2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線的方程（解析版）

專題43直線的方程（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................7

【考點11直線的傾斜角與斜率.................................................7

【考點2】求直線的方程......................................................12

【考點3）直線方程的綜合應(yīng)用................................................16

【分層檢測】...............................................................21

【基礎(chǔ)篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................29

【培優(yōu)篇】.................................................................33

考試要求：

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截

式與一次函數(shù)的關(guān)系.

■,知識梳理

1.直線的傾斜角

⑴定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，我們以X軸為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上的方向之間所成

的角a叫做直線/的傾斜角；

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為￡；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是同0。?&<180。｝.

2.直線的斜率

(1)定義：我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母女表

zj、,即k一二tana.

⑵計算公式

①經(jīng)過兩點Pi(xi,yi),尸2(x2,y2)(xiWx2)的直線的斜率左=或二

X2.X]

②設(shè)P1(X1,>1),尸2。2,*)(其中X1—X2)是直線/上的兩點,則向量P1P2=(尤2—九1,第一>1)以及

與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線I的斜率為k,它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y),

則女=±

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率

與x軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y—yo==(%—xo)

y-yix-xi與兩坐標(biāo)軸均不垂直

兩點式過兩點

yi12~-XI的直線

不過原點且與兩坐標(biāo)

截距式縱、橫截距~+j=l

a-b--軸均不垂直的直線

Ax+By+C=Q

一般式所有直線

(A2+B2#0)

|常用結(jié)論

1.直線的傾斜角a和斜率左之間的對應(yīng)關(guān)系:

2

c兀71兀

a00<a<22<?<7l

2

k0k>0不存在k<0

2.截距和距離的不同之處

“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)

數(shù).

n真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）已知直線ox+力-。+26=0與圓C：尤?+y?+4y-1=0交于兩點，則|48|的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?北京?高考真題）已知M=｛（尤,y）|y=x+?（x2-x）,l<x<2,0<r<1｝是平面直角坐標(biāo)系中的點集.設(shè)

d是“中兩點間距離的最大值，S是〃表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=y/io,S<1D.J=710,S>1

3.（2024?北京?高考真題）圓Y+y2-2x+6y=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（）

A.72B.2C.3D.30

4.（2024?全國?高考真題）已知6是。,。的等差中項，直線依+勿+c=0與圓V+_/+-_]=。交于兩點，

貝力28|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.245

5.（2023?全國?高考真題）過點（。,-2）與圓x2+〉2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為0,貝|sina=（）

A.1B.姮c.叵D.邁

444

二、填空題

6.（2024?天津?高考真題）圓（x-iy+y=25的圓心與拋物線丁=2px（o>0）的焦點/重合，A為兩曲線的

交點，則原點到直線AF的距離為.

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點夕。,-2）,從而可得當(dāng)PCLAB時，的最小，結(jié)合勾股定理

代入計算，即可求解.

3

【詳解】因為直線分+勿-。+28=0,即a（x—l）+b（y+2）=0,令為一1=0,

則x=l,y=-2,所以直線過定點設(shè)網(wǎng)1,-2）,

將圓C：尤2+;/+4）;_1=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為尤2+（>+2）2=5,

所以圓心C（0,—2）,半徑廠=如，歸。=1

當(dāng)尸CLAB時，MB|的最小，

此時\AB\=2^r2-|PC|2=2x后斤=4.

故選：C

2.C

y<x2

【分析】先以方為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域卜之九，結(jié)合圖形分析求解即可.

l<x<2

【詳解】對任意給定2],則1）>0,且看《0』,

可矢口％W-x^<x+x2-x=x2,x<y<x2,

y<x2

再結(jié)合X的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域bNX

l<x<2

如圖陰影部分所示，其中A（1,1）,B（2,2）,C（2,4）,

可知任意兩點間距離最大值J=|AC|=VW；

陰影部分面積SvSBcngxlxZnL

故選：C.

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)"，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見

數(shù)想圖，以開拓自己的思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把

4

握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解.

3.D

【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.

【詳解】由題意得力2+y2—2%+6y=0,gp(x-1)2+(y+3)2=10,

|1—(—3)+2l/—

則其圓心坐標(biāo)為(1,-3),則圓心到直線x—y+2=0的距離為小2：(以312.

