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文檔簡(jiǎn)介
搶分秘籍11幾何圖形中求線段,線段和,面積等最值問(wèn)題
(壓軸通關(guān))
目錄
【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向,總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略
【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題,講解通關(guān)策略(含新考法、新情境等)
中考預(yù)測(cè)
幾何圖形中求線段、線段和、面積最值題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都
有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>
1.從考點(diǎn)頻率看,幾何圖形中的性質(zhì)綜合問(wèn)題,是高頻考點(diǎn)、也是必考點(diǎn)。
2.從題型角度看,以解答題的最后一題或最后二題為主,分值12分左右,著實(shí)不少!
搶分通關(guān)
題型一線段最值問(wèn)題
典例精講
【例1X2024?四川成都?一模)如圖1,在四邊形48FE中,/b=90。,點(diǎn)C為線段E尸上一點(diǎn),使得ZC/8C,
AC=2BC^4,此時(shí)防=CF,連接BE,BE1AE,S.AE=BE.
圖1圖2圖3
⑴求CE的長(zhǎng)度;
⑵如圖2,點(diǎn)。為線段/C上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與A,C重合),連接50,以為斜邊向右側(cè)作等腰直角三
角形8GD.
①當(dāng)DG〃/B時(shí),試求/。的長(zhǎng)度;
②如圖3,點(diǎn)H為的中點(diǎn),連接〃G,試問(wèn)用是否存在最小值,如果存在,請(qǐng)求出最小值;如果不存在,
請(qǐng)說(shuō)明理由.
通關(guān)指導(dǎo)
本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,解直角三
角形.
【例2】(2024?天津紅橋?一模)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)0(0,0),2(2,0),川2,28)),C,。分別為04,
08的中點(diǎn).以點(diǎn)。為中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AOCD,得AOC'D',點(diǎn)C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C',DM
⑴填空:如圖①,當(dāng)點(diǎn)步落在y軸上時(shí),點(diǎn)。,的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為
⑵如圖②,當(dāng)點(diǎn)C'落在05上時(shí),求點(diǎn)步的坐標(biāo)和的長(zhǎng);
⑶若M為C'。'的中點(diǎn),求四的最大值和最小值(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).
名校模擬
1.(2024?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測(cè))已知,四邊形48co是正方形,由EF繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn)(DE<4B),ZEDF=90°,
DE=DF,連接CF.
⑴如圖1,求證:AADE*CDF;
⑵直線ZE與C尸相交于點(diǎn)G.
①如圖2,于點(diǎn)M,BN1CF于點(diǎn)、N,求證:四邊形8WGN是正方形;
②如圖3,連接8G,若48=6,DE=3,直接寫(xiě)出在力防旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,線段8G長(zhǎng)度的最小值為
2.(2024?重慶,一模)在AABC中,點(diǎn)。為線段8C上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)£為射線/C上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,BE.
點(diǎn)尸為8E中點(diǎn).
①如圖1,若BF=歷,BD=3,AD=1,求NE的長(zhǎng)度;
②如圖2,點(diǎn)G為線段外上一點(diǎn),連接GE并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.若點(diǎn)£為G”中點(diǎn),
ZB/C=60°,NDAC=2NEBC,求證:AG+DF=-AB.
2
⑵如圖3,若ZC=48=3,NBAC=60。.當(dāng)點(diǎn)£在線段/C的延長(zhǎng)線上時(shí),連接將△口?£沿DC所
在直線翻折至AABC所在平面內(nèi)得到△DCN,連接當(dāng)取得最小值時(shí),AABC內(nèi)存在點(diǎn)K,使得
AABK=ZCAK,當(dāng)KE取得最小值時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出NK?的值.
3.(2024?陜西西安?一模)問(wèn)題提出:
(1)如圖①,在AA8C中,點(diǎn)M,N分別是48,ZC的中點(diǎn),若BC=2在,則兒W的長(zhǎng)為.
問(wèn)題探究:
(2)如圖②,在正方形/BCD中,/。=6,點(diǎn)E為AD上的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),點(diǎn)下為N5上的動(dòng)點(diǎn),
將△/跖折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,求CG的最小值.
問(wèn)題解決:
(3)如圖③,某地要規(guī)劃一個(gè)五邊形藝術(shù)中心/3CDE,已知/48C=120。,ABCD=60°,AB=AE=40m,
8C=CD=80m,點(diǎn)C處為參觀入口,的中點(diǎn)尸處規(guī)劃為“優(yōu)秀"作品展臺(tái),求點(diǎn)C與點(diǎn)P之間的最小距
離.
