高等數(shù)學教案ch-4-不定積分

高等數(shù)學教案第四章不定積分教學目的：第四章不定積分1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。3、會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學重點：1、不定積分的概念；2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；3、換元積分法與分部積分法。教學難點：1、換元積分法；2、分部積分法；3、三角函數(shù)有理式的積分。§4.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上,可導函數(shù)F(x)的導函數(shù)為f(x),即對任一x∈I,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).例如因為(sinx)'=cosx,所以sinx是cosx的原函數(shù).又如當x∈(1,+∞)時,因為(x)'=1,所以x是1的原函數(shù).2x2x提問:cosx和1還有其它原函數(shù)嗎？2x原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x),使對任一x∈I都有F'(x)=f(x).簡單地說就是:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).兩點說明:第一,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),那么f(x)就有無限多個原函數(shù),F(x)+C都是f(x)的原函數(shù),其中C是任意常數(shù).第二,f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù),即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù),則Φ(x)-F(x)=C(C為某個常數(shù)).高等數(shù)學課程建設組1高等數(shù)學教案第四章不定積分定義2在區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分,記作?f(x)dx.其中記號?稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量.根據(jù)定義,如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù),那么F(x)+C就是f(x)的不定積分,即?f(x)dx=F(x)+C.因而不定積分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一個原函數(shù).例1.因為sinx是cosx的原函數(shù),所以?cosxdx=sinx+C.因為x是1的原函數(shù),所以2x例2.求函數(shù)f(x)=1的不定積分.x解：當x>0時,(lnx)'=1,x?1dx=lnx+C(x>0);x當x<0時,[ln(-x)]'=1?(-1)=1,-xx?1dx=ln(-x)+C(x<0).x合并上面兩式,得到?1dx=ln|x|+C(x≠0).x例3設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解設所求的曲線方程為y=f(x),按題設,曲線上任一點(x,y)處的切線斜率為y'=f'(x)=2x,,即f(x)是2x的一個原函數(shù).因為?2xdx=x2+C,高等數(shù)學課程建設組2?1dx=x+C.x高等數(shù)學教案第四章不定積分故必有某個常數(shù)C使f(x)=x2+C,即曲線方程為y=x2+C.因所求曲線通過點(1,2),故2=1+C,C=1.于是所求曲線方程為y=x2+1.積分曲線:函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.從不定積分的定義,即可知下述關(guān)系:d[?f(x)dx]=f(x),dx或d[?f(x)dx]=f(x)dx;又由于F(x)是F'(x)的原函數(shù),所以?F'(x)dx=F(x)+C,或記作?dF(x)=F(x)+C.由此可見,微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算,以記號?表示）是互逆的.當記號?與d連在一起時,或者抵消,或者抵消后差一個常數(shù).