湖北省新八校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025湖北省“新八?！备叨昙?2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知空間向量，，若與垂直，則等于(

)A. B. C.3 D.2.橢圓的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為

A. B. C.2 D.43.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是(

)A.至少有1名女生與全是女生 B.至少有1名女生與全是男生

C.恰有1名女生與恰有2名女生 D.至少有1名女生與至多有1名男生4.已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為80，21，若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個數(shù)據(jù)80，數(shù)據(jù)，，，80的平均數(shù)和方差分別為，，則(

)A. B. C. D.5.在直三棱柱中，，，E為的中點，則與AE所成角的余弦值是(

)A. B. C. D.6.過點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且M恰為線段AB的中點，則直線l的斜率為(

)A. B. C. D.7.已知圓，圓，M，N分別是圓，上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值為(

)A. B. C. D.8.在空間直角坐標系中，已知向量，點，點若直線l經(jīng)過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，則直線l的方程為若平面經(jīng)過點，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意一點，則平面的方程為利用以上信息解決下面的問題：已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.甲、乙兩名同學(xué)進行投籃比賽，甲每次命中概率為，乙每次命中概率為，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則(

)A.兩人都命中的概率為 B.恰好有一人命中的概率為

C.兩人都沒有命中的概率為 D.至少有一人命中的概率為10.設(shè)動直線與圓交于A，B兩點，則下列說法正確的有(

)A.直線l過定點 B.當(dāng)最大時，

C.當(dāng)最小時， D.當(dāng)最小時，其余弦值為11.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為，棱數(shù)為24，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有(

)

A.平面GHMN

B.若E是棱MN的中點，則HE與平面AFG平行

C.若四邊形ABCD的邊界及其內(nèi)部有一點P，，則點P的軌跡長度為

D.若E為線段MN上的動點，則HE與平面HGF所成角的正弦值的范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間直角坐標系中，已知點，，，則點A到直線BC的距離為

.13.若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是

.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為Q，延長與雙曲線的右支相交于點P，若，則雙曲線C的離心率為

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過點，求圓C的標準方程;過點的直線l與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程.16.本小題15分求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：過點，且與雙曲線的離心率相等;兩頂點間的距離為8，漸近線方程為17.本小題15分

半程馬拉松是一項長跑比賽項目，長度為公里，為全程馬拉松距離的一半世紀50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機構(gòu)為了了解人們對“半程馬拉松”相關(guān)知識的認知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知識競賽者按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與知識競賽者的平均年齡;現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率;若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計年齡在內(nèi)的所有參與知識競賽者的年齡的平均數(shù)和方差.18.本小題17分如圖1，在直角梯形ABCD中，已知，，將沿BD翻折，使平面平面如圖2，BD的中點為求證：平面若AD的中點為G，在線段AC上是否存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為若存在，求出點H的位置;若不存在，請說明理由.19.本小題17分有一個半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點F到紙片圓心E的距離為，將紙片折疊，使圓周上某一點M與點F重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當(dāng)M取遍圓上所有點時，所有折痕與ME的交點P形成的軌跡記為曲線C，以點F，E所在的直線為x軸，線段EF的中點O為原點，建立平面直角坐標系.求曲線C的方程;若直線與曲線C交于A，B兩點.ⅰ當(dāng)k為何值時，為定值，并求出該定值;ⅱ過A，B兩點分別作曲線C的切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時，若其交點Q在直線上，探究：此時直線l是否過定點?若過，求出該定點;若不過，請說明理由.

答案和解析1.【答案】C

解：因為，，

與垂直，所以，

解得，

所以，

所以|，

故選：2.【答案】D

解：橢圓的焦點在x軸上，

，，則，

又長軸長是短軸長的兩倍，

，即

故選D3.【答案】C

解：“從中任選2名同學(xué)參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.

至少有1名女生與全是女生不是互斥事件，故A錯誤;

至少有1名女生與全是男生是對立事件，故B錯誤;

恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對立事件，故C正確;

至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故D錯誤.

