非線(xiàn)性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法

非線(xiàn)性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線(xiàn)性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線(xiàn)性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線(xiàn)性偏微分方程定義:各階微分項(xiàng)有次數(shù)高于一的，該微分方程即為非線(xiàn)性微分方程(一)主要研究?jī)?nèi)容非線(xiàn)性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，無(wú)論在理論中還是在實(shí)際應(yīng)用中，非線(xiàn)性偏微分方程均被用來(lái)描述力學(xué)、控制過(guò)程、生態(tài)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題。利用非線(xiàn)性偏微分方程描述上述問(wèn)題充分考慮到空間、時(shí)間、時(shí)滯的影響，因而更能準(zhǔn)確的反映實(shí)際。本方向主要研究非線(xiàn)性偏微分方程、H-半變分不等式、最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用。1.非線(xiàn)性偏微分方程的研究:我們主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及穩(wěn)定性;偏微分方程的初值問(wèn)題、初邊值問(wèn)題的整體解(包括周期解和概周期解)的存在性及漸近性;平衡解的存在性，尤其是當(dāng)問(wèn)題依賴(lài)于某些參數(shù)時(shí)平衡解的分叉結(jié)構(gòu)，以及平衡解的穩(wěn)定性問(wèn)題;非線(xiàn)性方程的數(shù)值解。2.H-半變分不等式的研究:建立具有極大單調(diào)算子擾動(dòng)的多值(S)型和偽單調(diào)型映象的廣義度理論，廣義不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論和具有非凸、不可微泛函的非線(xiàn)性發(fā)展型H-半變分不等式理論，由此來(lái)研究含間斷項(xiàng)的非線(xiàn)性偏微分方程。3.最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用:主要研究與電力生產(chǎn)有關(guān)的控制系統(tǒng)的理論和應(yīng)用。首先提出了對(duì)Banach空間中抽象非線(xiàn)性發(fā)展方程所描述的最優(yōu)控制系統(tǒng)的研究。引進(jìn)非光滑分析，研究最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程，利用變分不等式理論研究多值問(wèn)題、數(shù)值計(jì)算等，所獲理論成果應(yīng)用于電力系統(tǒng)的許多最優(yōu)控制問(wèn)題(如:電力系統(tǒng)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)的辨識(shí)、牛頓最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型等)。(二)研究方向的特色1.變分不等式理論與能量泛函的凸性密切相關(guān)，由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的需要，特別是研究自由邊界和固體力學(xué)問(wèn)題的需要，傳統(tǒng)的方法往往都無(wú)法解決這類(lèi)問(wèn)題，人們對(duì)H-半變分不等式進(jìn)行研究，研究涉及現(xiàn)代分析及應(yīng)用、偏微分方程以及科學(xué)計(jì)算等眾多領(lǐng)域中亟待解決和發(fā)展的重要課題。2.該研究是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與電力生產(chǎn)的交叉學(xué)科研究課題，它對(duì)電力生產(chǎn)及管理有著十分重要的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和計(jì)算都可提供一些重要的理論依據(jù)。在應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的這一研究領(lǐng)域中本課題屬于國(guó)內(nèi)外前沿性研究工作。(三)可取得的突破1.深入研究空間、時(shí)間、時(shí)滯對(duì)解的性質(zhì)的影響，諸如靜態(tài)解、周期解的存在性、解的存在性、漸近性等問(wèn)題;尋求它們?cè)诤g斷項(xiàng)的非線(xiàn)性偏微分方程方面的突破。2.