2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)十三平面向量的應(yīng)用舉例湘教版必修第二冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(十三)平面對(duì)量的應(yīng)用舉例[練基礎(chǔ)]1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是()A．2eq\r(5)B．eq\f(5\r(5),2)C．3eq\r(5)D．eq\f(7\r(5),2)2．若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心3．已知銳角三角形ABC的外接圓的圓心為O，半徑為eq\r(2)，且eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－1，則A＝()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,12)4．在四邊形ABCD中，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則這個(gè)四邊形是()A．平行四邊形B．矩形C．等腰梯形D．菱形5．已知單位向量e1，e2分別與平面直角坐標(biāo)系x，y軸的正方向同向，且向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝3e1－e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1＋6e2，則平面四邊形ABCD的面積為()A．eq\r(10)B．2eq\r(10)C．10D．206．(多選)在水流速度為4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是()A．這艘船航行速度的大小為12eq\r(3)km/hB．這艘船航行速度的大小為8eq\r(3)km/hC．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為150°D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為120°7．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．8．正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，則cos∠DOE＝________．9．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．10．已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7，0).(1)求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．[提實(shí)力]11．如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地動(dòng)身，向河對(duì)岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝8km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2km/h，船的速度與水流速度的合速度為v，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是()A．船頭方向與水流方向垂直B．cos〈v1，v2〉＝－eq\f(1,4)C．|v|＝2eq\r(17)km/hD．該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為3分鐘12．當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30°B．60°C．90°D．120°13．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿意3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則△ABM與△ABC的面積之比為________．14．已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)部(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊CD的中點(diǎn)，則|eq\o(MP,\s\up6(→))|－|eq\o(MB,\s\up6(→))|的最大值是________；eq\o(MP,\s\up6(→))·(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))的最小值是________．15．如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.[培優(yōu)生]16．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問：在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM?課時(shí)作業(yè)(十三)平面對(duì)量的應(yīng)用舉例1．解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求D點(diǎn)坐標(biāo)為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴||＝eq\r(\f(25,4)＋25)＝eq\f(5\r(5),2).答案：B2．解析：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，則＋＝2.又因?yàn)椋?，所以＝－2.因?yàn)镺為公共點(diǎn)，所以O(shè)，C，E三點(diǎn)共線，且||＝2||.所以O(shè)為△ABC的重心．答案：D3．解析：因?yàn)椤ぃ絴|·||·cos∠BOC＝2cos∠BOC＝－1，所以cos∠BOC＝－eq\f(1,2)，所以∠BOC＝eq\f(2π,3)，所以A＝eq\f(π,3).答案：A4．解析：由＝eq\f(1,2)知DC∥AB，且|DC|＝eq\f(1,2)|AB|，因此四邊形ABCD是梯形．又因?yàn)閨|＝||，所以四邊形ABCD是等腰梯形．答案：C5．解析：取(e1，e2)作為基，則＝(3，－1)，＝(2，6)，則||＝eq\r(32＋（－1）2)＝eq\r(10)，||＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).因?yàn)椤ぃ?×2＋(－1)×6＝0，所以⊥，所以平面四邊形的對(duì)角線相互垂直，所以該四邊形的面積S＝＝eq\f(\r(10)×2\r(10),2)＝10.答案：C6．解析：設(shè)船的實(shí)際航行速度為v1，水流速度為v2，船的航行速度為v3，依據(jù)向量的平行四邊形法則可知：v3＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝8eq\r(3)km/h，設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為θ，所以tan(180°－θ)＝eq\f(12,4\r(3))＝eq\r(3)，所以θ＝120°.答案：BD7．解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq\r(2)，∠ABC＝45°，∴·＝4eq\r(2)×4×cos45°＝16.答案：168.解析：以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故cos∠DOE＝＝eq\f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(4,5).即cos∠DOE的值為eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．解析：設(shè)＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).10．解析：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F1，F(xiàn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J.(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J).∴合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J．11．解析：由題意可知，v＝v1＋v2，當(dāng)船的航程最短時(shí)，v⊥v2，而船頭的方向與v1同向，由v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0，可得v1·v2＝－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝－4，cos〈v1，v2〉＝eq\f(v1·v2,|v1|·|v2|)＝－eq\f(1,4)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；|v|＝|v1＋v2|＝eq\r(（v1＋v2）2)＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋2v1·v2＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\r(4－2×4＋64)＝2eq\r(15)(km/h)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為60×eq\f(0.4,2\r(15))＝eq\f(4\r(15),5)(分鐘)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：B12．解析：作＝F1，＝F2，＝－G(圖略)，則＝＋，當(dāng)|F1|＝|F2|＝|G|時(shí)，△OAC為正三角形，所以∠AOC＝60°，從而θ＝∠AOB＝120°.答案：D13.解析：如圖，D為BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)?－－＝0，則＝eq\f(1,2)(＋).所以3＝2，所以＝eq\f(2,3)，所以S△ABM＝eq\f(2,3)S△ABD＝eq\f(1,3)S△ABC.答案：1∶314．解析：如圖，由||－||≤|－|＝||＝2eq\r(5)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)等號(hào)成立；如圖所示，取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)為N，連接MN，則·＝(＋)·(＋)＝||2－||2，又因?yàn)辄c(diǎn)M為正方形ABCD內(nèi)部(包括邊界)一動(dòng)點(diǎn)，所以·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2(||2－4)≥－8，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，取得最小值－8.答案：2eq\r(5)－815．證明：設(shè)＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，則a＝e＋c，b＝e＋d，即a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.因?yàn)椋剑絛－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.16.解析：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).則＝(3，－4)，由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．所以＝eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4,3)))，于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))，假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PC⊥BM，則設(shè)＝λ，且0<λ<1，即＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))＝eq\b\