2023-2024學(xué)年江西省宜春市豐城九中日新班高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江西省宜春市豐城九中日新班高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=3+ai2+i對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)a=(

)A.?32 B.32 C.62.“2<|m|<6”是“方程x2mA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3=3，A.48 B.81 C.93 D.2434.已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足為N，直線NF交x軸于點(diǎn)D，則|FD|=(

)A.2 B.3 C.4 D.5.過直線x?y?m=0上一點(diǎn)P作⊙M：(x?2)2+(y?3)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得PA=PB=7A.?3<m<5 B.?5<m<3

C.m<?5或m>3 D.m<?3或m>56.在形狀、大小完全相同的4個小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為(

)A.16 B.13 C.127.已知函數(shù)f(x)=ex?1?e1?x+x3?3x2+3xA.322 B.3248.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別為線段A1B1，CC1的中點(diǎn)，AA.510π3B.10π

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.函數(shù)f(x)=ax+1x2+aA. B. C. D.10.已知函數(shù)f(x)=ln(2+x)?ln(4?x)A.函數(shù)y=f(x)在(?2,4)上是增函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱

C.不存在斜率小于23且與數(shù)y=f(x)的圖象相切的直線

D.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)11.著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在R上的函數(shù)D(x)=0,x是無理數(shù)1,x是有理數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)A.D(x+y)≤D(x)+D(y)

B.D(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.D2(x)=D(D(x))的圖象關(guān)于y軸對稱

D.存在一個正三角形，其頂點(diǎn)均在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.等差數(shù)列{an}中的a1，a2023是函數(shù)f(x)=x13.若F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y216=1的兩個焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F1F2|14.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足(n+1)Sn2+Sn?n=0(n為正整數(shù))，則Sn四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

公差不為0的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和記為Sn.若a1=1，且S1，2S2，4S4成等比數(shù)列．

(1)求16.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=2，CA⊥CB，D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，C1D=C1E=2．

(1)若平面ACC1A1⊥平面17.(本小題15分)

如圖所示，一只螞蟻從正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)A1出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點(diǎn)到另一個頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為16，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為23．

(1)若螞蟻爬行n次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；

18.(本小題17分)

如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)E，F(xiàn)是圓內(nèi)的一個定點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)，把紙片折疊使得點(diǎn)F與P重合，折痕與直線PE相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，得到點(diǎn)Q的軌跡，記為曲線C.建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)F(1,0)，紙片圓方程為(x+1)2+y2=r2，點(diǎn)A(0,1)在C上．

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)F′坐標(biāo)為(?1,0)，過F且不與x軸重合的直線交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線AF′，BF′與C的另一個交點(diǎn)分別為M，N，記直線AB，MN的傾斜角分別為α19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2+1?lnxx?a有兩個零點(diǎn)x1，x2(x1<x2).

(1)求實(shí)數(shù)參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.B

7.C

8.A

9.BCD

10.ABC

11.BCD

12.?113.85π14.nn+1

(?∞,?15.解：(1)設(shè)公差d不為0的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和記為Sn．

若a1=1，且S1，2S2，4S4成等比數(shù)列，

則4S22=4S1S4，

即有(2a1+d)2=a1(416.解：(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,0)，E(1,0,0)，設(shè)C1(a,b,c)，

因?yàn)镃1D2=a2+(b?1)2+c2，C1E2=(a?1)2+b2+c2，C1D=C1E，所以a=b，

則C1(a,a,c)，CA=(2,0,0)，CB=(0,2,0)，CC1=(a,a,c)．

設(shè)平面BCC1B1的一個法向量n=(x1,y1,z1)，則n?CB=0n?CC1=0即2y1=0ax1+ay1+cz1=0，

令x1=c，則y1=0，z1=?a，所以n=(c,0,?a)，

設(shè)平面ACC1A1的一個法向量m=(x2,y2,z2)，則m?CA=0m?CC1=0即2x2=0ax2+ay2+cz17.解：(1)記螞蟻爬行n次在底面ABCD的概率為Pn，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，

結(jié)合題意易得，P1=23,Pn+1=13Pn+23(1?Pn)，

Pn+1?12=?13(Pn?12),{Pn?12}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為16，公比為?13，

Pn?12=16(?13)n?1,Pn=12+16(?13)n?1；

(2)結(jié)合題意易得：X=0，1，2，

當(dāng)X=2時，螞蟻第3次、第5次都在C處，

P(X=2)=(16×16×2×23+16×X012P4151X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)=82718.解：(1)由題意知，以EF中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以EF所在直線為x軸，以EF的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

F是圓內(nèi)的一個定點(diǎn)，故圓的半徑r>|EF|，

則|QP|=|QF|，|QE|+QP|=r，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=r?|EF|，

故點(diǎn)Q的軌跡為以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

則其焦距為2c=|EF|=2，所以c=1，

又點(diǎn)T(0,1)在C上，則b=1，所以a2=b2+c2=2，

故C的方程為x22+y2=1；

(2)當(dāng)α=π2時，由橢圓對稱性得β=π2,α?β=0；

當(dāng)α≠π2時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x?1)，(k≠0)，k=tanα，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

則x122+y12=1,x222+y22=1,x322+y32=1,x422+y42=1，

當(dāng)x1≠?1時，設(shè)直線AF′的方程為y=k1(x+1)，則k1=y1x1+1，

聯(lián)立y=k19.解：(1)f′(x)=2x+?2+lnxx2=2(x3?1)+lnxx2，

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2(x3?1)+lnx單調(diào)遞增，且g(1)=0，

所以f′(x)>0?x>1，f′(x)<0?0<x<1，

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)f(1)=2?a<0，即a>2時，

f(1a)=1a2+a(1+lna)?a=1a2+alna>0，

f(a)=a2+1?lnaa?a>a2?a+1?(a?1)a>a2?a?a?1a=(a?1)2(a+1)a>0，

所以f(x)在(1a,1)和(1,a)上各有一個零點(diǎn)，

當(dāng)a≤2時，f(x)的最小值為f(1)，且f(1)=2?a≥0，

所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>2；

(2)證明：設(shè)F(x)=f(x)?f(1x)，x>1，

F′(x)=f′(x)+1x2f′(1x)=2(x?1)?2(x?1)x3+1?x2x2lnx，

=(x?1)[2?2x3?x+1x2lnx]=x?1x3[2x3?2?x(x+1)lnx]，

當(dāng)x>1時，lnx<x?1，

2x3?2?x(x+1)(x?1)=x3+x?2=(x?1)(x2+x+2)>0，

所以2x3?2>x(x+1)(x?1)>x(x+1)lnx，

所以F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>1時，F(xiàn)