滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上講義

目錄

第十六章二次根式

第一節(jié)二次根式的概念和性質(zhì)

16.1(1)二次根式的概念

16.1(2)二次根式的性質(zhì)

16.2(1)最簡(jiǎn)二次根式

16.2(2)同類二次根式

階段訓(xùn)練1

第二節(jié)二次根式的運(yùn)算

16.3(1)二次根式的加法和減法

16.3(2)二次根式的乘法和除法

16.3(3)二次根式的分母有理化

16.3(4)混合運(yùn)算

階段訓(xùn)練2

本章復(fù)習(xí)題

第十七章?元二次方程

第一節(jié)一元二次方程的概念

17.1一元二次方程的概念

第二節(jié)一元二次方程的解法

17.2(1)開平方法解一元二次方程

17.2(2)因式分解法解一元二次方程

17.2(3)配方法解一元二次方程

17.2(4)公式法解一元二次方程

17.2(5)適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

階段訓(xùn)練3

17.3(1)一元二次方程根的判別式

17.3(2)一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

第三節(jié)一元二次方程的應(yīng)用

17.4(1)二次三項(xiàng)式的因式分解

17.4(2)一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

階段訓(xùn)練4

本章復(fù):習(xí)題

第18章正比例函數(shù)和反比例函數(shù)

18.1(1)變量與函數(shù)

18.1(2)函數(shù)的定義域與值域

18.2(1)正比例函數(shù)概念

18.2(2)正比例函數(shù)的圖像

18.2(3)正比例函數(shù)的性質(zhì)

階段訓(xùn)練5

18.3(1)反比例函數(shù)

18.3(2)反比例函數(shù)概念

18.3(3)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)

18.3(4)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(2)

18.4(1)函數(shù)的表示法(1)

18.4(1)函數(shù)的表示法(2)

階段訓(xùn)練6

本章復(fù)習(xí)題

第19章幾何證明

19.1(1)演繹證明

19.1(2)命題、公理、定理

19.2(1)證明舉例(證明平行)

19.2(2)證明舉例(證明線段、角相等)

階段訓(xùn)練7

19.2(3)證明舉例(證明平行、線段及角相等)

19.2(4)證明舉例(證明垂直)

19.2(5)證明舉例(證明添輔助線1)

19.2(6)證明舉例(證明添輔助線2)

19.2(7)證明舉例(文字題的證明)

階段訓(xùn)練8

19.3逆命題和逆定理

19.4線段的垂直平分線

19.5(1)角平分線(角平分線定理及逆定理)

19.5(2)角平分線(角平分線與垂直平分線)

階段訓(xùn)練9

19.6(1)軌跡(定義及三個(gè)基本軌跡)

19.6(2)軌跡(交軌法作圖)

19.7直角三角形全等的判定

19.8(1)直角三角形的性質(zhì)(1)

階段訓(xùn)練10

19.8(2)直角三角形的性質(zhì)(2)

19.8(3)直角三角形的性質(zhì)(3)

19.9(1)勾股定理(勾股定理的證明)

19.9(2)勾股定理(勾股定理的應(yīng)用)

階段訓(xùn)練11

19.9(3)勾股定理(勾股定理的逆定理及其證明)

19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其逆定理的應(yīng)用)

19.10兩點(diǎn)的距離公式

階段訓(xùn)練12

本章復(fù)習(xí)題

第十六章二次根式

二次根式的概念和性質(zhì)

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念

【要點(diǎn)歸納】

1、理解二次根式的概念并能判斷一個(gè)代數(shù)式是不是二次根式.

2、求二次根式中字母的取值范圍.

3、運(yùn)用二次根式的重要性質(zhì)(6)2=。和=|a|進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

【疑難分析】

例1x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)y/x-4+y/s^x(2)(3)

V2-x

分析二次根式夜有意義的條件是a20,(1)中兩個(gè)二次根式的被開方式都為非負(fù)時(shí),

字母x取公共部分；(2)注意分式的分母不為零及二次根式被開方式非負(fù)的綜合運(yùn)用；(3)

奇次根式的被開方式的字母取值是任意實(shí)數(shù)。

解(1)由x-420得x?4,由8—x20得xW8.