尋求和發(fā)現(xiàn)新的處理非單調(diào)、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa迭代序列收斂準(zhǔn)則)，建立發(fā)展型方程G-收斂準(zhǔn)則，尋求可行的光滑方法將算子方程光滑化，創(chuàng)建新的先驗(yàn)估計(jì)方法。3.應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)所獲得的理論，研究最有控制系統(tǒng)的微分方程，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和計(jì)算提供一些重要的理論依據(jù)和方法。1747年，法國(guó)的達(dá)朗貝爾等由弦振動(dòng)的研究而開(kāi)創(chuàng)偏微分方程論。1760~1761年，法國(guó)的拉格朗日系統(tǒng)地研究了變分法及其在力學(xué)上的應(yīng)用。隨機(jī)微分方程數(shù)值解在隨機(jī)微分方程數(shù)值解這個(gè)領(lǐng)域，近幾年來(lái)國(guó)內(nèi)涉足它的人開(kāi)始逐漸增多。它也是一門(mén)建立在隨機(jī)分析與微分方程數(shù)值解之間的新興學(xué)科。作為一個(gè)初學(xué)者，我想從它的框架簡(jiǎn)單談一下自己的認(rèn)識(shí)，以供討論。從研究的問(wèn)題本身來(lái)說(shuō)它主要分為:1隨機(jī)常微分方程數(shù)值方法2隨機(jī)偏微分方程數(shù)值方法3隨機(jī)延時(shí)微分方程數(shù)值方法4倒向隨機(jī)微分方程數(shù)值方法僅這四個(gè)方面就已經(jīng)涵蓋目前非常重要的一些技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。另外從數(shù)值方法上分，它可以分為:1強(qiáng)逼近問(wèn)題2弱逼近問(wèn)題還有更強(qiáng)的順向逼近。國(guó)內(nèi)最早涉足這個(gè)領(lǐng)域的是山大的彭實(shí)戈老師，已經(jīng)在倒向隨機(jī)微分方程理論及隨機(jī)最優(yōu)控制方面取得了驚人的突破。國(guó)外方面，在美國(guó)做隨機(jī)常微分方程的很少(只有Hchurz，lamba幾個(gè))，做隨機(jī)偏微分方如Allen,Cao等等)。在歐洲做隨機(jī)常微分方程的很多(如Talay，程的較多(Higham，Milstein等)。另外澳洲也有專(zhuān)門(mén)研究隨機(jī)常微分方程的(如Burrage)。隨機(jī)微分方程(SDE)是a微分方程在哪些一個(gè)或更多期限是a隨機(jī)過(guò)程因而造成是本身一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的解答。一般，SDEs合并空白噪聲哪些能被重視作為衍生物蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)(或熏肉香腸過(guò)程);然而，值得一提的是，任意波動(dòng)的其他類(lèi)型是可能的，例如跳躍過(guò)程(參見(jiàn)[1]).內(nèi)容1背景1.1術(shù)語(yǔ)1.2隨機(jī)微積分1.3數(shù)值解2用途在物理2.1筆記關(guān)于"Langevin等式"3用途在可能性和財(cái)政數(shù)學(xué)4解答的存在和獨(dú)特5參考6參見(jiàn)背景在SDEs的最早期的工作被完成描述蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)愛(ài)因斯坦's著名紙和同時(shí)由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作與蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)有關(guān)相信Bachelier(1900)在他的論文'猜想理論'。這工作被跟隨了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)立足處投入了SDEs。術(shù)語(yǔ)在物理學(xué)，SDEs通常被寫(xiě)當(dāng)Langevin等式。這些有時(shí)纏擾不清稱(chēng)"Langevin等式"即使有許多可能的形式。這些包括包含一個(gè)確定部分和一另外任意的一個(gè)常微分方程空白噪聲期限。第二個(gè)形式是福克戰(zhàn)斗機(jī)Planck等式.?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式是描述時(shí)間演變的一個(gè)偏微分方程概率分布作用.第三個(gè)形式是在數(shù)學(xué)和財(cái)務(wù)最頻繁使用(如下所示)的隨機(jī)微分方程。這于Langevin形式是相似的，但它在有差別的形式通常被寫(xiě)。這個(gè)形式頻繁地使用由數(shù)學(xué)家和在定量財(cái)務(wù)。SDEs進(jìn)來(lái)二品種，對(duì)應(yīng)于隨機(jī)微積分的二個(gè)版本。