2023-2024學(xué)年廣東省深圳市校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023~2024學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一?二章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.2.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.3.已知直線l的方向向量，平面的法向量，若，則（）A. B. C.2 D.4.已知，則“直線與直線垂直”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知空間三點(diǎn)，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.7.已知直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，且平面ABC，則（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于直線，下列說法正確的有（）A.過點(diǎn) B.斜率為C.傾斜角為60° D.在軸上的截距為110.若平面，平面法向量為，則平面的一個(gè)法向量可以是（）A. B. C. D.11.已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（）A.圓的半徑為2B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最大值為D.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為12.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A. B.與所成角的余弦值為C.平面 D.與平面所成角的余弦值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為__________.14.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則__________.15.已知圓與圓只有一條公切線，則__________.16.四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則它的外接球的表面積為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為2的菱形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）寫出B，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求.18.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求直線的方程.19.已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.20.如圖，在三棱柱中，底面三角形是邊長為4的正三角形，側(cè)面是菱形，且平面平面分別是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若①三棱錐的體積為8；②與底面所成角為；③異面直線與所成的角的大小為.請(qǐng)選擇一個(gè)條件求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.21.直線，圓.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線被圓截得的弦最短時(shí)，求此時(shí)的方程；（3）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線方程.22.如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，平面平面，.（1）若與相似，三棱錐的外接球的球心恰為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；（2）求四棱錐體積最大值.

2023~2024學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一?二章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱直接求解.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A2.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】變形后得到的方向向量是，，求出答案.【詳解】變形為，故的方向向量是，，當(dāng)時(shí)，一個(gè)方向向量為，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：D3.已知直線l的方向向量，平面的法向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到與垂直，進(jìn)而得到方程，求出.【詳解】因?yàn)?，故與垂直，故，解得.故選：C4.已知，則“直線與直線垂直”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出兩直線垂直得到或1，故得到答案.【詳解】直線與直線垂直，則，解得或1，故“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件.故選：B5.已知空間三點(diǎn)，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積以及模的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出答案.【詳解】由已知可得，，所以.又，所以．故選：C.6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量求解公式得到答案.【詳解】由題意得，直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則故選：A7.已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】曲線表示圓在x軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)直線上時(shí)，，可得,所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：A8.空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，且平面ABC，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量法求出的長，再由勾股定理求解即可.【詳解】由，，，得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，又，平面ABC，所以，又，所以故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于直線，下列說法正確的有（）A.過點(diǎn) B.斜率為C.傾斜角為60° D.在軸上的截距為1【答案】BC【解析】【分析】A.當(dāng)時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.直線斜率為，所以該選項(xiàng)正確；C.直線的傾斜角為60°，所以該選項(xiàng)正確；D.當(dāng)時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，所以直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由題得，所以直線的斜率為，所以該選項(xiàng)正確；C.由于直線的斜率為，所以直線的傾斜角為60°，所以該選項(xiàng)正確；D.當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸上的截距不為1，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.若平面，平面的法向量為，則平面的一個(gè)法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面垂直則法向量數(shù)量積為零，逐一計(jì)算，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，與平面的法向量數(shù)量積為零，對(duì)A：因?yàn)?，滿足題意，故A正確；對(duì)B：因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，滿足題意，故C正確；對(duì)D：因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（）A.圓的半徑為2B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最大值為D.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出圓心和半徑，再逐一分析各選項(xiàng)并判斷作答.【詳解】依題意，圓：，則圓心，半徑，A不正確；因點(diǎn)，則，點(diǎn)在圓外，B正確；因點(diǎn)在圓外，在圓上任取點(diǎn)P，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時(shí)取“=”，C正確；在圓上任取點(diǎn)M，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，M，A共線，且M在線段CA上時(shí)取“=”，C正確.故選：BCD12.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A. B.與所成角的余弦值為C.平面 D.與平面所成角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】A.由求解判斷；B.利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解判斷；C.由是否為零判斷；D.由與AC的夾角的余弦值判斷.【詳解】A.因?yàn)椋?，，，故正確；B.因?yàn)?，所以，所以，故正確；C.因?yàn)?，所以，又，所以平面，故正確；D.由題意知：與平面上的射影為AC，則與AC的夾角即為所求，而，故錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】由直線不相交，求出值并驗(yàn)證即可.【詳解】由直線與不相交，得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則，當(dāng)時(shí)，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則直線重合，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：14.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量平行的性質(zhì)的坐標(biāo)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為因?yàn)?，所以，所以有，故答案為?5.已知圓與圓只有一條公切線，則__________.【答案】16【解析】【分析】首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可知兩圓相內(nèi)切，即可得到，從而得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A與圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，所以.故答案為：16.四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則它的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】畫出滿足題意的四面體，進(jìn)而結(jié)合四面體的外接球的直徑長度為長方體的體對(duì)角線長度進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，在棱長為2的正方體中，四面體的各個(gè)頂點(diǎn)如圖所示，可見四面體的各個(gè)頂點(diǎn)恰好在長方體的其中四個(gè)頂點(diǎn)上，所以四面體的外接球的直徑長度為長方體的體對(duì)角線長度，而長方體的體對(duì)角線長度為，所以四面體的外接球的半徑為，則四面體的外接球的表面積為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為2的菱形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）寫出B，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，寫出；（2）利用空間向量夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，且，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以，又，；【小問2詳解】.18.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出直線BC的斜率，則可求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線的方程；（2）由題意分直線與AB平行和直線通過AB的中點(diǎn)兩種情況求解.【小問1詳解】因?yàn)椋訠C邊上的高所在直線的斜率為，所以BC邊上的高所在直線的方程，即.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A,B到直線的距離相等，所以直線與AB平行或通過AB的中點(diǎn)，①當(dāng)直線與AB平行，因?yàn)?，且過點(diǎn)C，所以方程為，即.②當(dāng)直線通過AB的中點(diǎn)，所以，所以的方程為，即.綜上：直線的方程為或.19.已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求的垂直平分線方程，聯(lián)立直線的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合反射光線原理可得其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題知中點(diǎn)為，，所以垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線與垂直，且的中點(diǎn)在直線上，則，解得，由題意知反射光線過圓心，故，即.20.如圖，在三棱柱中，底面三角形是邊長為4的正三角形，側(cè)面是菱形，且平面平面分別是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若①三棱錐體積為8；②與底面所成角為；③異面直線與所成的角的大小為.請(qǐng)選擇一個(gè)條件求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而有，故而得證；（2）取中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依次得平面和平面的法向量與，再由，得解；選擇條件②：易知，從而得，接下來同①；選擇條件③：易知，從而有，接下來同②中．【小問1詳解】取中點(diǎn)連接，則，所以四邊形為平行四邊形，故又平面平面，所以平面.【小問2詳解】選①，，取中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.、選擇條件②：∵與底面所成的角為60°，∴，∴OC＝2，∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴OB⊥AC，取中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．選擇條件③：∵，∴即為異面直線與所成的角，即，∵，，∴，即，取中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．21.直線，圓.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線被圓截得的弦最