二、基本積分表(1)?kdx=kx+C(k是常數(shù)),(2)?xμdx=1xμ+1+C,+1(3)?1dx=ln|x|+C,x(4)?exdx=ex+C,x(5)?axdx=a+C,lna(6)?cosxdx=sinx+C,(7)?sinxdx=-cosx+C,(8)?1dx=sec2xdx=tanx+C,?cos2x(9)?12=?csc2xdx=-cotx+C,sinx高等數(shù)學課程建設組3高等數(shù)學教案第四章不定積分(10)?1=arctanx+C,1+x(11)?1=arcsinx+C,-x2(12)?secxtanxdx=secx+C,(13)?cscxcotdx=-cscx+C,(14)?shxdx=chx+C,(15)?chxdx=shx+C.例4例5?xdx=?x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111?x2xdx=?5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C.+17725例6?dx=?xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C.三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和,即?[f(x)+g(x)]dx=?f(x)dx+?g(x)dx.這是因為,[?f(x)dx+?g(x)dx]'=[?f(x)dx]'+[?g(x)dx]'=f(x)+g(x).性質(zhì)2求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即?kf(x)dx=k?f(x)dx(k是常數(shù),k≠0).例7.?x(x-5)dx=?5x2dx-725(x21-5x2)dx5x2dx-51x2dx=??15x2dx3=??22=x2-5?x2+C.7332(x-1)3x-3x+3x-1=(x-3+3-1)dx例8?dx=??22xx2xx=?xdx-3?dx+3?1dx-?1=1x2-3x+3ln|x|+1+C.x2xx高等數(shù)學課程建設組4高等數(shù)學教案第四章不定積分例9?(ex-3cosx)dx=?exdx-3?cosxdx=ex-3sinx+C.例10?2xexdx=?(2e)xdx=xx(2e)x+C=2e+C.ln(2e)1+ln22x+(1+x2)1+x+x例11?=?=?(12+1)dx22x(1+x)x(1+x)1+xx=?12dx+?1dx=arctanx+ln|x|+C.x1+x44(x2+1)(x2-1)+1xx-1+1例12?=?=?dx1+x21+x21+x2=?(x2-1+1dx=?x2dx-?dx+?11+x1+x=1x3-x+arctanx+C.3例13?tan2xdx=?(sec2x-1)dx=?sec2xdx-?dx=tanx-x+C.例14?sin2xdx=?1-cosxdx=1?(1-cosx)dx222=例151(x-sinx)+C.2?1=4?12=-4cotx+C.sinxsin2cos222高等數(shù)學課程建設組5高等數(shù)學教案第四章不定積分§4.2換元積分法一、第一類換元法設f(u)有原函數(shù)F(u),u=?(x),且?(x)可微,那么,根據(jù)復合函數(shù)微分法,有dF[?(x)]=dF(u)=F'(u)du=F'[?(x)]d?(x)=F'[?(x)]?'(x)dx,所以F'[?(x)]?'(x)dx=F'[?(x)]d?(x)=F'(u)du=dF(u)=dF[?(x)],因此?F'[?(x)]?'(x)dx=?F'[?(x)]d?(x)=?F'(u)du=?dF(u)=?dF[?(x)]=F[?(x)]+C.即?f[?(x)]?'(x)dx=?f[?(x)]d?(x)=[?f(u)du]u=?(x)=[F(u)+C]u=?(x)=F[?(x)]+C.定理1設f(u)具有原函數(shù),u=?(x)可導,則有換元公式?f[?(x)]?'(x)dx=?f[?(x)]d?(x)=?f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C.被積表達式中的dx可當作變量x的微分來對待,從而微分等式?'(x)dx=du可以應用到被積表達式中.在求積分?g(x)dx時,如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)=f[?(x)]?'(x)的形式,那么?g(x)dx=?f[?(x)]?'(x)dx=[?f(u)du]u=?(x).例1.?2cos2xdx=?cos2x?(2x)'dx=?cos2xd(2x)=?cosudu=sinu+C=sin2x+C.例2.?3+2x=2?3+2x(3+2x)'dx=2?3+2xd(3+2x)11111=1?1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C.2u22例3.?2xexdx=?ex(x2)'dx=?exd(x2)=?eudu=eu+C=ex+C.例4.?x-x2dx=1?-x2(x2)'dx=1?-x2dx222=-1?