隨機(jī)微積分蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)或熏肉香腸過(guò)程數(shù)學(xué)上被發(fā)現(xiàn)是格外復(fù)雜的。熏肉香腸過(guò)程non-differentiable;因此，它要求微積分它自己的規(guī)則。使用隨機(jī)微積分的二個(gè)版本，Ito隨機(jī)微積分并且Stratonovich隨機(jī)微積分.當(dāng)你應(yīng)該使用一或其他時(shí)，它是有些模棱兩可的。方便地，你在解答可能再欣然轉(zhuǎn)換ItoSDE成等效StratonovichSDE和后面成援助;然而，使用的你一定小心當(dāng)?shù)奈⒎e分SDE最初寫(xiě)下時(shí)。數(shù)值解隨機(jī)微分方程的特別是數(shù)值解和隨機(jī)偏微分方程相對(duì)地講是一個(gè)年輕領(lǐng)域。幾乎為常微分方程的解答使用的所有算法為SDEs非常不足將運(yùn)作，有非常惡劣的數(shù)字匯合。用途在物理在物理，SDEs在Langevin形式典型地被寫(xiě)并且被稱(chēng)為"Langevin等式"。例如，一般被結(jié)合的套優(yōu)先處理的SDEs在形式經(jīng)常被寫(xiě):那里是套未知數(shù)，fi并且gi是任意作用和ηm是，經(jīng)常被稱(chēng)為的時(shí)間的任意作用"噪聲命名"。這個(gè)形式通常是能用的，因?yàn)橛凶儞Q的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)高次等式成數(shù)通過(guò)介紹新的未知數(shù)結(jié)合了優(yōu)先處理的等式。如果gi是常數(shù)，系統(tǒng)被認(rèn)為受疊加性噪聲支配，否則它被認(rèn)為受乘噪聲支配。這個(gè)期限是有些引入歧途的，因?yàn)樗鼇?lái)意味一般案件，即使看起來(lái)暗示有限的案件，:.疊加性噪聲是簡(jiǎn)單的二個(gè)案件。正確解答可能使用平凡經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)微積分.特別是，平凡連鎖法則微積分能使用。然而，在乘噪聲情況下，Langevin等式不是明確定義的個(gè)體獨(dú)自，并且必須指定它是否應(yīng)該解釋Langevin等式作為ItoSDE或StratonovichSDE。在物理，解答主要方法將發(fā)現(xiàn)概率分布作用作為時(shí)間功能使用等值福克戰(zhàn)斗機(jī)Planck等式(FPE)。?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式是確定的偏微分方程.它告訴怎樣概率分布作用及時(shí)相似地演變于怎樣Schrdinger等式給量子波函數(shù)的時(shí)間演變或擴(kuò)散等式給化工集中的時(shí)間演變。二者擇一地?cái)?shù)值解可以獲得蒙特卡洛模仿。其他技術(shù)包括道路綜合化那在比喻畫(huà)在統(tǒng)計(jì)物理之間和量子力學(xué)(例如，?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式可以被變換成Schrdinger等式通過(guò)重新調(diào)節(jié)幾可變物)或通過(guò)寫(xiě)下常微分方程為統(tǒng)計(jì)片刻概率分布作用。筆記關(guān)于"Langevin等式"""在"Langevin等式"是有些不合文法命名原則。每個(gè)單獨(dú)物理模型有它自己的Langevin等式?；蛟S，"Langevin等式"或"伴生的Langevin等式"更將好遵守共同的英國(guó)用法。用途在可能性和財(cái)政數(shù)學(xué)記法用于概率論例如(和在概率論的許多應(yīng)用，財(cái)政數(shù)學(xué))是輕微地不同的。這個(gè)記法做異乎尋常的自然時(shí)間的任意作用ηm在物理公式化更加明確。也是用于出版物的記法數(shù)字方法為解決隨機(jī)微分方程。用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)用語(yǔ)，ηm不能僅被選擇作為一個(gè)通常作用，而是作為a廣義函數(shù).數(shù)學(xué)公式化比物理公式化對(duì)待這復(fù)雜化以較少二義性。一個(gè)典型的等式是形式那里B表示a熏肉香腸過(guò)程(標(biāo)準(zhǔn)蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng))。應(yīng)該解釋這個(gè)等式作為一個(gè)不拘形式的方式表達(dá)對(duì)應(yīng)積分方程上面等式描繪行為連續(xù)的時(shí)間隨機(jī)過(guò)程xt作為平凡的總和Lebesgue積分式并且Itō積分式.A啟發(fā)式(但是非常隨機(jī)微分方程的有用的)解釋那在小規(guī)模間隔時(shí)間長(zhǎng)度δ隨機(jī)過(guò)程xt改變它的價(jià)值由是的數(shù)量通常分布與期望μ(xt,t)δ并且變化σ(xt,t)δ并且是過(guò)程的過(guò)去行為的獨(dú)立。