2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第5講　球的切接問題原卷版

第5講球的切接問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球 2【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球 4【專題精練】 6考情分析：空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球一、單選題1．（2020·全國·高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為4．（2024·遼寧·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，為面的中心，則以下命題正確的是（

）A．平面截正方體所得的截面面積為B．四面體的外接球的表面積為C．四面體的體積為D．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則存在平面內(nèi)一點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為三、填空題5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知空間四面體滿足，則該四面體外接球體積的最小值為．規(guī)律方法：求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．三棱柱存在內(nèi)切球B．直線被三棱柱的外接球截得的線段長為C．點(diǎn)在棱上的位置唯一確定D．四面體的外接球的表面積為4．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點(diǎn)，是底面圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．球的體積為B．三棱錐體積的最大值為C．的最大值為3D．若為中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為三、填空題5．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為.6．（2024·廣西·二模）在三棱錐中，，，△PAC，的面積分別3，4，12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，則其內(nèi)切球的表面積為．規(guī)律方法：空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．A． B． C． D．8．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·新疆烏魯木齊·一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，則（

）A．該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12B．該幾何體的棱數(shù)為24C．該幾何體的表面積為D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)10．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得二面角大小為B．存在點(diǎn)，使得平面與平面平行C．當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的表面積為11．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）

A．直三棱柱的體積為B．直三棱柱外接球的表面積為C．若分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為D．取得最小值時(shí)，三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）《論球與圓柱》是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的得意杰作，據(jù)傳說在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖為一個(gè)圓柱與球的組合體，其中球與圓柱的側(cè)面和上?下底面均相切，為底面圓的一條直徑，，若球的半徑，則球的體積與圓柱