所以，當(dāng)4WxW8時(shí)，J=Z+J寸有意義.

f+1

(2)由-----20得2—x>0,解得x<2.

2-x

所以，當(dāng)xv2時(shí)，J三擔(dān)有意義.

V2-x

(3)由31—一2wo得xW±l且x20.

2-yJ~x

所以，當(dāng)x20且x#l時(shí)，\、有意義.

說明求解這一類問題的方法是由二次根式中被開方式大于或等于零列出不等式，同時(shí)

要考慮代數(shù)式成立的條件，要形成看到偶次根式，立即作出被開方式非負(fù)，看到分式立即作

出分母非零的反應(yīng)。

例2化簡(jiǎn)：(7^)2+J〃2-2.+〃2

分析要考慮二次根式有意義的條件，發(fā)掘題目中隱含的條件

解由y/b-a有意義可得b^a

所以，原式=b-a+1a-b|=b-a+b-a=2b-2a

說明掌握這個(gè)性質(zhì)，寫成絕對(duì)值這一步作為必要步驟，不要省略跳步，以免出差錯(cuò)。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.若G7是二次根式，則a

2.若任詬=b-l,則b1；若(JT工)2=b—l,則b1.

3.已知y=yj2-x+Jx-2+5,則y:x的值為.

4.已知實(shí)數(shù)a滿足&?一2020+|2019|=〃,則a—2019?=,

5.下列各式中對(duì)任意實(shí)數(shù)a總能成立的是)

A.|a-11=a-1B.\[ay[a=a

C."白D.7(l-6t)2=7(?-l)2.

6.已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且而T+|〃一1|+厄可=0,則am+bM+cS的結(jié)果

為()

A.10B.8C.6D.4.

7.在代數(shù)式次，K，質(zhì).療，J(-6)2,J2a-1,V7+2,Q^(XWO),

J(x+3)2,-]中,是二次根式的個(gè)數(shù)有()

A.4B.5C.6D.7.

8.x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：

(1)，2—3x；(2)A/---------；(3)------；(4)>/x+4+\Jx-3；

V3A-6x-3

(6)Jx,；(7)\)6-xT---2廠；(8).

Vx-22-我瘧7

9.已知Jx-2y+5+y]2x+y-i=0,求x、y的值.

10.x、y都是實(shí)數(shù)，且丁＜工口+/弓+』，化簡(jiǎn)Jl-2y+￡

2y-l

【拓展訓(xùn)練】

ii.解方程：?Ja_2）2_ii=x.

12.已知：y=J1-2x+f+-4x+4+"V+dx+l,

試求使y的值恒等于常數(shù)的x的取值范圍.

13.已知4\/x?1+6y]y-2-10=x+y.

求（2元.y）20”的值.

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

【要點(diǎn)歸納】

4、理解二次根式的性質(zhì)疝=6?揚(yáng)(a^O,b^O)并進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).

5、理解二次根式的性質(zhì)(a>0,b>0)并進(jìn)行二次板式的化簡(jiǎn).

【疑難分析】

例1計(jì)算:

/6414475I-------------------

⑴吠x旃(2)J(-4)x而x(-196)(3)V202-162

分析利用而=??新：a20,b20)進(jìn)行計(jì)算。

(2)J(—4)x得x(T96)=,4x得xl96="x嘏xVi^=2x；xl4=35.

(3)?一?=J(20+16)(20-16)=>/36><4=屈><4=6x2=12.

說明計(jì)算時(shí)，首先注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次被開方式若是加減形式，則應(yīng)先分解

因式化成積的形式才可以運(yùn)用二次根式的性質(zhì)。

例2化簡(jiǎn)：(1)yla2(a-b)2(a<b<0)(2)

2r2

解(1)yja(a-bf=yfa-y](a-b)^a\-\a-h\

因?yàn)?，a<0,a<b即a-b〈O,所以，原式二-a(b-a)=a?-ab

目一后?后.536

V9x431/1

因?yàn)?，x2>0,y20，所以，原式=—^T\[y

3x~

說明在根式的化簡(jiǎn)中，要根據(jù)字母的取值情況進(jìn)行判斷。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.當(dāng)x=3時(shí)，2x—“-4x+d的值是.