這如此是，因?yàn)檠庀隳c過(guò)程的增加是獨(dú)立和通常分布。作用μ指漂泊系數(shù)，當(dāng)時(shí)σ叫擴(kuò)散率。隨機(jī)過(guò)程xt叫a擴(kuò)散過(guò)程和通常是aMarkov過(guò)程.SDE的正式解釋被給根據(jù)什么構(gòu)成解答對(duì)SDE。有解答對(duì)SDE，一種強(qiáng)的解答和一種微弱的解答的二個(gè)主要定義。兩個(gè)要求過(guò)程的存在xt那解決SDE的積分方程版本。二句謊言之間的區(qū)別在部下的概率空間(ΩFPr)。一種微弱的解答包括a概率空間并且滿(mǎn)足積分方程的過(guò)程，而一種強(qiáng)的解答是滿(mǎn)足等式的過(guò)程和被定義在一個(gè)特定概率空間。一個(gè)重要例子是等式為幾何學(xué)蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)哪些是等式為a的價(jià)格的動(dòng)力學(xué)股票在黑Scholes定價(jià)財(cái)政數(shù)學(xué)的模型選擇。也有更加一般的隨機(jī)微分方程，系數(shù)μ并且σ取決于不僅過(guò)程的現(xiàn)值xt，而且在過(guò)程的早先價(jià)值和可能在其他過(guò)程的當(dāng)前或早先價(jià)值也是。在那個(gè)案件解答過(guò)程，x不是Markov過(guò)程，并且它稱(chēng)Itō過(guò)程而不是擴(kuò)散過(guò)程。當(dāng)系數(shù)僅依靠禮物和通過(guò)價(jià)值x定義的等式稱(chēng)隨機(jī)延遲微分方程。解答的存在和獨(dú)特和以確定普通和偏微分方程，知道是重要的特定SDE是否有一種解答，并且是否它是獨(dú)特的。下列是一個(gè)典型的存在和獨(dú)特定理為Itō采取價(jià)值的SDEsn-尺寸歐幾里德的空間Rn并且由駕駛m-尺寸蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)B;證明在ksendal(2003年，?5.2)也許被發(fā)現(xiàn)。讓T0，和讓是可測(cè)函數(shù)為哪些那里存在常數(shù)C并且D這樣為所有t?[0,T]和所有x并且y?Rn的地方讓Z是獨(dú)立的一個(gè)隨機(jī)變量σ-引起的代數(shù)Bs,s?0，和與有限二次矩:然后隨機(jī)微分方程或初值問(wèn)題xt=Z;有Pr-幾乎肯定獨(dú)特t-連續(xù)的解答(t,ω)|?xt(ω)這樣x是適應(yīng)對(duì)濾清FtZ引起Z并且Bs,s?t和參考adomian，喬治(1983)。隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)在科學(xué)和工程學(xué)(169)。奧蘭多，F(xiàn)L:學(xué)術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1986)。非線(xiàn)性隨機(jī)操作員等式.奧蘭多，F(xiàn)L:學(xué)術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1989)。在物理的非線(xiàn)性隨機(jī)系統(tǒng)理論和應(yīng)用數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用(46)。Dordrecht:Kluwer學(xué)術(shù)出版者小組。ksendal，BerntK。(2003).隨機(jī)微分方程:介紹以應(yīng)用.柏林:Springer。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)3-540-04758-1.Teugels，J。并且SundB。(eds。)(2004)。保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算科學(xué)百科全書(shū).Chichester:威里，523-527。C.W.Gardiner(2004)。隨機(jī)方法手冊(cè):為物理、化學(xué)和自然科學(xué).Springer，415。托馬斯?Mikosch(1998)。基本的隨機(jī)微積分:以財(cái)務(wù)視線(xiàn)內(nèi).新加坡:世界科學(xué)出版，212。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)981-02-3543-7.Bachelier，L.，(1900)。Théoriedelaspeculation(用法語(yǔ))，PhD論文.NUMDAM:用英語(yǔ)在1971書(shū)'股市'Eds的任意字符。P.H.Cootner。高性能科學(xué)計(jì)算研究一、研究?jī)?nèi)容一般地，構(gòu)成實(shí)際應(yīng)用物理過(guò)程的各個(gè)不同階段的物理模型，可分別由不同類(lèi)型的時(shí)間相關(guān)或無(wú)關(guān)的偏微分方程在給定的物理區(qū)域上描述。