故選：D.

4.C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將。代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因為〃也C成等差數(shù)列，所以2A=4+C,。=如—“，代入直線方程依+勿+。=0得

%一1=0[x=l

ax+by+2b—a=0即Q(x-l)+/?(y+2)=0,令y+2=0得]=-2

故直線恒過(1,-2),設(shè)P(l,-2),圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:f+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)尸時，|4B|最小,

|PC|=l,|AC|=|r|=75,此時\AB\=2\AP\=2>JAC2-PC2=2A/5^T=4.

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，

結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得左2+8左+1=0,利用韋達定理結(jié)合

夾角公式運算求解.

【詳解】方法一：因為爐+/-4>1=0,BP(X-2)2+/=5,可得圓心C(2,0),半徑“百，

過點尸(0,-2)作圓C的切線，切點為A3,

因為|PC|=j22+(-21=2夜,則|尸A|=一產(chǎn)=粗,

5

可得sinZAPC=余=呼,cosZAPC=至當(dāng)

貝UsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵x"=叵，

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即4P3為鈍角,

sit；

所以sina=sin(7i-/APB)=

法二：圓尤2+y2-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑廠=行,

過點尸（0,-2）作圓。的切線，切點為A,5,連接AB,

22

可得IPC|=^2+（-2）=2五,貝I]|尸山=歸同=Jpcf=V3,

因為|以「+歸砰一2歸川.歸卻cosZAPS=|G4「+|CB「-2|04卜|。用cosZACB

S.ZACB=TI-ZAPB,貝U3+3-6COSZZ4PB=5+5-10COS（K-ZZ4PB）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB，解得cosZAPB=--<0,

4

即/APB為鈍角,貝!Jcosa=cos（7t-NAPB）=-cosNAP8=；,

且a為銳角，所以sina=Jl-cos2a=；

4

方法三：圓爐+尸-以_1=0的圓心C（2,0）,半徑

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為了=丘-2,即丘-y-2=0,

則1*3=非,整理得公+8左+1=0，且A=64—4=60>0

y/k2+l

設(shè)兩切線斜率分別為匕，《2,則尢+占=-8,勺右=1,

可得佝一&I=J（勺+.）2-4左他=2/，

所以tane=}=后,即至巴=后，可得costz='修，

1+勺&cosaV15

rn,|.22.2sir?。1

貝（Jsina+cosa=sma-\---------=1,

15

且a￡（0㈤，貝!Jsina>0,解得sina=.

6

故選：B.

【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及AF的方程，從而可求原點到

直線AF的距離.

【詳解】圓（1）2+/=25的圓心為“1,0）,故勺1即p=2,

由，（：一1）可得尤2+2尤-24=0,故X=4或尤=-6（舍），

y=4%

故A（4,士4）,故直線4F：、=±：（》一1）即4彳一3丫-4=。或4彳+3丫-4=（）,

故原點到直線質(zhì)的距離為d=H=",

55

_4

故答案為：—

?考點突破

【考點1】直線的傾斜角與斜率

一、單選題

1.（2022?貴州畢節(jié)?三模）曲線y=l+6二7與直線（2后+1卜-（左+1"+1=0有兩個交點,則實數(shù)2的取值范圍

為（）

A.（0,+e）B.（0,；C.D.

2.（2024高二上?全國?專題練習(xí)）已知直線區(qū)-y+2=0和以河（3,-2）,N（2,5）為端點的線段相交，則實數(shù)

左的取值范圍為（）

（41「3

二、多選題

3.（2024?山東?二模）己知直線/:尤+一根+2=0,圓C:（x-l）2+（y—2）2=5,則下列說法正確的是（）

7

A.直線/恒過定點（-2,1）B.直線/與圓C相交

C.當(dāng)直線/平分圓C時，m=-3D.當(dāng)點C到直線/距離最大值時，機=g

4.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知集合4=｛（尤,切尤+?+2。=。｝,8=｛（x,y）麻+0-1=0｝,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.Va￡R,B.當(dāng)a=—1時，AcBu,11一萬］

C.當(dāng)A3=0時，a=lD.3aeR,使得A=5

三、填空題

5.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）設(shè)左ER,直線4:kx+y-k=0,直線（：x-ky+2k-3=0,記4,4分別過定點A5,

且4與4的交點為C,則|AC|+\BC\的最大值為.