-x2d(1-x2)=-1?u2du=-1u2+C223=-1(1-x2)2+C.3高等數(shù)學課程建設組63132222高等數(shù)學教案第四章不定積分例5.?tanxdx=?sinxdx=-?1dcosxcosxcosx=-?1du=-ln|u|+Cu=-ln|cosx|+C.=-ln|coxs|+C.即?tanxdx類似地可得?cotxdx=ln|sinx|+C.熟練之后,變量代換就不必再寫出了.例6.?a+xdx=a?111dx1+(2a=1?1x=1arctanx+C.a1+()2aaaa即n+C.?a2+x2=aarcta11x例7.?chx=a?chxx=ashx+C.aaaa例8.當a>0時,1=111xdx=?dx=arcs+C.?aaaxxa2-x222-(-(aa?即?1=arcsx+C.22a-x例9.?x2-a2dx=2a?x-a-x+a)dx=2a[?x-adx-?x+adx]1111111=1[?1d(x-a)-?1(x+a)]2ax-ax+a=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C.2a2ax+a即?x-a=2aln|x+a|+C.?x(1+2lnx)=?1+2lnx=2?dxdlnx1d(1+2lnx)1+2lnx11x-a例10.=1ln|1+2lnx|+C.2高等數(shù)學課程建設組7高等數(shù)學教案第四章不定積分例11.?e=2?ed=2?e3xdx3x=2e+C.3含三角函數(shù)的積分:例12.?sin3xdx=?sin2x?sinxdx=-?(1-cos2x)dcosx=-?dcosx+?cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C.3例13.?sin2xcos5xdx=?sin2xcos4xdsinx=?sin2x(1-sin2x)2dsinx=?(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C.357例14.?cos2xdx=?1+cos2xdx=1(?dx+?cos2xdx)22=1?dx+1?cos2xd2x=1x+1sin2x+C.2424例15.?cos4xdx=?(cos2x)2dx=?[1(1+cos2x)]2dx2=1?(1+2cos2x+cos22x)dx4=1?3+2cos2x+1cos4x)dx422=1(3x+sin2x+1sin4x)+C428=3x+1sin2x+1sin4x+C.8432例16.?cos3xcos2xdx=1?(cosx+cos5x)dx2=1sinx+1sin5x+C.2101dx例17.?cscxdx=?1dx=?sinx2sincos22高等數(shù)學課程建設組8高等數(shù)學教案第四章不定積分dxdtanx=ln|tanx|+C=ln|cscx-cotx|+C.=?=?2tancos2tan222xdx即?csc=ln|cscx-cotx|+C.例18.?secxdx=?csc(x+πdx=ln|csc(x+π)-cot(x+π)|+C222=ln|secx+tanx|+C.xdx即?sec=ln|secx+tanx|+C.二、第二類換元法定理2設x=?(t)是單調(diào)的、可導的函數(shù),并且?'(t)≠0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)F(t),則有換元公式?f(x)dx=?f[?(t)]?'(t)dt=F(t)=F[?-1(x)]+C.其中t=?-1(x)是x=?(t)的反函數(shù).這是因為{F[?-1(x)]}'=F'(t)dt=f[?(t)]?'(t)1=f[?(t)]=f(x).dxdt例19.求?2-x2dx(a>0).解:設x=asint,-π<t<π,那么a2-x2=2-a2sin2t=acost,22dx=acostdt,于是?a2-x2dx=?acost?acostdt=a2?cos2tdt=a21t+1sin2t)+C.24因為t=arcsin22x,sin2t=2sintcost=2x?a-x,所以aaa?2a11a-xdx=a(t+sin2t)+C=arcsinx+1xa2-x2+C.2a224222解:設x=asint,-π<t<π,那么22高等數(shù)學課程建設組9高等數(shù)學教案第四章不定積分?a2-x2dx=?acost?acostdt2=a2?cos2tdt=a21t+1sin2t)+C=aarcsinx+1xa2-x2+C.2a224提示:2-x2=a2-a2sin2t=acost,dx=acostdt.22提示:t=arcsinx,sin2t=2sintcost=2x?-x.aaa例20.求?dx(a>0).x2+a2解法一:設x=atant,-π<t<π,那么22x2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=asect,dx=asec2tdt,于是?2dxasect=sectdt=ln|sect+tant|+C.