如何針對(duì)不同偏微分方程的問(wèn)題設(shè)計(jì)合適的網(wǎng)格和離散格式，如何設(shè)計(jì)可擴(kuò)展的并行算法及其并行實(shí)現(xiàn)技術(shù)，在離散網(wǎng)格上給出方程的近似解，是我們研究的兩個(gè)主要方面。本項(xiàng)目的研究以科學(xué)計(jì)算的共性問(wèn)題為核心，包括具有最優(yōu)復(fù)雜性的計(jì)算方法研究和能發(fā)揮計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)計(jì)算峰值性能的實(shí)現(xiàn)技術(shù)研究，同時(shí)應(yīng)用本項(xiàng)目科學(xué)計(jì)算的共性問(wèn)題的研究成果，解決一批我國(guó)具有重大需求的科學(xué)計(jì)算問(wèn)題。1.創(chuàng)新計(jì)算方法的基礎(chǔ)理論研究計(jì)算數(shù)學(xué)是研究可在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的數(shù)值算法的構(gòu)造及其數(shù)學(xué)理論的學(xué)科。過(guò)去五十多年科學(xué)計(jì)算發(fā)展的歷史表明:基礎(chǔ)計(jì)算方法的重要突破如有限元方法、多重網(wǎng)格方法、快速傅里葉變換等都極大地改變了科學(xué)計(jì)算的面貌。我們將研究有限元新型算法包括多重網(wǎng)格與區(qū)域分解算法、均勻化多尺度算法、自適應(yīng)高精度算法和各類(lèi)方法的耦合，動(dòng)力系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法，守恒律高分辨率差分格式，各類(lèi)快速算法包括非規(guī)則網(wǎng)格的快速傅里葉變換等，同時(shí)研究新的應(yīng)用領(lǐng)域大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計(jì)算中的計(jì)算方法。研究重點(diǎn)在并行自適應(yīng)算法與理論，保結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的理論與應(yīng)用，大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計(jì)算。1.1并行自適應(yīng)算法與理論這里自適應(yīng)方法主要是指網(wǎng)格自適應(yīng)方法，是一類(lèi)滲透到了偏微分方程數(shù)值解、非線(xiàn)性逼近論、偏微分方程約束的最優(yōu)工程設(shè)計(jì)、網(wǎng)格產(chǎn)生等科目研究的方法。現(xiàn)在網(wǎng)格自適應(yīng)方法主要分為三種主要的類(lèi)型，分別叫做h-方法、p-方法和r-方法。其中h-方法是對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)的局部加密和稀疏化，p-方法是在網(wǎng)格的不同位置使用不同的基函數(shù)，r-方法是進(jìn)行網(wǎng)格點(diǎn)的重新分布，又叫做移動(dòng)網(wǎng)格方法。將h-方法和p-方法結(jié)合可以得到h-p方法，也可以將r-方法和p-方法結(jié)合得到r-p方法。網(wǎng)格自適應(yīng)方法最根本的目標(biāo)在于使用最少的計(jì)算資源來(lái)解決問(wèn)題，從而可以在現(xiàn)有的硬件資源條件下擴(kuò)大計(jì)算的規(guī)模和提高計(jì)算的精度。針對(duì)當(dāng)前國(guó)際研究發(fā)展的趨勢(shì)和本項(xiàng)目應(yīng)用問(wèn)題的需求，我們主要的研究?jī)?nèi)容集中在下面的二個(gè)方面:網(wǎng)格方法在偏微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用研究摘要:該文的主要目的是研究無(wú)網(wǎng)格方法,并將其應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值解過(guò)程中.與傳統(tǒng)的網(wǎng)格方法不同,無(wú)網(wǎng)格方法的核心是用"點(diǎn)云"離散求解區(qū)域,并基于當(dāng)?shù)攸c(diǎn)云離散結(jié)構(gòu),引入二次極小曲面逼近空間導(dǎo)數(shù).該文先以代表定常不可壓位勢(shì)繞流的Laplace方程為例,研究了Laplace方程的無(wú)網(wǎng)格離散形式,并運(yùn)用GMRES高效算法對(duì)其快速求解,數(shù)值模擬了典型的圓柱繞流;并通過(guò)不同點(diǎn)云尺度的數(shù)值模擬,顯示出點(diǎn)云尺度對(duì)計(jì)算精度的影響.在此基礎(chǔ)上,將該方法推廣應(yīng)用到解算Euler方程組.