6.（2022高二?全國?專題練習(xí)）已知兩點以（0,-5）、N（4,3）,給出下列曲線方程：①％+2y+l=0；②

22

（x+l）2+（y+l）2=2；③\+y2=l；④亍-丁=1.則曲線上存在點P滿足1PM=|PN|的方程的序號是

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得直線恒過（1,2）；由曲線方程可確定圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確

定直線斜率的取值范圍，由此可構(gòu)造不等式求得左的取值范圍.

［詳角軍］由（2k+1）工_（左+l）y+1=0得：（2x—y）左+x—y+l=0,

令'八，解得：。，二直線（2左+1）%-住+i）y+「。恒過定點1,2）；

［x-y+l=0［y=2

由y=1+J1-?得:x2+（y—1）2=l（y>1）,

由此可得曲線丁=1+m=7的圖形如下圖所示，

8

-Io

由圖形可知：當(dāng)直線過點(-M)時，直線斜率為普=2，

若直線與曲線有兩個不同交點，則直線斜率的取值范圍為，

即0<駕<［,解得：-1<%<-：,即實數(shù)后的取值范圍為-

女+1223

故選：D.

2.C

【分析】根據(jù)題意可知直線履-y+2=0恒過定點A(0,2),根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.

【詳解】因為直線區(qū)-y+2=0恒過定點A(o,2),如圖.

故選：C.

3.ACD

【分析】對于A,將直線方程變形即可進一步判斷；對于B,舉反例即可判斷；對于C,將圓心坐標(biāo)代入直

線方程即可驗算參數(shù)機；對于D,當(dāng)點。到直線/距離最大值時，有PC，/,結(jié)合它們的斜率關(guān)系即可判斷.

［詳解］對于A,/:1+切_根+2=0即％+2+根(y—1)=0,令、_1=0,有y=l,%=—2,所以直線/恒

過定點P(-2,1),故A正確；

對于B,圓C:(%-1)2+(y—2)2=5的圓心、半徑為=6，

9

點C（l,2）至！]直線/:尤+“少一機+2=0的是巨離為d=

2_（m+3）2§_-4m2+6m+4_-2（m-2）（2m+l）

從而笛-廠

1+m21+m21+m2

取力=2,則此時有“=廠，故B錯誤;

對于C,當(dāng)直線/平分圓C時，有點C（l,2）在直線/:無+歿一機+2=。上,

也就是說有1+2m-a+2=0成立，解得根=-3,故C正確；

對于D,點C到直線/距離滿足1<|尸。，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)尸C_U,

,2-11

而PC的斜率為&==3，

所以當(dāng)?shù)忍柍闪r有。解得機=〈，故D正確.

3km）3

故選：ACD.

4.AB

【分析】對于A：根據(jù)直線方程分析判斷；對于B：根據(jù)題意求直線交點即可；對于C：根據(jù)空集的定義結(jié)

合直線平行運算求解；對于D：根據(jù)直線重合分析求解.

【詳解】對于選項A：因為》+-+2a=0表示過定點（0,-2）,且斜率不為。的直線,

可知A=｛（x,y）|x+ay+2a=0｝表示直線x+ay+2a=0上所有的點，

所以VaeR,Aw0,故A正確；

對于選項B：當(dāng)口=-1時，則A=｛（尤,y）|x-y-2=。｝,B=｛（x,y）|x+y+l=o｝,

'1

聯(lián)立方程「解得2所以AcB=，m，B正確；

[x+y+l=03&22）\

V~~2

對于選項C：當(dāng)A3=0時，則有：

若5=0,則。=0；

若可知直線無+ay+2a=0與直線依+@-1=0平行，且。彳0,

可得_1=0力§,解得“=1；

綜上所述：a=0或。=1,故C錯誤；

對于選項D：若A=3,由選項C可知awO,且工=9==，無解，故D錯誤.

aa—1

故選：AB.