=??asectx2+a222因為sect=x+a,tant=x,所以aa?dx=ln|sect+tant|+C=ln(x+x2+a2)+C=ln(x+x2+a2)+C,1aax2+a2其中C1=C-lna.解法一:設x=atant,-π<t<π,那么22?dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C?asect?x2+a222xx+a=+)+C=ln(x+x2+a2)+C1,aa其中C1=C-lna.提示:x2+a2=2+a2tan2t=asect,dx=asec2tdt,22提示:sect=x+a,tant=x.aa解法二:設x=asht,那么高等數(shù)學課程建設組10高等數(shù)學教案第四章不定積分?dx=?acht=?dt=t+C=arshx+Cachtax2+a2??=lnx+(x)2+1?+C=ln(x+x2+a2)+C1,a?a?其中C1=C-lna.提示:x2+a2=2sh2t+a2=acht,dx=achtdt.例23.求?dx(a>0).x2-a2解:當x>a時,設x=asect(0<t<π),那么2x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=atant,于是?dx=?asecttant=?sectdt=ln|sect+tant|+C.atantx2-a222因為tant=x-a,sect=x,所以aa?dx=ln|sect+tant|+C=ln|x+x2-a2|+C=ln(x+x2-a2)+C,1aax2-a2其中C1=C-lna.當x<a時,令x=-u,則u>a,于是?dx=-?du=-ln(u+2-a2)+Cx2-a22-a2=-ln(-x+x2-a2)+C=ln(-x-x2-a2)+C1,22-x-x-a=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1,a其中C1=C-2lna.綜合起來有?dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2解:當x>a時,設x=asect(0<t<π),那么2高等數(shù)學課程建設組11高等數(shù)學教案第四章不定積分?dx=?asecttant=?sectdt22atantx-a22=ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a)+Caa(+x2-a2)+C,=lnx其中C1=C-lna.當x<-a時,令x=-u,則u>a,于是?dx=-?du=-ln(u+2-a2)+Cx2-a22-a22222-x-x-a=-ln(-x+x-a)+C=ln+Ca=ln(-x-x2-a2)+C1,其中C1=C-2lna.提示:x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant.22x-a提示:tant=,sect=x.aa綜合起來有?dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2補充公式:(16)?tanxdx=-ln|cosx|+C,(17)?cotxdx=ln|sinx|+C,(18)?secxdx=ln|secx+tanx|+C,(19)?cscxdx=ln|cscx-cotx|+C,(20)?(21)?(22)?(23)?1=1x+C,aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C,aa2-x2dx=ln(x+x2+a2)+C,x2+a2高等數(shù)學課程建設組12高等數(shù)學教案第四章不定積分(24)?dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2§4.3分部積分法設函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù).那么,兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為(uv)'=u'v+uv',移項得uv'=(uv)'-u'v.對這個等式兩邊求不定積分,得?uv'dx=uv-?u'vdx,或?udv=uv-?vdu,這個公式稱為分部積分公式.分部積分過程:?uv'dx=?udv=uv-?vdu=uv-?u'vdx=???.例1?xcosxdx=?xdsinx=xsinx-?sinxdx=xsinx-cosx+C.例2?xexdx=?xdex=xex-?exdx=xex-ex+C.例3?x2exdx=?x2dex=x2ex-?exdx2=x2ex-2?xexdx=x2ex-2?xdex=x2ex-2xex+2?exdx=x2ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2)+C.