針對(duì)守恒型Euler方程組的無(wú)網(wǎng)格離散形式,借鑒非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格方法附加耗散模型,采用五步Runge-Kutta顯式時(shí)間推進(jìn)格式求解.并且基于點(diǎn)云離散結(jié)構(gòu),引入了當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)、殘值光順等加速收斂技術(shù),數(shù)值模擬了對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)翼型繞流,獲得較好的計(jì)算結(jié)果.該文還對(duì)基于點(diǎn)云結(jié)構(gòu)的無(wú)網(wǎng)格計(jì)算軟件的面向?qū)ο笤O(shè)計(jì)模式進(jìn)行了研究,著重于提高軟件的復(fù)用性和Matlab偏微分方程工具箱簡(jiǎn)介1.概述本文只給出該工具箱的函數(shù)列表，讀者應(yīng)先具備偏微分方程的基本知識(shí)，然后根據(jù)本文列出的函數(shù)查閱Matlab的help，便可掌握該工具箱的使用。2.偏微分方程算法函數(shù)列表adaptmesh生成自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)及偏微分方程的解assemb生成邊界質(zhì)量和剛度矩陣assema生成積分區(qū)域上質(zhì)量和剛度矩陣assempde組成偏微分方程的剛度矩陣及右邊hyperbolic求解雙曲線(xiàn)型偏微分方程parabolic求解拋物線(xiàn)型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程pdenonlin求解非線(xiàn)性型微分方程poisolv利用矩陣格式快速求解泊松方程3.圖形界面函數(shù)pdecirc畫(huà)圓pdeellip畫(huà)橢圓pdemdlcv轉(zhuǎn)化為版本1.0式的*.m文件pdepoly畫(huà)多邊形pderect畫(huà)矩形pdetool偏微分方程工具箱的圖形用戶(hù)界面4.幾何處理函數(shù)csgchk檢查幾何矩陣的有效性csgdel刪除接近邊界的小區(qū)decsg將固定的幾何區(qū)域分解為最小區(qū)域initmesh產(chǎn)生最初的三角形網(wǎng)絡(luò)jigglemesh微調(diào)區(qū)域內(nèi)的三角形網(wǎng)絡(luò)poimesh在矩形區(qū)域上產(chǎn)生規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)refinemesh細(xì)化三角形網(wǎng)絡(luò)wbound寫(xiě)一個(gè)邊界描述文件wgeom寫(xiě)一個(gè)幾何描述文件pdecont畫(huà)輪廓圖pdemesh畫(huà)偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdeplot畫(huà)偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdesurf畫(huà)表面圖命令5.通用函數(shù)pdetriq三角形單元的品性度量poiasma邊界點(diǎn)對(duì)快速求解泊松方程的"貢獻(xiàn)"矩陣poicalc規(guī)范化的矩陣格式的點(diǎn)索引poiindex規(guī)范化的矩陣格式的點(diǎn)索引sptarn求解一般的稀疏矩陣的特征值問(wèn)題tri2grid由三角形格式轉(zhuǎn)化為矩形格式《偏微分方程中多尺度問(wèn)題的數(shù)值解法》偏微分方程數(shù)值方法理論及其應(yīng)用、有限元方法、多重網(wǎng)格法與區(qū)域分解法"偏微分方程數(shù)值求解中的自適應(yīng)網(wǎng)格方法研究"人工邊界方法:無(wú)界區(qū)域上的偏微分方程數(shù)值解"有限元高精度理論及算法"、"具有奇異解的偏微分方程的數(shù)值解法"、"無(wú)界域上偏微分方程的數(shù)值解法"、"多尺度有限元方法及其快速算法"、"快速數(shù)值計(jì)算算法及軟件"偏微分方程數(shù)值解法2所謂的偏微分方程(PDE)是指含兩個(gè)以上自變量的微分方程。偏微分方程的求解一般說(shuō)來(lái)太過(guò)復(fù)雜，所以現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)對(duì)所有偏微分進(jìn)行求解的理論，所謂的求解偏微分方程也只是對(duì)某些人們比較熟悉的類(lèi)型進(jìn)行求解。對(duì)于一個(gè)形如A(x,y)Uxx+B(x,y)Uxy+C(x,y)Uyy=f(x,y,U,Ux,Uy)inΩ的偏微分方程其中Ω是給定的平面有界區(qū)域。如果B^2-4AC0橢圓型B^2-4AC=0拋物線(xiàn)型B^2-4AC0雙曲線(xiàn)型如果ABC是常數(shù)，方程被稱(chēng)為擬線(xiàn)性方程。以上三類(lèi)方程，人們有較成熟的解法。