2.已知b>a>0,

)2

3.等式J亙成立的條件是________________________.

U-2

4.已知a、b、C在數(shù)軸上的位置如圖所示.ba~6

化簡(jiǎn)+J(c-a)2—y](a+b)2+J(Z?+c)2=

5.如果y]m(m-3)=4m?-3,那么()

A.m》0B.m23C.0WmW3D.m為一切正實(shí)數(shù).

6.若6+24則x的取值范圍是()

A.x<0B.x2-2C.-2Wx/0D.-2<x<0.

7.使J麗是正整數(shù)的最小正整數(shù)x的值是()

A.1；B.108；C.3；D.12.

8.對(duì)于任何實(shí)數(shù)a、b,下式中正確的是()

A.\[ab=y/a-\[b；B.=a2；

C.y/a2+br=a+b；

9.計(jì)算：

(1)70.04x81；(2)j32x(-3)xl5x(-4)；⑶V3.72-1.22.

10.化簡(jiǎn)下列各式:

(1)412612b3(a>0)(2)y]—ax3(a>0)(3)xyj",(x>0,y<0)

VI00y2

15m2n

(4)^/x4y+x2y3-2x3y2(x<0<y)(m20).

1.25x0.03

11.用長(zhǎng)3cm,寬2.5cm的郵票30枚擺成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？

【拓展訓(xùn)練】

12.已知x=0.44,求二次根式的值

13.已知a+b=-4,ab=l,求。的值.

16.2最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式

第1課時(shí)最簡(jiǎn)二次根式

【要點(diǎn)歸納】

6、理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，特別是最簡(jiǎn)二次根式必須滿足的兩個(gè)條件.

7、將非最簡(jiǎn)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.

【疑難分析】

例1下列根式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？

727^,；扃,舊,-2+從,723，^2xy

分析最簡(jiǎn)二次根式的前提條件是二次根式，滿足的兩個(gè)條件可簡(jiǎn)單地記為：被開方數(shù)

不含分母；被開方數(shù)中因式的指數(shù)小于根指數(shù).

解最簡(jiǎn)二次根式有：二瓜,耳+6,723.

2

說明da2+從中雖然a與b的指數(shù)都是2,但它們都不是被開方數(shù)的指數(shù)，

所以J儲(chǔ)+方是最簡(jiǎn)二次根式

例2化簡(jiǎn)下列各式為最簡(jiǎn)二次根式：

(1)V4l2—402；(2)；(3)不6-^；

(4)占算(n<0)；(5)(4x>9y>0).

分析把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的一般做法是:把被開方數(shù)分解素因數(shù)或分解

因式；把根號(hào)內(nèi)可以開出的因式(或因數(shù))移到根號(hào)外面；化去根號(hào)內(nèi)的分母.

解⑴V412-402=7(41+40)(41-40)=^=9.

(2)=GX2xdy4?y=7”而

Iyfbm

2

因?yàn)?5m.2.0且/>o得m20,又因?yàn)閚vO,所以，原式=一陋?dú)v

22

（5）,6/+36—2）；_設(shè)2（4.+9田（4工一處）

''4x-9yy（4）-9y）（4x-9y）

G1r

因?yàn)?x>9y>0,即4x-9y>0,所以，原式=——JW-Sl/

4x-9y

說明被開方數(shù)為單項(xiàng)式、多項(xiàng)式（能分解成幾個(gè)因式的積的形式）和分式時(shí)，抓住求

最簡(jiǎn)二次根式的步驟，注意因式正負(fù)的判定。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.當(dāng)正整數(shù)叫時(shí)，而下是最簡(jiǎn)二次根式.

2.已知bvO,將噲化為最簡(jiǎn)二次根式得.

3.要使Jd+3）=一二"行,那么x的取值范圍是.

4.當(dāng)x=3時(shí)，二次根式加"2>+54+7的值為則01=.