4.(2024?陜西西安?一模)【問(wèn)題提出】
(1)如圖1,點(diǎn)。為的邊8C上一點(diǎn),連接=絲=|■,若△/血的面積為4,則ANCD
AB3
的面積為;
【問(wèn)題探究】
RF6
(2)如圖2,在矩形/BCD中,AB=6,BC=5,在射線3c和射線CO上分別取點(diǎn)E、F,使得亍=凄,
Cr5
連接/£、AF相交于點(diǎn)P,連接C尸,求C尸的最小值;
【問(wèn)題解決】
(3)如圖3,菱形是某社區(qū)的一塊空地,經(jīng)測(cè)量,48=120米,ZABC=60°.社區(qū)管委會(huì)計(jì)劃對(duì)該
空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用,在射線上取一點(diǎn)E,沿BE、CE修兩條小路,并在小路BE上取點(diǎn)”,將S段
鋪設(shè)成某種具有較高觀賞價(jià)值的休閑通道(通道寬度忽略不計(jì)),根據(jù)設(shè)計(jì)要求,2BHC=NBCE,為了節(jié)
省鋪設(shè)成本,要求休閑通道”的長(zhǎng)度盡可能小,問(wèn)S的長(zhǎng)度是否存在最小值?若存在,求出CH長(zhǎng)度的
最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型二線段和的最小值問(wèn)題
典例精講.
【例11(2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測(cè))【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,在AOAB中,08=3,若將AOAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得OA'B',連接BB',則BB'=.
【問(wèn)題探究】
(2)如圖2,已知是邊長(zhǎng)為4人的等邊三角形,以BC為邊向外作等邊△BCD,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)、,
連接4P,BP,CP,將△BPC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得△D0C,求尸N+P5+尸。的最小值;
【實(shí)際應(yīng)用】
(3)如圖3,在長(zhǎng)方形Z3CD中,邊48=10,40=20,尸是8C邊上一動(dòng)點(diǎn),。為尸內(nèi)的任意一點(diǎn),
是否存在一點(diǎn)尸和一點(diǎn)。,使得/。+。。+尸。有最小值?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P。的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)
明理由.
圖1圖2圖3
通關(guān)指導(dǎo)
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定,矩形的性質(zhì)與判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,含30
度角的直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形,從而把三條不在一條直線的線段
之和的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換成幾點(diǎn)共線求線段的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.
L_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【例2】(2024?貴州畢節(jié)?一模)在學(xué)習(xí)了《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》后,數(shù)學(xué)興趣小組用一個(gè)等邊三角形繼續(xù)進(jìn)
行探究.已知“8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.
圖1圖3
(1)【動(dòng)手操作】如圖1,若。為線段3c上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線
段NE,連接CE,則CE的長(zhǎng)為;
⑵【探究應(yīng)用】如圖2,。為“3C內(nèi)一點(diǎn),將線段ND繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段/E,連接CE,若民RE
三點(diǎn)共線,求證:EB平分/4EC;
(3)[拓展提升]如圖3,若。是線段8C上的動(dòng)點(diǎn),將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE,連接CE.請(qǐng)
求出點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,ADEC的周長(zhǎng)的最小值.
名校模擬
1.(2024?陜西?二模)在平面直角坐標(biāo)系中,/為y軸正半軸上一點(diǎn),2為x軸正半軸上一點(diǎn),且。4=OB=4,
連接.
⑴如圖1,C為線段AB上一點(diǎn),連接OC,將0c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OD,連接4D,求NC+4D
的值.
⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在x軸上,點(diǎn)。位于第二象限時(shí),NADC=90°,且ND=CD,£為A8的中點(diǎn),連接?!?
試探究線段是否存在最小值?若存在,求出4D+DE的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2.(2024?陜西西安?二模)(1)如圖1,半徑為4的。。外有一點(diǎn)尸,且PO=7,點(diǎn)A在。。上,則尸/的最
大值和最小值分別是和;
(2)如圖2,在矩形ZBCD中,48=4,/。=6,點(diǎn)P在/。上,點(diǎn)。在8c上,且4P=C0,連接CP、
QD,求PC+QD最小時(shí)4P的長(zhǎng);
(3)如圖3,在Y/BCD中,/3=10,40=20,點(diǎn)。到48的距離為loG,動(dòng)點(diǎn)、E、尸在/。邊上運(yùn)動(dòng),
始終保持跖=3,在8c邊上有一個(gè)直徑為四的半圓O,連接與半圓。交于點(diǎn)N,連接CE、FN,求
CE+EF+FN的最小值.
