QUOTE，，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，=1，2，…，16．(1)求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)．(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0．01)附：樣本的相關(guān)系數(shù)，．五、強(qiáng)化提升訓(xùn)練：1．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y4.0a－5.4－0.50.5b－0.6得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.若樣本點(diǎn)的中心為(5，0.9)，則當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，y就()A．增加1.4個(gè)單位 B．減少1.4個(gè)單位C．增加7.9個(gè)單位 D．減少7.9個(gè)單位2．已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y304050m70根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，則表中m的值為()A．45 B．50C．55 D．603.(2019·焦作模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x34567y2.5344.56根據(jù)上表可得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.454.(2019·丹東教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2＝6.705，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有________的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒有關(guān)系”()P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%5.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()x681012y6m32A.變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝20時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.7C.m＝4D.該回歸直線必過點(diǎn)(9，4)6.(2019·黃山一模)在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說法正確的是()A.若K2的觀測(cè)值為k＝6.635，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D.以上三種說法都不正確7.(2019·承德期末)某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D.最低氣溫低于0℃的月份有4個(gè)8．一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)，第i次試驗(yàn)零件個(gè)數(shù)xi(單位：個(gè))與加工零件所花費(fèi)時(shí)間yi(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720，那么加工零件所花費(fèi)時(shí)間y對(duì)零件個(gè)數(shù)x的線性回歸方程為________．9．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)：零件數(shù)x/個(gè)1020304050加工時(shí)間y/分鐘6268758189由最小二乘法求得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))的值為________．10．在西非“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：感染未感染總計(jì)服用104050未服用203050總計(jì)3070100附表：P(K2≥k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下，認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與服用疫苗有關(guān)”．11．某小賣部銷售某品牌飲料的零售價(jià)與銷量間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：單價(jià)x/元3.03.23.43.63.84.0銷量y/瓶504443403528已知x，y的關(guān)系符合回歸方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝－20.若該品牌飲料的進(jìn)價(jià)為2元，為使利潤最大，零售價(jià)應(yīng)定為________元．12．某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷售量y(單位：萬件)之間的關(guān)系如表：x1234y12284256(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型擬合y與x的關(guān)系(不必說明理由)；(3)根據(jù)y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量．參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).13．“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤著濃烈的詩情．每年六、七月份，我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南Q鎮(zhèn)2009～2018年梅雨季節(jié)的降雨量(單位：mm)的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問題：(1)“梅實(shí)初黃暮雨深”，請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)Q鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量；(2)“江南梅雨無限愁”，Q鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁，他過去種植的甲品種楊梅，畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大(把握超過八成)，而乙品種楊梅2009～2018年的畝產(chǎn)量(單位：kg)與降雨量的發(fā)生頻數(shù)(年)如2×2列聯(lián)表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)，請(qǐng)你幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更??？(完善列聯(lián)表，并說明理由)降雨量畝產(chǎn)量[200,400)[100,200)∪[400,500]合計(jì)＜6002≥6001合計(jì)10附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.70614．在2019年女子世界杯期間，法國部分餐廳銷售了來自中國的小龍蝦，這些小龍蝦均標(biāo)有等級(jí)代碼．為得到小龍蝦等級(jí)代碼數(shù)值x與銷售單價(jià)y(單位：元)之間的關(guān)系，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：等級(jí)代碼數(shù)值x384858687888銷售單價(jià)y/元16.818.820.822.82425.8(1)已知銷售單價(jià)y與等級(jí)代碼數(shù)值x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1)；(2)若莫斯科某餐廳銷售的中國小龍蝦的等級(jí)代碼數(shù)值為98，請(qǐng)估計(jì)該等級(jí)的中國小龍蝦銷售單價(jià)為多少元？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(6)),\s\do6(i＝1))xiyi＝8440，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(6)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝25564.15．某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制的頻率分布直方圖如圖所示．規(guī)定80分以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗(滿分為100分)．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)該次考試的平均分eq\x\to(x)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表)；(3)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)．晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k)0.400.250.150.100.050.025k0.7081.3232.0722.7063.8415.02416．(2019·湖南長沙雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題，我國環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制