5.對(duì)于二次根式+9,以下說法不正確的是（）

A.它是一個(gè)無理數(shù)B.它是一個(gè)正實(shí)數(shù)

C.它是一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式D.它的最小值是3.

6.在根式Jsx5,，Jlly?\/16x2—9,Jl2a,,^x3—x2中最簡(jiǎn)二次根

式的個(gè)數(shù)是()

A.5B.4C.3D.2.

7.當(dāng)a>0時(shí)，化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是()

A.a\[axB.ayl-axC.-ay/axD.-ayl-ax.

8.把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式:

⑴725而；(2)J1-；(3)>/(-8)2-4x(-4)；(4)1(3-)2+

(8)+"2)2一("2一"2)2(mn<Q).

【拓展訓(xùn)練】

L11

9.化.問Jl-I--Z-H--------

Vn1(〃+1)2

10.一般地，我們把形如+指的二次根式稱為復(fù)合二次根式,下面介紹此類根式的一

些化簡(jiǎn)的方法。若x+y=a,xy=b,則Ja+2“=?+6.如:〃+2\/5=6+1.

例：化簡(jiǎn)也7-10人

解：原式身27-2病=后-&二5-V2

請(qǐng)模仿上例化簡(jiǎn)以下各式：

(1)J18+8夜;(2)J17-12夜;(3)也+6.

第2課時(shí)同類二次根式

【要點(diǎn)歸納】

1、同類二次根式的概念：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那

么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

2、合并同類二次根式時(shí)，只要把各根式的系數(shù)相加減，根式部分保持不變.

【疑難分析】

例1下列根式中，哪些是同類二次根式？

附需，3加停

分析二次根式一定要化成最簡(jiǎn)二次根式后才能判定是否是同類二次根式，同類二次根

式要求化成的最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)完全相同，而根號(hào)外的因數(shù)可以不同.

解y/75=y/25x3=5y/3—-V18=-79^2=-3>/2；

2V272V33X318

)=3=旦匹=用=上百

2y/32x3673b2丫36.33\b\

同類二次根式有：屈,

說明關(guān)于同類二次根式判別的最后結(jié)論應(yīng)該是原來的二次根式,而不是它們相應(yīng)的最

簡(jiǎn)二次根式.

例2最簡(jiǎn)二次根式"力2〃+3b與，3〃-6+7是同類二次根式,求a、b的值.

分析由于這兩個(gè)根式已經(jīng)是最簡(jiǎn)二次根式，說明根指數(shù)為都是2,且是同類二次根式,

則被開方數(shù)相同，即得關(guān)于a、b的方程組。

2{1

解由題意得解得答：a的值是1,b的值是2.

2a+3h=3a-h+l^=2

例3合并下列各式中的同類二次根式.

(1)3師一

分析合并之前先將各因式億成最簡(jiǎn)二次根式，是同類二次根式的將系數(shù)相加減.

解⑴原式:3而歸一m+3忌^

=6>/io-->/io+—Vio=—Vio；

51010

說明當(dāng)合并同類二次根式的結(jié)果中的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，一定要用假分?jǐn)?shù)表示.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1判斷題（下列根式若是同類二次根式,請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填入“J”，如果不是，填入"X”）：

(1)6和2\[ab.

向和向.

而和RY

（5）和反

2.與J說是同類二次根式的是

3.下列二次根式中是同類二次根式組的是）

A.而石和2廊；B.75商和一2>/^；

C.Ja2-b2和”“十〃D.?“?一c和4a%怛.

2aVac

4.下列說法正確的是（）

A.同類二次根式一定是最簡(jiǎn)二次根式；

B.被開方數(shù)不同的二次根式一定不是同類二次根式

C.任何兩個(gè)二次根式都可以化成同類二次根式；

D.兩個(gè)二次根式若不是同類二次根式就不能合并.

5.x取4,8,12,16中的時(shí)，4與a是同類二次根式;

6.當(dāng)@=時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式一213。一7與3正2〃一3是同類二次根式;

7.三角形的三邊長(zhǎng)分別為回厘米，如厘米，用厘米，那么它的周長(zhǎng)為

8.如果最簡(jiǎn)二次根式和J17二2^是同類二次根式，那么使有意義的x

的取值范圍是；

9.最簡(jiǎn)根式33“才2a+，一5與二Ya-3b+9是同類根式,那么合并這兩個(gè)根式的結(jié)果

為.