例4?xlnxdx=1?lnxdx2=1x2lnx-1?x2?1dx222x=1x2lnx-1?xdx=1x2lnx-1x2+C.2224例5?arccosxdx=xarccosx-?xdarccosx=xarccosx+?x1-x21-=xarccosx-1?(1-x2)d(1-x2)=xarccosx--x2+C.2例6?xarctanxdx=1?arctanxdx2=1x2arctanx-1?x2?1dx2221+x=1x2arctanx-1?(1-1dx221+x高等數(shù)學課程建設組13高等數(shù)學教案第四章不定積分=1x2arctanx-1x+1arctanx+C.222例7求?exsinxdx.解因為?exsinxdx=?sinxdex=exsinx-?exdsinx=exsinx-?excosxdx=exsinx-?cosxdex=exsinx-excosx+?exdcosx=exsinx-excosx+?exdcosx=exsinx-excosx-?exsinxdx,所以?exsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C.2例8求?sec3xdx.解因為?sec3xdx=?secx?sec2xdx=?secxdtanx=secxtanx-?secxtan2xdx=secxtanx-?secx(sec2x-1)dx=secxtanx-?sec3xdx+?secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-?sec3xdx,cxdx=1(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C.所以?se32例9求In=?dx,其中n為正整數(shù).(x+a)解I1=?2dx2=1x+C;ax+aa當n>1時，用分部積分法,有2dxxx?=+2(n-1)?(x+a)(x+a)(x+a)高等數(shù)學課程建設組14高等數(shù)學教案第四章不定積分=x1a2dx,+2(n-1)[-?(x+a)(x+a)(x+a)x+2(n-1)(In-1-a2In),22n-1(x+a)即In-1=于是In=1[x+(2n-3)In-1].2a(n-1)(x+a)以此作為遞推公式,并由I1=例10求?edx.1xarctan+C即可得In.aa解令x=t2,則,dx=2tdt.于?edx=2?tetdt=2et(t-1)+C=2e(x-1)+C.?edx=?ed(x)2=2?xed=2?xdex=2xex-2?exdx=2xe-2e+C=2e(x-1)+C.第一換元法與分部積分法的比較:共同點是第一步都是湊微分?f[?(x)]?'(x)dx=?f[?(x)]d?(x)令?(x)=u?f(u)du,?u(x)v'(x)dx=?u(x)dv(x)=u(x)v(x)-?v(x)du(x).哪些積分可以用分部積分法？?xcosxdx,?xexdx,?x2exdx;?xlnxdx,?arccosxdx,?xarctanxdx;?exsinxdx,?sec3xdx.?2xexdx=?exdx2=?eudu=???,?x2exdx=?x2dex=x2ex-?exdx2=???.高等數(shù)學課程建設組1522高等數(shù)學教案第四章不定積分§4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式:有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù),即具有如下形式的函數(shù):P(x)a0xn+a1xn-1+???+an-1x+an,=Q(x)b0xm+b1xm-1+???+bm-1x+bm其中m和n都是非負整數(shù);a0,a1,a2,???,an及b0,b1,b2,???,bm都是實數(shù),并且a0≠0,b0≠0.當n<m時,稱這有理函數(shù)是真分式;而當n≥m時,稱這有理函數(shù)是假分式.假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式.例如x3+x+1=x(x2+1)+1=x+1.x2+1x2+1x2+1真分式的不定積分:求真分式的不定積分時,如果分母可因式分解,則先因式分解,然后化成部分分式再積分.例1求?解x+3dx.x2-5x+6x+3?x-5x+6dx=?(x-2)(x-3)dx=?(x-3-x-2)dxx+365=?6dx-?5dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C.x-3x-2提示:(A+B)x+(-2A-3B)x+3,=A+B=(x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1,-3A-2B=3,A=6,B=-5.