換元積分法教案

PAGEPAGE1時(shí)間月日星期課題§4.2換元積分法教學(xué)目的使學(xué)生掌握不定積分的第一換元積分法以及第二換元積分法教學(xué)重點(diǎn)第一換元積分法以及第二換元積分法的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)第二換元積分法的應(yīng)用課型專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)媒體教法選擇講授教學(xué)過(guò)程教法運(yùn)用及板書(shū)要點(diǎn)一、第一類(lèi)換元法（湊微分法）設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u)u(x)且(x)可微那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此即[F(u)C]u(x)F[(x)]C定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)u(x)可導(dǎo)則有換元公式被積表達(dá)式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來(lái)對(duì)待從而微分等式(x)dxdu可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中在求積分時(shí)如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)f[(x)](x)的形式那么【例1】sin2xC【例2】此表2學(xué)時(shí)填寫(xiě)一份，“教學(xué)過(guò)程”不足時(shí)可續(xù)頁(yè)【例3.】【例4】【例5】ln|cosx|C即類(lèi)似地可得熟練之后變量代換就不必再寫(xiě)出了【例6】即【例7】當(dāng)a0時(shí),即【例8】即【例9】【例10】含三角函數(shù)的積分【例11】【例12】【例13】【例14】【例15】【例16】ln|cscxcotx|C即ln|cscxcotx|C【例17】ln|secxtanx|C即ln|secxtanx|C練習(xí)：

1、。2、3、4、5、二、第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法，是選擇恰當(dāng)?shù)?，將積分變換成，在找的原函數(shù)，即可計(jì)算出積分。反過(guò)來(lái)，對(duì)積分，也可以令，則，于是如果容易求得，且的反函數(shù)存在，即可求得原積分。這種方法就是第二類(lèi)換元法。定理2設(shè)在嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，，又設(shè)具有原函數(shù)，則換元公式其中是的反函數(shù)。證明：【例18】。解：，代入原積分，得【例19】求(a>0)解:設(shè)xasint那么dxacostdt于是因?yàn)?所以【例20】求(a>0)解法一設(shè)xatant那么asectdxasec2tdt于是ln|secttant|C因?yàn)樗詌n|secttant|C其中C1Clna解法二:設(shè)xasht那么其中C1Clna提示:achtdxachtdt【例21】求(a>0)解:當(dāng)x>a時(shí)設(shè)xasect()那么atant于是ln|secttant|C因?yàn)樗詌n|secttant|C其中C1Clna當(dāng)x<a時(shí)令xu則u>a于是其中C1C2lna綜合起來(lái)有例12,13,14所作的代換稱(chēng)為三角代換。一般地有或者或者或者

【例22】求