故選：4.【答案】D

解：由題得，所以，則新數(shù)據(jù)平均數(shù)為故A，B錯誤;

且由題意，所以，

則新數(shù)據(jù)方差為

故D正確.故選：5.【答案】B

解：以為原點，以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

，

則，，，，

所以，，所以，，

故與AE所成角的余弦值為

故選：6.【答案】D

解：顯然在橢圓內(nèi)，

當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l方程為時，，，或，，

不是線段AB的中點，所以直線l的斜率存在，

設(shè)，，則，

兩式相減并化簡得，

又，，代入得，解得，故選7.【答案】A

解：圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，如圖：

圓關(guān)于x軸的對稱圓為圓，連接，交x軸于P，交圓于M，交圓于N，此時，最小，最小值為，故選：8.【答案】A

解：平面的方程為，平面的一個法向量，

同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，

設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，

則，取，

設(shè)直線l與平面所成角為，

則，，

故選9.【答案】AB

解：設(shè)事件A為“甲中靶”，設(shè)事件B為“乙中靶”，這兩個事件相互獨立，

對于A，都中靶的概率為，故A正確；

對于B，恰好有一人中靶的概率為

，故B正確；

對于C，兩人都不中靶的概率為

，故C錯誤；

對于D，至少一人中靶，其對立事件為兩人都不中靶，

故至少一人中靶的概率為

，故D錯誤；10.【答案】ABC

解：對于選項A，動直線，可得：，由得，即直線l過定點，即選項A正確;

對于選項B，當(dāng)取得最大值時，直線l過圓心，則，得，選項B正確;

對于選項C，當(dāng)取得最小值時，直線l與和的連線垂直，經(jīng)過和的直線的斜率為1，

故直線l的斜率為，故，選項C正確：

對于選項D，當(dāng)最小時，最小，此時，直線l與和的連線垂直，則，

由余弦定理可得，即選項D錯誤;

故選：11.【答案】ACD

解：“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點都是正方體的棱的中點.

對于A選項，由圖可知平面GHMN，A選項正確；

對于B選項，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面平面DBHN，

而HE與平面DBHN相交，故HE與平面AFG不平行，B選項錯誤；

對于C選項，半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為4，

在正方體中，平面ABCD，得，故，

所以點P的軌跡是以Q為圓心，2為半徑的圓，

又點P在四邊形ABCD的邊界及其內(nèi)部，所以點P的軌跡是劣弧AB，

所以點P的軌跡長度為，故C正確；

D選項，如圖建立空間直角坐標系，

則，，，設(shè)，則，

所以，，，

設(shè)平面HGF的法向量為，HE與平面HGF所成角為，

則，取，則，

，

由，可得，故D選項正確.

故選12.【答案】

解：由題意可得，，，

則點A到直線BC的距離為

故答案為：13.【答案】

解：如圖，化簡曲線得：，表示以為圓心，1為半徑的圓的上半圓.

直線經(jīng)過定點且解率為k，半圓與直線有兩個交點，

設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為，

當(dāng)直線的解率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點，

由點到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時調(diào)足，

解之得，即，

又因為直線AB的解率，所以直線的解率k的范圍為

故答案為：

14.解：雙曲線的方程為，一條漸近線方程為，

設(shè)，可得，若，則，

由雙曲線的定義可得，在直角三角形中，，，

在中，

，即有，

即，即，

則故答案為：

15.【答案】解：設(shè)圓心的坐標為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，

因此，圓C的標準方程為

當(dāng)時，圓心C到直線l的距離為，

當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時，圓心C到直線l的距離為1，符合題意;

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，此時，直線l的方程為

綜上所述，直線l的方程為或

16.【答案】解：由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，且，

雙曲線的離心率為，

則，得，故，

所以雙曲線的方程為；由題意知，

當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，得，

所以雙曲線的方程為；

當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，得，

所以雙曲線的方程為

綜上所述，雙曲線的方程為或

17.【答案】解：設(shè)參與知識競賽者的平均年齡為，

則

由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為甲，B，C，D，

第五組應(yīng)抽取人，記為乙，F(xiàn)，

對應(yīng)的樣本空間為：，

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則，

所以

設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，

則，，，，

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，

則，

，

據(jù)此估計第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差為

18.【答案】解：證明：因為，BD的中點為O，所以，

又因為平面平面BCD，平面平面，平面ABD，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面BCD；

取DC的中點為M，連接MO，則，由圖1直角梯形可知，ABMD為正方形，

，，，，

由平面BCD，可知OD，OM，OA兩兩互相垂直，

分別以O(shè)D，OM，OA為x，y，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，

設(shè)，

，

設(shè)平面GHB的法向量為，

取，則，即平面GHB的法向量為，

由平面BCD，取平面BCD的法向量，

設(shè)平面GHB與平面BCD的夾角為，則，

解得或舍

所以，線段AC上存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為

點H位于線段