10.合并下列同類二次根式：

(2)6^/0J5+718-712-3仁正；

(3)2crJ3ab2274+4ab《；a(b20)；(4)6y[xy-2^xy3+5y/x^y(xWO)

【拓展訓(xùn)練】

11.最簡(jiǎn)二次根式J4A-3。和〃司4一2|是同類二次根式,則a、b各取何值？

12.當(dāng)x取什么最小正整數(shù)時(shí)，J2-+5與是同類二次根式?

階段訓(xùn)練1

一、填空題:

I.當(dāng)--------------時(shí)，叫有意義.

2.當(dāng)_______________________時(shí)，代數(shù)式，6-x+-----產(chǎn)有意義.

2-4

若居是二次根式,

3.則x滿足

4.化簡(jiǎn)：(1)J(2石.51=；(2)30J=

9.若實(shí)數(shù)x、y滿足）YJ4x-1+Jl-4x-1,則——J—-3'~=________

1+yVx

10.已知J43?々和血是同類二次根式,則符合條件的整數(shù)a有個(gè),

其中最大值為.

11.已知。=72-1,b=2>/2-娓,c=娓-2,用“V”聯(lián)結(jié)它們得.

12.已知0<x<1,且〃+—=7,則6-一尸的值為.

\la

13.化簡(jiǎn)：>Ja+9-J16-2a+14+3a4-\J-a2=.

a-b/a2-ab

14.若a>b>0,化簡(jiǎn):

a\a3-2a2h+ah1

15.若最簡(jiǎn)根式=y+2與3Aqi2x-5y+13是同類根式,則+y=

16.若x-5y-4Jxy=0,貝U土二

y

二、選擇題:

17.下列各組二次根式是同類二次根式的是)

A.V72，V48B.y/9^Jy(x>0)c.D.QzyJ向@>0)

18.下列二次根式中,是最簡(jiǎn)二次根式的是)

A.yf52xB.I0D.yjx2-2xy+y2

19.若a+|a|=0>則&+I)?+?a?I?的值是)

A.2B.-2aC.2或-2/7D.

20.若J/+4/=一2+4,則x的取值范圍是（)

A.x<0B.x>-4C.-4<x<0D.-4<x<0

21.將xj-g根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi),

則得到結(jié)果為（)

A.y/~XB.—XC.,yjxD.y/~X

22.如果a、b都是有理數(shù)，月.〃+揚(yáng)?=（3-2后）2,則（）

A.tz=11,b=—6B.iz=17,b=—6

C.q=ll,b=-\2D,。=17,b=-n

23.如果」一J。-2ab+b?=-1,貝ija和b的關(guān)系是（

)

a-b

A.a<bB.a￡bC.a>bD.a3b

24.代數(shù)式五+，二1+的最小值是)

A.0B.1C.1+y/2D.不存在

三、簡(jiǎn)答題:

X2-25

25.已知y=求/+）,2的值。

5x—4

26.已知Ovxvl,化簡(jiǎn)J"—!）?+4-J（舊）2

'5x

27.化簡(jiǎn)求值:+12+—+——,其中x=125.

x5

28.已知x+y=-5,xy=2,求yy的值.

29.已知a+1一2>/a-l-4，b-2=3&-3-，c-5,

求a+b+c的值.

2

30.已知：y=>/l-2x+x2+y/x2-4x+4++

4x+E

試求使y的值恒等于常數(shù)的x的取值范圍.

第二節(jié)二次根式的運(yùn)算

16.3二次根式的運(yùn)算

第一課時(shí)二次根式的加法和減法

【要點(diǎn)歸納】

3、掌握二次根式加減法的運(yùn)算過程，將二次根式的加減法歸結(jié)為合并同類二次根式.

4、解常數(shù)項(xiàng)含二次根式的一次方程和不等式.