分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分:例2求?解x-2dx.x+2x+32?x2+2x+3dx=?2x2+2x+3-3x2+2x+3)dxx-212x+21=1?22x+2-3?212x+2x+3x+2x+3d(x2+2x+3)d(x+1)1=?2-3?2x+2x+3(x+1)2+()2=1ln(x2+2x+3)-3arctanx+1+C.21(2x+2)-3x-2=1?x-2-3?1=提示:.x+2x+3x+2x+32x+2x+3x+2x+3例3求?1dx.x(x-1)2高等數(shù)學課程建設組16高等數(shù)學教案第四章不定積分解?x(x-1)2dx=?[x-x-1+(x-1)2dx1111=?1dx-?1dx+?12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C.xx-1x-1(x-1)提示:1=1-x+x=-1+1x(x-1)(x-1)2x(x-1)2x(x-1)2=-1-x+x+12=1-1+12.x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)二、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù),其特點是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運算.由于各種三角函數(shù)都可以用sinx及cosx的有理式表示,故三角函數(shù)有理式也就是sinx、cosx的有理式.用于三角函數(shù)有理式積分的變換:把sinx、cosx表成tanx的函數(shù),然后作變換u=tanx:222tanx2tanx==2u,sinx=2sinxcosx=22sec21+tan21+u2221-tan2x=1-u2.cosx=cos2x-sin2x=22sec21+u2變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分.例4求?1+sinxdx.sinx(1+cosx)2x2u2du.1-u解令u=tan,則sinx=,cosx=,x=2arctanu,dx=2221+u1+u1+u2(1+2u)2du=1(u+2+1)du于是?1+sinxdx=?sinx(1+cosx)2?u2u(1+1-u1+u1+u1+u21u=(+2u+ln|u|)+C=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C.2242222解令u=tanx,則2高等數(shù)學課程建設組17高等數(shù)學教案第四章不定積分(1+2u2?1+sinxdx=??22du2sinx(1+cosx)2u(1+1-u1+u1+u21+u22=1u+2u+ln|u|)+C=1?(u+2+1du222u=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C.42222說明:并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分.例如,三、簡單無理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去.例5求?x-1dx.x解設x-1=u,即x=u2+1,則?1+sinxdx=?1+sinxd(1+sinx)=ln(1+sinx)+C.cosx1?x-1dx=u?2udu=2u2?u2+1?u2+1x=2?(1-1)du=2(u-arctanu)+C1+u=2(x-1-arctanx-1)+C.例6求?dx.1+x+2解設x+2=u.即x=u3-2,則dx=1?3u2du=3u2-1+1du?1++2?1+u?1+u2=3?(u-1+1du=3(u-u+ln|1+u|)+C1+u2=3x+2)2-x+2+ln|1+x+2|+C.2例7求?dx.(1+x)x解設x=t6,于是dx=6t5dt,從而高等數(shù)學課程建設組18高等數(shù)學教案第四章不定積分dx6t5dt=6t2=6(1-1)dt=6(t-arctant)+C=?(1+x)x?(1+t2)t3?1+t2?1+t2=6(x-arctanx)+C.例8求?1+xdx.xx解設+x=t,即x=21,于是xt-1-2t?1+xdx=?(t2-1)t?xx(t-1)2=-2?tdt=-2?(1+1)dtt-1t-1=-2t-ln|t-1|+Ct+1=-2+x-ln+x-x+C.x+x+練習1.求?dx.2+cosx1-t2x2解:作變換t=tan,則有dx=,x=dt,cos1+t221+t22dt221tdx1=?1+t2=2??=ddt?2t1-t2+cosx3+t31+()22+1+t23=2arctant3+C=231xtan)+C.232.求?sin5xdx.4cosx4(1-co2sx)2sin5xsinx解:?dx=-?dcosx=-?dcosxcos4xco4sxco4sx21=-?