這三類(lèi)方程也有物理意義，比如橢圓型方程常見(jiàn)于電磁場(chǎng)的分布，拋物線(xiàn)型方程常見(jiàn)于擴(kuò)散，雙曲線(xiàn)型常見(jiàn)于波動(dòng)，后兩者還常會(huì)帶有對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)項(xiàng)。這些方程，往往在一定的條件下才能有定解:Dirichlet條件，又稱(chēng)第一類(lèi)邊界條件，設(shè)定初值Neumann條件，又稱(chēng)第二類(lèi)邊界條件，設(shè)定邊值條件很多情況下，兩者都有，稱(chēng)為混合邊界條件。我的課題中涉及到一個(gè)物質(zhì)隨著流動(dòng)相在色譜柱里運(yùn)動(dòng)的方程，能夠描述物質(zhì)濃度波在柱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和變形，因此會(huì)包括一階時(shí)間項(xiàng)和二階空間項(xiàng)，有個(gè)專(zhuān)有名詞--對(duì)流擴(kuò)散方程，是種拋物線(xiàn)型和雙曲線(xiàn)型的混合型方程。偏微分方程數(shù)值解法差分方法有限元方法擬譜方法自適應(yīng)格點(diǎn)方法小波分析方法解偏微分方程解決的方向:微分算子的計(jì)算或表達(dá)時(shí)間的差分離散邊界的處理收斂性分析誤差的估計(jì)穩(wěn)定性分析微分算子的自適應(yīng)計(jì)算時(shí)間和空間的自適應(yīng)計(jì)算差分法從定解問(wèn)題的微分或積分形式出發(fā),用數(shù)值微商或數(shù)值積分公式導(dǎo)出相應(yīng)的線(xiàn)性代數(shù)方程組.構(gòu)造逼近微分方程定解問(wèn)題的差分格式:直接差分化法,積分插值法以及有限體積法或廣義差分法.差分解的存在唯一性,收斂性以及穩(wěn)定性的研究.這些理論問(wèn)題為對(duì)差分解作出先驗(yàn)估計(jì).基于極值定理以及能量不等式作估計(jì).有限元法從定解問(wèn)題的變分形式出發(fā),用Ritz-Galerkin方法導(dǎo)出相應(yīng)的線(xiàn)性代數(shù)方程組.中文譯名?偏微分方程的多尺度小波方法本書(shū)系《小波分析及其應(yīng)用》第6卷，是一本論文集。小波分析是目前國(guó)際上公認(rèn)的最新時(shí)-頻分析工具，由于其具有自適應(yīng)性和數(shù)學(xué)顯微鏡性質(zhì)，而成為眾多學(xué)科共同關(guān)注的焦點(diǎn)。從數(shù)學(xué)角度講，小波分析對(duì)函數(shù)逼近、調(diào)和分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)、微分和積分方程的數(shù)值解等均產(chǎn)生直接的影響。本書(shū)作為小波分析與一般偏微分方程(PDE-partialDifferentialEquation)技術(shù)的橋梁，將多尺度分解的概念引入到了PDE的數(shù)值求解，可有效的分析較復(fù)雜問(wèn)題。書(shū)中內(nèi)容分為6部分:(1)回顧了基于多層預(yù)調(diào)節(jié)及多網(wǎng)格技術(shù)的有限元法，多尺度空間分解框架，域內(nèi)橢圓形問(wèn)題的多尺度解法。(2)快速小波算法(壓縮與自適應(yīng)方面):D維二階橢圓形PDE的自適應(yīng)解的小波配置方法，求解非線(xiàn)性PDE的自適應(yīng)小波分析，基于小波包最佳基的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)概念在對(duì)流擴(kuò)散PDE中的應(yīng)用，求解橢圓算子方程中的非線(xiàn)性近似與自適應(yīng)技術(shù)。(3)積分方程的小波求解，包括強(qiáng)橢圓邊界積分方程的多尺度Galerkin法。(4)小波多尺度求解PDE的軟件工具與數(shù)值實(shí)例。(5)多尺度分析在湍流中的應(yīng)用。(6)偏微分算子的小波分析。本書(shū)收集的14篇論文代表了當(dāng)前小波在偏微分方程應(yīng)用中的最新進(jìn)展，可供小波理論及應(yīng)用、PDE等應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的科研人員學(xué)習(xí)參考。(力學(xué)系馬堅(jiān)偉)小波分析方法小波分析方法解偏微分方程思路:Galerkin方法為基礎(chǔ);半群方法為基礎(chǔ).基于偏微分方程或積分方程的信號(hào)處理,流體動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題就能用此方程描述.這些問(wèn)題解的特征為光滑的(smooth),非振蕩的(non-oscillatory),shock.方法為:算子和解投影到小波基上.基函數(shù)的消失矩特性使得解和算子能夠稀疏表達(dá),因此就能給出快速,自適應(yīng)算法.這些算法基于在光滑區(qū)域用較少的小波系數(shù),在奇異區(qū)域得用較多的小波系數(shù).