揚(yáng)大附中東部分校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)答案）

揚(yáng)大附中東部分校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（總分150時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】C2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線在軸上的截距是（

）A．-10 B．10 C． D．【答案】A3.若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9，則到左焦點(diǎn)的距離為（

）A．15 B．12 C．3 D．3或15【答案】A4.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C5.若是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】B6.若直線與的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B7.已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C8.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．答案：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（

）A．“”是“直線與直互相垂直”的充要條件B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是答案：BCD已知直線和圓，則下列結(jié)論成立的是（）.直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線與圓相交時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)最大值為.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，實(shí)數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)的值為時(shí)，直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為答案：AD11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿(mǎn)足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對(duì)值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）答案：ACD【詳解】對(duì)于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿(mǎn)足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，由于，所以，由曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．答案：13.若雙曲線的離心率為3，則該雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為．答案：曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．答案：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15.（13分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程；（2）若直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.答案：（1）或，....................................................................5分（2）或..........................................................................................13分16.（15分）已知圓的圓心在直線上且與軸相切，圓被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的最小值.答案：(1)(2)詳解：（1）因?yàn)閳A心在上且與軸相切，所以設(shè)圓心，半徑為，所以圓方程為，又圓心到直線距離，圓被直線截得弦長(zhǎng)為4，所以有：，解得，所以圓方程為：；.......................................................5分（2）解法一：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，設(shè)Px,y，則，即，所以點(diǎn)軌跡方程為.因?yàn)?，所以的最小值就是的最小值，即為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為..........................................................................................15分解法二：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，設(shè)Px,y，則，即，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值：，所以的最小值為...........................................................................................15分17.（15分）已知離心率為的雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，且三角形面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求實(shí)數(shù)的值．答案：【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為：．..................................................................5分【小問(wèn)2詳解】不失一般性，可設(shè)A在x軸下方，B在x軸上方，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為：，由得，同理可得，所以，因?yàn)?，解得?....................................................15分18.（17分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：.答案：（1），（2）證明見(jiàn)解析詳解：（1）解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；.....................................................................3分（2）解：設(shè)直線的方程為：，則過(guò)原點(diǎn)的直線且與直線平行的直線為，因?yàn)槭侵本€與的交點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因?yàn)?，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由題意可得，所以，，所以，即，所以...........................................17分19.（17分）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過(guò)的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問(wèn)：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．答案：（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，............................................................................2分所以雙曲線的方程為．....................................................................................3分（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線左支只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，.......................................................................................4分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，由，消去得，......................................................5分顯然，，設(shè)，則，得，.............6分于是，，.......................................8分即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．...............................................10分（3）由直線，得，則，又，......