3.(2024?陜西西安?三模)【問(wèn)題提出】
(1)如圖①,N5為半圓。的直徑,點(diǎn)尸為半圓O的筋上一點(diǎn),8c切半圓。于點(diǎn)B,若=10,BC=12,
則CP的最小值為二
【問(wèn)題探究】
(2)如圖②,在矩形/8CD中,AB=3,BC=5,點(diǎn)尸為矩形48CD內(nèi)一點(diǎn),連接尸3、PC,若矩形/8CD
的面積是APBC面積的3倍,求尸3+尸。的最小值;
【問(wèn)題解決】
(3)如圖③,平面圖形NBCDM為某校園內(nèi)的一片空地,經(jīng)測(cè)量,AB=BC=20拒米,23=60。,
ZBAF=ZBCD=150P,DELDC,CD=20米,劣弧防所對(duì)的圓心角為90。,防所在圓的圓心在"的延
長(zhǎng)線上,AF=10米.某天活動(dòng)課上,九(1)班的同學(xué)準(zhǔn)備在這塊空地上玩游戲,每位同學(xué)在游戲開(kāi)始前,
在8C上選取一點(diǎn)P,在弧而上選取一點(diǎn)。,并在點(diǎn)尸和點(diǎn)。處各插上一面小旗,從點(diǎn)A出發(fā),先到點(diǎn)尸處
拔下小旗,再到點(diǎn)。處拔下小旗,用時(shí)最短者獲勝.已知曉雯和曉靜的跑步速度相同,要使用時(shí)最短,則
所跑的總路程(/尸+尸0)應(yīng)最短,問(wèn)/尸+P。是否存在最小值?若存在,請(qǐng)你求出/P+尸。的最小值;若不
存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
4.(2024?江西一模)如圖1,在矩形N3CD中,CD=4^BC=金,點(diǎn)E,G分別是40,48上的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
E,G分別作EF1AD,FG1AB,FG與E尸交于點(diǎn)尸,連接CF.
特例感知
(1)以下結(jié)論中正確的序號(hào)有;
①四邊形ZGFE是矩形;②矩形/3CD與四邊形月GFE位似;③以ED,CE,5G為邊圍成的三角形不是直
角三角形;
類(lèi)比發(fā)現(xiàn)
(2)如圖2,將圖1中的四邊形4GFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),連接3G,觀察CF與BG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)
系,并證明你的發(fā)現(xiàn);
拓展應(yīng)用
(3)連接CE,當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí),
①求8G的長(zhǎng)度;
②連接尸,若在內(nèi)存在一點(diǎn)尸,使CP+4P+后戶(hù)的值最小,求。尸+/尸+回尸的最小
值.
題型三面積的最小值問(wèn)題
典例精講
【例1】(新考法,拓視野)(2024?陜西西安?一模)【問(wèn)題提出】
(1)如圖1,已知在邊長(zhǎng)為5的等邊AA8C中,點(diǎn)。在邊3C上,BD=3,連接N。,貝UANCA的面積為二
【問(wèn)題探究】
(2)如圖2,已知在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)£在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上,且NEAF=45。,若EF=5,
求△4EP的面積;
【問(wèn)題解決】
(3)如圖3是某座城市廷康大道的一部分,因自來(lái)水搶修在/8=4米,米的矩形區(qū)域內(nèi)
開(kāi)挖一個(gè)△/£下的工作面,其中3、尸分別在8C、CD邊上(不與2、C、D重合),且4&4尸=60。,為了減
少對(duì)該路段的擁堵影響,要求△/所面積最小,那么是否存在一個(gè)面積最小的△/£/"?若存在,請(qǐng)求出
△/£尸面積的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
B
圖1圖3
通關(guān)指導(dǎo)
本題主要考查了圓周角定理,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解直角三角形,正方形的性質(zhì),等邊三角
形的性質(zhì)與判定,矩形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定等等,通過(guò)作出輔助線構(gòu)造直角三角形,
i全等三角形是解題的關(guān)鍵.
I_________________________________________________________________________________________________
【例2】(2024?陜西西安?二模)圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法.如圖1,正方形/BCD中,E、F
分別在邊/3、3C上,且NEO尸=45。,連接",試探究NE、CF、跖之間的數(shù)量關(guān)系.解決這個(gè)問(wèn)題可將
V4DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△CDH的位置(易得出點(diǎn)打在3c的延長(zhǎng)線上),進(jìn)一步證明9E尸與
⑴如圖1,正方形48CD中,ZEDF=45°,AE=3,CF=2,則防=;
(2)如圖2,正方形N8CD中,若NEDF=30°,過(guò)點(diǎn)石作EN〃8C交。B于W點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算4E+CF與的
比值,寫(xiě)出解答過(guò)程;
(3)如圖3,若NEDF=60°,正方形ZBCD的邊長(zhǎng)N8=8,試探究SE尸面積的最小值.
名校模擬
1.(2023?陜西西安?一模)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
(1)在“3C中,48=2,ZC=60°,則“3C面積的最大值為二
(2)如圖1,在四邊形/BCD中,AB=AD=6,ZBCD=ZBAD=90°,AC=8,求8C+CD的值.