【疑難分析】

例1計(jì)算：

(1)(V108-745)-(7125(2)4嗜+2后—一廊^(b<0)

分析計(jì)算二次根式加減法，必須先把每個(gè)根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同

類二次根式，去括號(hào)時(shí)注意符號(hào)變化。

解(1)原式=,9x4x3-、炳-125乂5+/生

"3x3

=6>/3-3V5-55/5+->/3=—>/3-8A/5

33

(2)已知b<0,可得a<0

所以，原式-+=

說明二次根式加減運(yùn)算中有括號(hào)一般先去括號(hào);二次根式前的因數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)的用假

分?jǐn)?shù)表示；二次根式前的字母因式應(yīng)整理、合并。

例2解不等式或方程：

(1)解方程：>/48+5x=y/0A2+6y/3-6x；

(2)解不等式：X-V27<3x->/0?75.

分析按照解一元一次方程和解一元一次不等式的方法去求解。

解(1)45/3+5x---F6>/3—6x(2)x—3x<3>/3—>/3

52

1我=1石-2x<->/3

52

x=2x>-^

54

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.tl算：屈一而=,+-y[4^=

a

2.當(dāng)a=3時(shí)，代數(shù)式9G+7屆一5J1而的值為.

3.求出括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的，使等式成立：

)-2732-(4^1-718)=-3>/2,

⑴(

4.若等腰三角形兩條邊長(zhǎng)分別為6a和瘋，則它的周長(zhǎng)為

5.已知b<0,化簡(jiǎn):+2-

6.下列計(jì)算正確的是)

A.3+夜=30B.+3y/3a=3\f5a

C.m\[a-n4a=m-ny[aD.^75^+7125^=9>/5a.

7.在下列各組二次根式中，不可以合并的是()

A.屈與則B.1我與LJLC.J1I與如D.后與扃.

35V2

8.計(jì)算:

(1)-(Vio8-1)-(2V0.125->/20)

3

-&2島-(R+病7\[a+5\[a^x-4、叵-6^

(3)(x/24(4)(b<0)

(5)2n靠磊卮+備Vn？n(m<0)

9.化簡(jiǎn)求值：

(1)ayll2ab?-(，3/+b\j3abi)+5ad8a2b(其中a=3,b=2)

,、_1A11ni-nm+9n-6\[mnm4m+n4n,,

(2)已知m=一，n=-,求---=+—=——%-------1—的值.

28yJm-\lny/m-3Ynm-yJmn-\-n

10.解下列方程(組)或不等式：

(1)解不等式：3x-字<6.V+A(2)解方程組：?"一,’=胃

x+3y=>/96

【拓展訓(xùn)練】

H.解不等式：Jii—扃了》應(yīng)

第2課時(shí)二次根式的乘法和除法

【要點(diǎn)歸納】

5、掌握二次根式乘除運(yùn)算的法則，正確表達(dá)運(yùn)算的過程.

6、二次根式的積、商都要化成最簡(jiǎn)根式.

【疑難分析】

例1計(jì)算：

（1）屈得后（2）-后^君T舊（a+b>o）

分析二次根式的乘除運(yùn)算，只要系數(shù)與系數(shù)相乘除，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘除，約

簡(jiǎn)后再化成最簡(jiǎn)二次根式。

解（1）原式二

324

kaz1a。+力、a-b1

(2)原式=(----------)

aba(a-\-b)(a-b)a+ba

二次根式乘除運(yùn)算時(shí)，上當(dāng)時(shí),

說明

aNa-b

例2已知等腰三角形的周長(zhǎng)是2屈+0,面積為生，且其中一邊的長(zhǎng)為加，

2

求該等腰三角形底邊上的高。

分析等腰三角形的周長(zhǎng)及一邊已知，求另一邊時(shí)有兩種可能，即加為腰或底，又

已知三角形面積，可求底邊上的高。

解若布為腰，則底為2jI6+3-2ji6（即正）,此三角形符合題意

則底邊上的高為巫'2+0=典

22

若而為底'則腰為亞盧叵（即誓也），此三角形符合題意

則底邊上的高為乎34半

答:底邊上的高為粵或監(jiān)

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

I.計(jì)算：>/3x>/6=

2.(百-2嚴(yán)。.(2+6嚴(yán)=.