5.4

10

【分析】根據(jù)題意得到直線4恒過定點41，。)，直線6恒過定點5(3,2),以及直線4與4的斜率，得到4，/

求得|AC「+忸[2=8,結(jié)合忸I(lǐng))219Aq2+怛c『),即可求解.

【詳解】由直線乙：丘+y-左=。，可化為Mx—D+y=O,可直線“亙過定點41,0),

直線4：x-外+2%-3=0,可化為無一3-以丫-2)=0,可得直線4恒過定點8(3,2),

又由直線4的斜率為-3直線4的斜率為：，因為所以4口，

kk

因為4與，2的交點為c,所以IAC「+\BCf=\A^=8,

又由yq?Bc|yw；(aq2+怛c「)=4,所以忸q。,則人。+忸q44,

當(dāng)且僅當(dāng)|AC|=|3cl時，等號成立，

所以|4。+忸。的最大值為4.

故答案為：4.

6.②③/囪回

【分析】首先可根據(jù)|MP|=|MP|得出點尸在線段MN的中垂線上，然后求出線段MN的中垂線方程為

>=最后依次判斷四個曲線是否與y=-3x有交點即可得出結(jié)果.

【詳解】因為點P滿足|P"|=|PN],所以點尸在線段MN的中垂線上，

線段時V中點坐標(biāo)為(2,-1),&^=三*=2,中垂線的斜率上=-1,

11

故線段腦V的中垂線方程為y+l=-](%-2),即y=-

因為曲線上存在點尸滿足1PM=|PN|,所以曲線與尸-;x有交點，

對于①：x+2y+l=0與y=-；x,平行，故不滿足題意；

對于②：圓(x+l)2+(y+l『=2的圓心為(TT),半徑為0，

同、/11、云tl1J.L,nr-^-7|—1—2I33^/5145150rr

圓心(-1,-1)至Uy=——x的距禺d=?-=—1==--=------<------=，2=R,

2也2+『石555

故圓(x+iy+(y+iy=2與y=相交，滿足題意；

fx22一

—y—12

對于③：聯(lián)立41,整理得5=1，方程有解，滿足題意；

11

對于④：聯(lián)立4；,整理得0=1,不成立，故不滿足題意.

12

故答案為：②③.

反思提升：

（1）斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.

（2）傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察（數(shù)形結(jié)合）；②充分利用函數(shù)左=tana的單調(diào)性.

【考點2】求直線的方程

一、單選題

1.（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，直線/通過原點，；7=（3,4）是/的一個法向量，則

直線/傾斜角的余弦值為（）

,4433

A.B.-C.-D."-

5555

2.（2024?全國,模擬預(yù)測）已知曲線〃力=出在點（1,〃功處的切線為/,貝心在'軸上的截距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、多選題

3.（2023?浙江寧波?一模）已知直線/：〃?x-y+2〃?+l=0（加>0）與圓。：V+丁=4相交于兩點，與

兩坐標(biāo)軸分別交于CD兩點，記VAO3的面積為△COD的面積為$2，則（）

A.S]V2B.存在機，使星=3C.|AB|>^D.存在機，使卜|CE>|

4.（2024?黑龍江哈爾濱,模擬預(yù)測）已知圓C：（x-2）2+y2=4,直線/：（m+l）x+2y-3-m=0（meR）,

則（）

A.直線/恒過定點（LI）

B.存在實數(shù)7”，使得直線/與圓C沒有公共點

C.當(dāng)相=-3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓/+丁-2尤+分+1=0恰有兩條公切線

三、填空題

5.（2024?天津河?xùn)|?一模）已知過點玳4,-3）的直線（不過原點）與圓。：爐+（"5）2=。相切，且在x軸、y

軸上的截距相等，貝M的值為.

6.（2023?江西南昌?一模）函數(shù)〃尤）=丁-如在尤=1處的切線平行于直線無一y—1=0,則切線在y軸上的

截距為.