(1-+)dcosxcos2xcos4x=-cosx-3.求?3x+1dx.x2-3x+221++C.3cosx3cosx高等數(shù)學課程建設組19高等數(shù)學教案第四章不定積分解:?3x+13x+174=dxdx=(-?(x-2)(x-1)?x-2x-1)dxx2-3x+211dx-4?dxx-2x-1=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5積分表的使用積分的計算要比導數(shù)的計算來得靈活、復雜.為了實用的方便,往往把常用的積分公式匯集成表,這種表叫做積分表.求積分時,可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單變形后,在表內(nèi)查得所需的結(jié)果.積分表一、含有ax+b的積分=7?1．?dx=1ln|ax+b|+Cax+ba2．?(ax+b)μdx=3．?1(ax+b)μ+1+C(μ≠-1)a(μ+1)xdx=1(ax+b-bln|ax+b|)+Cax+ba224．?xdx=13[1(ax+b)2-2b(ax+b)+b2ln|ax+b|]+Cax+ba25．?6．?7．?8．?9．?dx=-1lnax+b+Cx(ax+b)bxdx1+alnax+b+C=-x2(ax+b)bxb2xx1(ln|ax+b|+b)+Cdx=(ax+b)2a2ax+bx2dx=1ax+b-2bln|ax+b|-b2)+C(ax+b)2a3ax+bdx11lnax+b+C=-x(ax+b)2b(ax+b)b2xxdx.(3x+4)2例1求?解:這是含有3x+4的積分,在積分表中查得公式x1b?(ax+b)2dx=a2(ln|ax+b|+ax+b)+C.高等數(shù)學課程建設組20高等數(shù)學教案第四章不定積分現(xiàn)在a=3、b=4,于是x14?(3x+4)2dx=9ln|3x+4|+3x+4)+C.二、含有+b的積分1．?ax+bdx=2ax+b)3+C3a2．?x+bdx=22(3ax-2b)ax+b)3+C15a3．?x2+bdx=4．?5．?2(15a2x2-12abx+8b2)ax+b)3+C105a3xdx=2(ax-2b)+b+C3a2+bx2dx=2(3a2x2-4abx+8b2)+b+C15a3+b1ln+b-+C(b>0)ax+b+2arctanax+b+C(b<0)-b-b??6．?dx=?x+b??7．?dx=-+b-a?dxbx2bx+bx2+b8．?+bdx=+b+b?dxxx+b9．?2+bdx=-+b+a?dxxx2x+b三、含x2±a2的積分1．?2．?3．?x2+a2dx=1arctanx+Caadxx2n-3dx=+?(x2+a2)n2(n-1)a2(x2+a2)n-12(n-1)a2(x2+a2)n-1dx=1lnx-a+Cx2-a22ax+aax+C(b>0)bx-b+C(b<0)x+b四、含有ax2+b(a>0)的積分?1arctandx=?1．?2?ax+b?1ln?2ab2．?xdx=1ln|ax2+b|+Cax2+b2a高等數(shù)學課程建設組21高等數(shù)學教案第四章不定積分3．?4．?5．?6．?7．?x2dx=x-bdx?2ax+baaax2+bdx1lnx2+C=x(ax2+b)2b|ax2+b|dxx2(ax2+b)1dx=-1-a?2bxbax+bdxaln|ax2+b|-1+C=x3(ax2+b)2b2x22bx2dx=x11dx+?(ax2+b)22b(ax2+b)2bax2+b五、含有ax2+bx+c(a>0)的積分六、含有x2+a2(a>0)的積分1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx=arshx+C=ln(x+x2+a2)+Ca1x2+a2dxx+Cx2+a2)3a2x2+a2x=x2+a2+Cx2+a2x1dx=-+Cx2+a2)3x2+a2x2=xx2+a2-a2ln(x+x2+a2)+C22x2+a2x2xdx=-+ln(x+x2+a2)+C22322x+a)x+a22dx=1lnx+a-a+C|x|xx2+a2ax22+a2dx=-x2+Cax2+a29．?x2+a2dx=xx2+a2+aln(x+x2+a2)+C222例3求?dx.xx2+9dxdx=1?,xx2+92xx2+(322解:因為?所以這是含有x2+a2的積分,這里a=3.在積分表中查得公式2高等數(shù)學課程建設組22高等數(shù)學教案第四章不定積分dx1ln2+a2-a+C.=?xx2+a2a|x|x2+(3)2-3dx+C=1lnx2+9-3+C.于是?=1?2ln|x|32|x|xx2+923七、含有x2-a2(a>0)的積分1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx=xarch|x|+C=ln|x+x2-a2|+C1ax2-a2|x|dxx