3.若三角形一邊是屈c(diǎn)m,這邊上的高是而cm,則這個(gè)三角形的面積為.

4.若x>0,y>0,則化簡(jiǎn)x、得

5.設(shè)a,b為有理數(shù)，且2>。=6+],則a=___________,b=

3-ay/3

6.下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是

①4626=86②4"4亞=46

③巴厄=囪一衣=1：④嗜=3a一1.

A.1B.2C.3D.4.

(7)(V18+>/48)X(V2-V12)-(V3-5/2)2

8.解下列方程或不等式:

(1)解方程：V15x=?(-病)(2)解不等式：&>3&-壟

【拓展訓(xùn)練】

9.已知9+J正與9一相的小數(shù)部分分別是a和b,求ab-3a+4b+8的值.

10.求比(遍+石產(chǎn)大的最小整數(shù)

第3課時(shí)分母有理化

【要點(diǎn)歸納】

7、明確分母有理化的含義.

8、利用分母有理化進(jìn)行除式為一個(gè)根式的除法運(yùn)算.

【疑難分析】

例1將下列各題分母有理化

分析常用的有理化因式有(1)疝花與J幣(JR與而工);

(2)?+框與?-赤;(3)a\[B+c曰與a&-ce。

心33-V373

712-2^?3"T：

色)21+34=(2X+377)2=4%2+12x77+9-

2x-3yfy(2x-3y/y)?(2x+3yfy)4x2-9y

笆唱一空奔=(2〃-力而

42a+byjla+b\l2a+b

12_12(&+石+病12(夜-肉石).卡

夜+6-6一(尤+后-6(五+6+石)-2而布

=26+3員聞

說明找有理化因式主要利用了(&)2=〃和平方差公式。

例2解下列各題：

(1)計(jì)算：指+(6+&)；(2)解不等式：2(x+l)->/2<>/6(x-l)

解(1)+(6+72)(2)2x4-2-^2<y/bx-\f6

=一^=&(6-揚(yáng)(2-V6)x<V2-V6-2

G+五一3-2

4舟10-5&

=372-273

說明除法沒有分配律，當(dāng)除式是一個(gè)根式時(shí)，常常用分母有理化進(jìn)行除法運(yùn)算；解不

等式時(shí)，特別注意變號(hào)的情況。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.把下列各式的有理化因式填在括號(hào)內(nèi)（每式只需寫出一個(gè)有理化因式）.

(1)4a((2)歷()；(3){3a-4b()；

(4)6-7()；(5)my/a-1isfb()；

(6)2。++1()；(7)1+V2+V3+V6()

2.把下列各式分母有理化.

2

(1)

而1-V2J2”3

Jx-\-Vx+1

(4)⑹Xy/y-yy/x

3+Vxg+日

xyfx+yy/y百十石8+2岳一回-布

(7)

&6'3一口_回+岳'加+6-叵

3.比較大?。?V3-V103夜-4.

4.己知工=石—6，＞=逐+6,則（2—1）（工一1）的值為.

xy

V2+V3V3-V2

已知x=則X2+y2的值為.

V2-V3

6.不等式的解集為.

7.設(shè)3省+3的整數(shù)部分為〃,小數(shù)部分為b,則的值為()

V3+1

13+2月B.ll+2x/3C.11—2y/313-2>/3.

8.下列說法正確的是)

A.收+（&+遙）=1+里=紅叵；B.25-3后的有理化因式一定為25+36

V63

C.ay/x-by[y與。五+久方互為有理化因式；D.\la-b的有理化因式可以是Ja+b.

9.M=y/a+\-y/a,N=4a-yJa-\,其中a>l,則

A.M=N；B.M>N；M<N；D.M、N的大小由a決定.

10.計(jì)算下列各題:

112

(1)---------------1---------------------------⑵.二――二

百+0V2-1百+1'x-+x?X+A/I+X2

1

(3)----尸H7=---產(chǎn)+...+

2+V23V2+2V3100x/99+997100

【拓展訓(xùn)練】

4n+\-4n

11*設(shè)x__,y=訝!+“(n為正整數(shù))，如果2/+214盯+2^=2010

\Jn+\+y/n5/〃+1-yjn

成立，求n的值.

