2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)質(zhì)量評(píng)估

第一章質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.滿足條件M∪{1}={1,2,3}的集合M的個(gè)數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.4答案:B2.已知集合A={1,1,2,4},B={x||x1|≤1},則A∩B= ()A.{1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{1,4}答案:B3.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},則A∩(?UB)= ()A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}答案:B4.若集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},則(?RM)∩N等于 ()A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{2,3,4}答案:B5.設(shè)x是實(shí)數(shù),則“x>0”是“|x|>0”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案:A6.命題“?x>0,都有x2x≤0”的否定是 ()A.?x0>0,使得x02xB.?x0>0,使得x02x0C.?x>0,都有x2x>0D.?x≤0,都有x2x>0答案:B7.已知集合A={0,a},B={x|1<x<2},且A?B,則a可以是 ()A.1 B.0 C.1 D.2答案:C8.已知集合A為實(shí)數(shù)集,則“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案:B二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知M={x∈R|x≥22},a=π,下列式子正確的是 ()A.a∈M B.{a}?MC.a?M D.{a}∩M=π答案:AB10.已知命題p:?x∈R,x2+1<2x;命題q:若mx2mx1≠0恒成立,則4<m<0.則 ()A.p的否定是假命題 B.q的否定是真命題C.p與q都為假命題 D.p與q都為真命題答案:BC11.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,下列命題中為真命題的是 ()A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要條件B.“a>b”是“a2>b2”的充分條件C.“a<5”是“a<3”的必要條件D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件答案:CD12.某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14,10,8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)可能是 ()A.5 B.6 C.7 D.8答案:AB三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.設(shè)集合A={1,2,3,4},B={0,1,2,4,5},全集U=A∪B,則集合?U(A∩B)中的元素共有3個(gè).14.如圖,I是全集,M,P,S是I的子集,陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS).

15.若“函數(shù)y=x22x+a3的圖象與y軸正半軸相交”是“a>m”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>3.16.已知命題p:?m∈R,m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1≠0恒成立.若p與q不同時(shí)為真命題,則m的取值范圍是{m|m≤2或m>1}.四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知全集U為R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<3或x>1}.求:(1)A∩B;(2)(?UA)∩(?UB);(3)?U(A∪B).解:?UA={x|x≤0或x>2},?UB={x|3≤x≤1},A∪B={x|x<3或x>0}.(1)A∩B={x|1<x≤2}.(2)(?UA)∩(?UB)={x|3≤x≤0}.(3)?U(A∪B)={x|3≤x≤0}.18.(12分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.(1)能被6整除的數(shù)一定是偶數(shù);(2)至少有一個(gè)整數(shù),它既能被11整除,又能被9整除;(3)矩形的對(duì)角線相等;(4)?x0∈Z,x02=解:(1)本題隱含了全稱量詞“所有的”,可表述為“所有的能被6整除的數(shù)都為偶數(shù)”,是全稱量詞命題,且為真命題.(2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”,因此是存在量詞命題,且為真命題.(3)本題隱含了全稱量詞“所有的”,可表述為“所有的矩形的對(duì)角線都相等”,是全稱量詞命題,且為真命題.(4)命題中含有存在量詞“?”,是存在量詞命題,且為假命題.19.(12分)已知集合A={x|x<1或x≥1},B={x|2a<x≤a+1,a<1},B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)閍<1,所以2a<a+1,所以B≠?.畫數(shù)軸如圖所示.由B?A知,a+1<1或2a≥1,即a<2或a≥12由已知a<1,所以a<2或12≤a<即所求a的取值范圍是(∞,2)∪1220.(12分)已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x25x+q=0},若(?UA)∩B={2},(?UB)∩A={4},求A∪B.解:因?yàn)??UA)∩B={2},所以2∈B,且2?A.因?yàn)锳∩(?UB)={4},所以4∈A,且4?B.分別代入得42+4p+12=0,225×2+q=0,所以p=7,q=6,所以A={3,4},B={2,3},所以A∪B={2,3,4}.21.(12分)已知集合A={x|ax23x+1=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范圍;(2)若A中至多有一個(gè)元素,求a的取值范圍.解:(1)若A是空集,則方程ax23x+1=0無實(shí)數(shù)根.當(dāng)a=0時(shí),x=13當(dāng)a≠0時(shí),Δ=94a<0,解得a>94因此若A是空集,則a的取值范圍是94(2)若A中至多有一個(gè)元素,則A=?或A中只有一個(gè)元素.當(dāng)A=?時(shí),由(1)知a∈94當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí),可得a=0或a≠0,Δ=9綜上所述,若A中至多有一個(gè)元素,則a的取值范圍是aa22.(12分)設(shè)a,b,c為△ABC中與∠A,∠B,∠C分別對(duì)應(yīng)的三邊,求證:關(guān)于x的方程x2+2ax+b2=0與x2+2cxb2=0有公共根的充要條件是∠A=90°.證明:充分性:因?yàn)椤螦=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2c2=0,即(x+a+c)(x+ac)=0,所以該方程有兩根x1=(a+c),x2=(ac),同理另一方程x2+2cxb2=0也可化為x2+2cx(a2c2)=0,即(x+c+a)(x+ca)=0,所以該方程有兩根x3=(a+c),x4=(ca).可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,所以方