12

參考答案:

1.A

3

【分析】設(shè)直線’的傾斜角為巴依題意可得tan°=-“再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得

【詳解】因為直線/通過原點，2=(3,4)是/的一個法向量,

3

所以直線/的方程為3%+4y=。，設(shè)直線/的傾斜角為6,貝Ijtan6=-二,

4

八sin63

tanv=----=—「,4

又，cos。4且0。<6><180。，解得cosO=——.

sin26>+cos20=15

故選:A

2.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，代入點斜式得直線方程，令x=0即可求解.

【詳解】由〃x)=xlnx得/'("=3+1,所以直線/的斜率左=_/''⑴=1,

又f(l)=O,所以直線/的方程為y=x-l,令x=0,得y=-l,即/在V軸上的截距為-1.

故選：B

3.ABC

【分析】運用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合面積公式和點到直線距離，兩點間距離，直線與圓弦長公式即可.

3

【詳解】A.直線/：mx-y+—m+l=0(m>0),

3

當(dāng)x=0時，y=—m+l,

31

當(dāng))=0時，%=-----,

2m

所以|CZ)|=」(』+工)2+(35+1)2,

N2m2

因為圓心為。(。,。)/=2,

—m+1

2

所以圓心到直線的距離4=

y/m2+1

AB

所以根據(jù)直線被圓截得的弦長公式有I+d2=4，

解得|AB|=2,4-筋,

所以S1二3陰xd="d2x4=/4二）+”=2,

13

—m+1

當(dāng)且僅當(dāng)4一d2=」2即d=0,即1=2=V2,

yjm2+1

解得根=2\/10-6時取得等號.

所以岳42,故A正確.

3

B.直線/：+—m+l=O（m>0）,

3

當(dāng)x=0時，y=—m+l；

31

當(dāng)y=0時，%=--,

2m

所以

T*嗚+：）

=-----1-3）

24m

2一

當(dāng)機=§時，02=3,故B正確.

3a

C.直線/：如-丁+不加+l=0（m>0）過定點尸（一］」）在圓內(nèi),

因為圓O：/+>2=4,圓心為。（0,0）/=2,

—m+1

所以圓心到直線的距離4=2

dm2+1

因為|4用=2,4-相22,4-|尸0『=2卜’=5

當(dāng)且僅當(dāng)/LOP時，d=|PO|,所以/被截得的弦長最短|AB|=G,

所以|45巧道.故C正確.

D.要使|A5|=|CD|,則A3與。。重合，

此時AB的直線方程為V=x+2不過定點尸（-；，1），

故D錯.

故選:ABC.

4.ACD

14

【分析】求出直線/過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷

圓與圓的位置關(guān)系判斷D.

fx—1=0fx=l

【詳解】對于A,直線/的方程為(x-l)〃z+x+2y-3=0,由。八，得，，

[x+2y-3=0[y=l

直線/過定點(1,1),A正確；

對于B,X(l-2)2+l2=2<4,即定點(-M)在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交，有兩個交點，B錯誤；

對于C,當(dāng)〃?=一3時，直線/：x-y=0,圓心C(2,0)到直線/的距離為d=B獸=0,

V2

而圓C半徑為2,且2-0<1,因此恰有2個點到直線/的距離等于1,C正確；

對于D,圓Y+y2-2x+8y+l=0化為(x-iy+(y+4)2=16,

圓尤2+-2x+8y+1=0的圓心為(1,-4),半徑為4,

兩圓圓心總巨為4-2=2<d'=J(l-2)2+(-4-0)2=歷<6=4+2,

兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.

故選:ACD.

5.18

【分析】確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.

【詳解】由題意知過點P(4,-3)的直線(不過原點)在X軸、y軸上的截距相等，

設(shè)該直線方程為x+y=6,將尸(4,-3)代入得6=1,即直線方程為x+y=l,

由于該直線與C:x?+(y+5)2=a,(a>0)相切，圓心為(0,-5),半徑為新,

故-~~_-=yfu,=18,

故答案為：18

6.-2

【分析】由題意了")=1,求得。=2,所以/(x)=V-2x,貝=進而求出函數(shù)在無=1處的

切線方程，從而得解.