第4課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算

【要點(diǎn)歸納】

9、掌握二次根式的加減乘除混合運(yùn)算.

10、在二次根式運(yùn)算中，實(shí)數(shù)運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序的規(guī)定都適用.

【疑難分析】

例1計(jì)算下列各題:

5/64-5/3

(1)(x/2+273->/6)2(V2-2A/3+V6)2

1-b-\[abbba+b

W"+不詬卜ET礪小礪

分析利用/02=（ab）2計(jì)算，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便；對(duì)各式熟練地進(jìn)行變形，能約分

的先約分，使運(yùn)算簡(jiǎn)便

解（1）原式=[（啦）2一（26-逐）2]2=（2-12+12亞-6）2+3+2&

=288+256-3840+3+272=547-382無

s、盾2^/^a+ba+Z?a-b\[abyja-yfb

⑵原式"不為‘二7'礪=不"福.石TF-

說明二次根式的混合運(yùn)算首先要注意運(yùn)算順序：先乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)

里的。其次要把各根式都化成最簡(jiǎn)二次根式。

例3已知9十而與9-的小數(shù)部分分別是a和b,求ab-3a+4b+8的值.

分析一個(gè)代數(shù)式的小數(shù)部分等于該式減去該式的整數(shù)部分

解9+的小數(shù)部分。=9+至—12=舊一3,

9一歷的小數(shù)部分6=9-耳一5二4-屈，

ab-3a+4b+8=(^+4)0-3)+20=(7134-1)(1-713)+20=1-134-20=8

例4已知x=2-百，)，=2+6，化簡(jiǎn)并求值：產(chǎn)^^3，+1)二一尸

x/x+Jy\lx7yyJx

421百T(4x+y[y)(4x-Jy)+ly/xx+y/xy

解原式"-------七=—產(chǎn)二----------------=—

yJx-Jyx-y+\x-y

…日，=2+?時(shí)，原以注

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.計(jì)算：(V7-2^)(2^+>/7)；(7>/2-1)(^+2)=

5/7+5/53夜-

2.化簡(jiǎn)：----產(chǎn)；

2-V5^?5'3>/2+2A/3

3.若,則儲(chǔ)一皿+/的值為

肉2V3-2

4.2—6的絕對(duì)值是,倒數(shù)是.

5.若Jlr-1=21，則x=；不等式后一6<3&的解集為.

6.Z\ABC的一條邊長(zhǎng)為b,這條邊上的高為JE,5必此=半。，則5=.

7.計(jì)算：(6+1嚴(yán)”-2(6+1嚴(yán)++.

3x-7^+y

8.已知x-Z>/^+ynO(x>0,y>0),則的值為

5x+3y{xy-4y

9.己知〃=—!■尸，那么比4―囪；2"+1的值等于____________________.

2+V3。+1a--a

—1A.\/3—^2>/3+>/2MIZ.yx

10.已知X=-產(chǎn)-產(chǎn),V=-尸尸，那么一yHy

V3+V2V3-V2x2y1

11.若6=-——,則a與b的關(guān)系是

a=l-①,)

V2+1

A.a>b互為相反數(shù)；B.a、b相等；C.a、b互為倒數(shù)；D.a>b互為有理化因式

12.計(jì)算:

(1)2>/().5—(—>/8-,X/T2)；(2)—-j-(2>/8x—J54)；(3)(5/5—I)?H—產(chǎn)—；

233V5-1

V12-(A/3+1)2

【拓展訓(xùn)練】

\[a+y/by/a—y/b什」

13.[---------------------+谷廣廣尸J-其中a=l,b=2

\lab('b7a)\lab

\Ji+X

14.1+Vl-x2+(

/忌:/FT，其中

Vl+x-Vl-

15.已知:

階段訓(xùn)練2

二、填空題:

I.不等式x＜瓜+4的解集是

2.計(jì)算：（1）一誠(chéng)+6；(2)—VTsx8

34

V2a-2y[ab+b

3.分母有理化：（1）