解這類(lèi)方程重要的一步為時(shí)間的離散.因?yàn)檫M(jìn)化方程的擴(kuò)散項(xiàng),標(biāo)準(zhǔn)的顯格式容許小的時(shí)間步長(zhǎng).另外,隱格式容許大的時(shí)間步長(zhǎng),但在每一步得解線(xiàn)性方程組,這就給應(yīng)用帶來(lái)了困難.B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)用的方法:Wavelet-Galerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配點(diǎn)方法,非標(biāo)準(zhǔn)小波表示.JohnWeiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是時(shí)間差分,空間離散.計(jì)算比較復(fù)雜,但精度好.小波Galerkin方法Galerkin配點(diǎn)方法:通過(guò)投影將連續(xù)算子離散化為矩陣形式,此方法的困難在于二重積分的數(shù)值計(jì)算;為解決這困難,研究者提出了函數(shù)基用小波基,此方法被稱(chēng)為小波Galerkin方法.在作數(shù)值逼近計(jì)算時(shí),因?yàn)橛昧诵〔ɑ?因此很多算子可用稀疏矩陣表示,那么小波Galerkin方法就為作快速數(shù)值計(jì)算提供了算法.總的來(lái)說(shuō),小波Galerkin方法在作逼近分析時(shí)比Adomian分解方法更可靠,在作數(shù)值逼近計(jì)算時(shí)比Galerkin方法速度更快.算法復(fù)雜性為另外,得分析穩(wěn)定性;不同小波基礎(chǔ)的誤差估計(jì);時(shí)間空間的自適應(yīng).Legendre多小波的非標(biāo)準(zhǔn)表示的優(yōu)點(diǎn):算子矩陣稀疏;子區(qū)間元素相同;維數(shù)低;可線(xiàn)性化非線(xiàn)性項(xiàng).Legendre多小波不連續(xù),微分算子的處理方法:通過(guò)尺度方程導(dǎo)出系數(shù)方程組,解此方程組可得到算子矩陣;用傳統(tǒng)的弱導(dǎo)數(shù)通過(guò)積分計(jì)算算子矩陣.此小波處理邊界有優(yōu)勢(shì).邊界的處理?構(gòu)造多分辨分析,使得小波基滿(mǎn)足邊界條件.用插值小波,配點(diǎn)方法.變系數(shù)的處理?時(shí)間空間的自適應(yīng)?應(yīng)用小波分析求解微分方程研究作者:來(lái)源:信息與計(jì)算科學(xué)系責(zé)任編輯:xinxi課題主持人:孫濤項(xiàng)目組成員:孫濤、李震、武斌、趙燕項(xiàng)目研究時(shí)間:2010.5-2012.5項(xiàng)目研究?jī)?nèi)容:主要研究應(yīng)用小波分析進(jìn)行微分方程的求解特別是偏微分方程的數(shù)值求解。預(yù)期目標(biāo)是研究應(yīng)用小波理論進(jìn)行微分方程求解的已有成果，分析比較各種方法在理論與應(yīng)用上的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)對(duì)其在適用范圍、計(jì)算精度、計(jì)算復(fù)雜性、收斂性以及穩(wěn)定性等方面進(jìn)行對(duì)比，從而有針對(duì)性的對(duì)各種方法進(jìn)行改進(jìn)或完善;對(duì)將小波方法應(yīng)用于偏微分方程數(shù)值求解的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行研究，形成基本的小波方法;對(duì)小波方法求解偏微分方程的小波基的特點(diǎn)進(jìn)行分析，明確用于偏微分方程數(shù)值解法的小波基的數(shù)學(xué)特性，設(shè)計(jì)用小波方法求解偏微分方程的一般數(shù)學(xué)方法。研究成果形式:論文和研究報(bào)告。偏微分方程是需要常微分方程和隨機(jī)微分(隨機(jī)過(guò)程)兩門(mén)課做基礎(chǔ)的需同時(shí)具備邊界條件和初始條件。只給邊界條件，一般無(wú)法解。如題目無(wú)初始條件，可自定(設(shè))一些初始條件。只有范圍的結(jié)果,但不能求出精確的解.給了邊界就能.穩(wěn)定性分析是針對(duì)某一特定的差分算法來(lái)說(shuō)的。而并不是對(duì)偏微分方程來(lái)說(shuō)的。一般是用Fouier分析的辦法來(lái)做。你可以看一下余德浩,湯華中編的科學(xué)出版社出版的"微分方程數(shù)值解法"里面216頁(yè)有一些相關(guān)的東西。比較常用的差分算法有Lax_Wendroff格式以及MacCormack格式。另外，你如果想要解析解的話(huà)，估計(jì)可能要用特征線(xiàn)法。或者分離變量法看一下。微分方程數(shù)值解?NumericalSolutionsofDifferentialEquations課程編號(hào):S080800XJ001課程屬性:學(xué)科基礎(chǔ)課