【詳解]尸(龍)=3f_q,由題意r(l)=3_a=l,即4=2,

所以"x)=V_2x,則八1)=-1,

故函數(shù)〃尤)在x=l處的切線方程為V-=即y=x-2,

15

則切線在y軸上的截距為-2.

故答案為：-2.

反思提升：

⑴求直線方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求

出待定系數(shù)，即得所求直線方程.

（2）在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件，特別是對于點斜式、

截距式方程，使用時栗注意分類討論思想的運用.

【考點3】直線方程的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?安徽黃山?二模）已知拋物線。：丫2=2.（0>0）的焦點為歹，過點R（2,l）的直線/與拋物線C交于

A、8兩點，R為線段A3的中點，若|陽+|FB|=5,則直線/的斜率為（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

2.（2024?陜西商洛?三模）已知產(chǎn)（%,%）是圓C:d+y2-2x-2y+l=0上任意一點，則的最大值為（）

1-4-J7-4+77

A.-2B.——C.7D.7

233

二、多選題

3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知圓C：（X-2）2+/=4,直線/：（m+l）x+2y-3-m=0（meR）,

貝IJ（）

A.直線/恒過定點（LI）

B.存在實數(shù)修，使得直線/與圓C沒有公共點

C.當(dāng)m=-3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓/+9-2工+8了+1=0恰有兩條公切線

4.（2021?江蘇常州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=77W+|x_l|，則下列結(jié)論正確的是（）

A.在區(qū)間（一*0）上單調(diào)遞減，（1,內(nèi)）上單調(diào)遞增

B.的最小值為近，沒有最大值

C.存在實數(shù)/，使得函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=/對稱

D.方程f（x）=2的實根個數(shù)為2

三、填空題

16

5.（2022?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知直線/:依->+1+2左=0,若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)

上的值為;若直線/不經(jīng)過第三象限，則左的取值范圍是.

6.（22-23高二上?江蘇鹽城?期中）已知尸、。分別在直線4：X-y+1=0與直線/?：彳-y-1=0上，且尸。，4,

點A（T,4）,3（4,0）,則|AP|+|尸回的最小值為.

參考答案：

1.B

【分析】設(shè)出點A,2的坐標(biāo)，利用拋物線定義結(jié)合已知求出p,再借助斜率坐標(biāo)公式計算作答.

【詳解】設(shè)拋物線。：丁=2/（2>0）的準(zhǔn)線為：x=_g

因R（2,l）為線段AB的中點，則%+々=4,又照+閥=玉+春+赴+5=4+°=5,解得p=l,

則拋物線C的方程為：/=2x,有％=g,々=貴，%+%=2,顯然直線/的斜率存在，

22

/「-一%Xf2

所以直線/的斜率一百一々一豆一或一%+%一?

E一萬

故選：B

2.D

y+1/、

【分析】'n的幾何意義為直線人（》-3）-'-1=0的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點即可得出答案.

【詳解】設(shè)％=變形可得女伍一3）-%-1=0,

%一J

則”的幾何意義為直線3）-y-1=0的斜率，

HC:x2+y2-2x-2y+l=0{t^C:（x-l）2+（y-l）2=1,

所以圓C的圓心為（1,1）,半徑為1.

因為Pg4。）是圓。：/+丁-2-2丫+1=0上任意一點，

所以圓C與直線左（彳-3）-y-1=0有公共點，即圓的圓心C（l,l）到直線左"-3）-丁-1=。的距離不大于圓C

的半徑，

所以叫注』vi,解得士心（士立,

VF+133

即”的最大為士立.

5-33

故選:D.

3.ACD

17

【分析】求出直線/過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷

圓與圓的位置關(guān)系判斷D.

fx—1=0fx=l

【詳解】對于A,直線/的方程為(x-l)〃z+x+2y-3=0,由。八，得，，

[x+2y-3=0['=1

直線/過定點(1,1),A正確；

對于B,X(l-2)2+l2=2<4,即定點(-M)在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交，有兩個交點，B錯誤；

對于C,當(dāng)〃?=一3時，直線/：x-y=0,圓心C(2,0)到直線/的距離為1=匕0=應(yīng)，

V2

而圓C半徑為2,且2-收<1,因此恰有2個點到直線/的距離等于1,C正確；

對于D,圓Y+y2-2x+8y+l=0化為(x-iy+(y+4)2=16,

圓龍2+V-2x+8y+1=0的圓心為(1,-4),半徑為4,

兩圓圓心濕巨為4-2=2<d'="(l-2)2+(-4-0)2=歷<6=4+2,

兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.

故選:ACD.

4.ABD

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用動點到兩定點的距離之和的變化可判定A正確；求出最小值，分析無最

大值，可判定B正確；由對稱性的定義，可判定C不正確；由單調(diào)性和函數(shù)值的關(guān)系，可判定D正確.

【詳解】由題意，函數(shù)/(X)=,尤2+]+|尤_1|=小(尤_0)2+(0_1)2+J(尤_])2+(0_0)2,

可理解為動點尸(羽0)到兩個定點A(0,D,B(l,0)的距離之和，

如圖所示，

當(dāng)x<0時，隨著尤的增大，尸越靠近原點。時，P4越小，則上4+PB越小，

即外力越小，函數(shù)/(X)在(f,。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，隨著尤的增大，尸越靠近原點3時，P4越大，則B4+P3越大，

即/(X)越大，函數(shù)/(X)在(1,y)上單調(diào)遞增，所以A正確；

當(dāng)點尸與點B重合時，B4+PB取得最小值&，點尸越向左遠(yuǎn)離?；蛳蛴疫h(yuǎn)離3時，R4+R5越大，無最大

值，，即函數(shù)/'(X)有最小值正，無最大值，所以B正確；

當(dāng)點尸與點B重合時，B4+P3取得最小值若函數(shù)f(x)有對稱軸，則對稱軸的方程為x=l,而

/(0)=2,/(2)=V5+l,可得〃0尸/(2),則x=l不是對稱軸，

18

所以存在實數(shù)f,使得函數(shù)/■(%)的圖象關(guān)于x=f對稱是錯誤的，所以C不正確；

因為尸與點。重合時，F(xiàn)(x)=2,當(dāng)尤<0時，〃x)>2；當(dāng)0<x<l時,/(x)e(>/2,2)；當(dāng)尤>1時，〃尤)>0,

由〃x)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以存在/>0,使得〃力=2的實根個數(shù)為2,所以D正確.

故選：ABD.

【分析】分別令x=0和、=0求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出左的值；先分析/過定

點，然后根據(jù)條件結(jié)合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出左的取值范圍.

【詳解】因為直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以4力。，

在^kx—y+1+2k—0中，

令x=0,得y=l+2左，令y=。，得％=-2-?，

k

依題意可得1+24=-2-：，即2左2+32+1=0,

k

解得％=-!或k=-1;

2

/、鼠+2=0

直線/的方程可化為M%+2)—y+i=。，所以j_y+i=o，

所以［y=l，所以直線/過定點”J2,1),

所以《“=-；，由直線/：履一y+l+2k=°可得：y^kx+2k+\,

若/不經(jīng)過第三象限，則-左V0,

故答案為：-1或-g；---<k<0.

22

6.回+夜/夜+屈

【分析】利用線段的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，找到|AP|+|QB|最小值即為所求.

【詳解】由直線《與乙間的距離為0得|PQ|=應(yīng)，過3(4,0)作直線/垂直于4：x-y+l=0,如圖,

19

則直線/的方程為：y=r+4,將3(4,0)沿著直線/往上平移④個單位到？點，有？(3,1),

連接A8交直線4于點尸，過尸作尸。，/?于。，連接80,有刖'//打2,|88'|=|尸。|,即四邊形22'尸。為平

行四邊形，

則|PB'\=\BQ\,即有|朋+|照=|用+|尸陰=jAB1,顯然［AB］是直線4上的點與點A,B距離和的最小值，

因此|AP|+|Q卻的最小值，即|知+陷］的最小值W|,而網(wǎng)|=J(-4-3)，(4-以=屈,

所以|AP|+|P0+|QB|的最小值為|相［+|尸。=屈+夜

故答案為：758+72

【點睛】思路點睛：(1)合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.

(2)轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.

(3)數(shù)形結(jié)合使得問