問(wèn)題解決
(3)有一個(gè)直徑為60cm的圓形配件。。,如圖2所示.現(xiàn)需在該配件上切割出一個(gè)四邊形孔洞CU3C,要
求NO=NB=60。,OA=OC,并使切割出的四邊形孔洞。43c的面積盡可能小.試問(wèn),是否存在符合要求的
面積最小的四邊形。4BC?若存在,請(qǐng)求出四邊形CM3C面積的最小值及此時(shí)0/的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明
理由.
2.問(wèn)題提出:
(1)如圖①,已知是面積為4G的等邊三角形,是/A4c的平分線,則2B的長(zhǎng)為.
問(wèn)題探究:
(2)如圖②,在中,ZC=90°,4C=BC,48=4,點(diǎn)。為N3的中點(diǎn),點(diǎn)、E,尸分別在邊/C,
8C上,且/即/=90。.證明:DE=DF.
問(wèn)題解決:
(3)如圖③,李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個(gè)矩形花園/BCD,然后將其分割種植三種不同的花卉.按
照他的分割方案,點(diǎn)P,。分別在4。,BC上,連接尸。、PB、PC,NBPC=60。,E、尸分別在尸8、PC
上,連接0E、QF,QE=QF,Z£0F=12O。,其中四邊形尸骸下種植玫瑰,乂行和△尸CD種植郁金香,
剩下的區(qū)域種植康乃馨,根據(jù)實(shí)際需要,要求種植玫瑰的四邊形尸£。尸的面積為64Gm%為了節(jié)約成本,
矩形花園/BCD的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出矩形/BCD的最小面積,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖①圖③
3.(2024?陜西榆林?二模)(1)如圖1,AB//CD,AB=\,CD=2,AD,交于點(diǎn)E,若NO=4,則/E=_;
(2)如圖2,矩形N8C。內(nèi)接于O。,AB=2,BC=2d尸在而上運(yùn)動(dòng),求APBC的面積的最大
值;
(3)為了提高居民的生活品質(zhì),市政部門(mén)計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為120米的正方形荒地4BCD(如圖3)改造成一
個(gè)戶(hù)外休閑區(qū),計(jì)劃在邊3C上分別取點(diǎn)P,。,修建一條筆直的通道尸。,要求CQ=2AP,過(guò)點(diǎn)B
作5£,2。于點(diǎn)£,在點(diǎn)E處修建一個(gè)應(yīng)急處理中心,再修建三條筆直的道路BE,CE,DE,并計(jì)劃在
△CDE內(nèi)種植花卉,&DEP內(nèi)修建老年活動(dòng)區(qū),ABCE內(nèi)修建休息區(qū),在四邊形/建P內(nèi)修建兒童游樂(lè)園.問(wèn)
種植花卉的ACDE的面積是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1圖2
題型四面積的最大值問(wèn)題
典例精講:
【例1】(新考法,拓視野)(2024?陜西咸陽(yáng)?一模)問(wèn)題提出:
(1)如圖①,OO的半徑為4,弦48=4。,則點(diǎn)。到NB的距離是
問(wèn)題探究:
(2)如圖②,的半徑為5,點(diǎn)/、B、C都在O。上,4B=6,求面積的最大值.
問(wèn)題解決:
(3)如圖③,是一圓形景觀區(qū)示意圖,。。的直徑為60m,等邊尸的邊A8是O。的弦,頂點(diǎn)尸在。。
內(nèi),延長(zhǎng)/P交。O于點(diǎn)C,延長(zhǎng)BP交。。于點(diǎn)。,連接5.現(xiàn)準(zhǔn)備在APNB和△尸。區(qū)域內(nèi)種植花卉,
圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算,草坪的面積盡可能大,求草坪的最大面積.(提示:花卉種植面積盡可能
小,即花卉種植面積(%/B+S/CD)的最小值)
通關(guān)指導(dǎo)
此題是圓的綜合題,考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次
函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用這些知識(shí)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2024?陜西咸陽(yáng)?一模)
⑴.【問(wèn)題情境】(1)點(diǎn)/是。。外一點(diǎn),點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn).若。。的半徑為2,且。4=5,則點(diǎn)尸到
點(diǎn)A的最長(zhǎng)距離為;
⑵.【直接運(yùn)用】(2)如圖2,在RtA4BC中,ZACB=90。,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交N8于點(diǎn)
D,尸是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,求/P的最小值;
⑶.【靈活運(yùn)用】(3)如圖3,。。的直徑為8,弦/8=4百,點(diǎn)C為優(yōu)弧N3上的一動(dòng)點(diǎn),AMLAC,交
直線C2于點(diǎn)求ANBM面積的最大值.
M
圖1圖2圖3
名校模擬
1.(2024?陜西寶雞?一模)提出問(wèn)題:
圖3
6,則3c邊上的高/。的長(zhǎng)為.
問(wèn)題探究:
(2)如圖2,“3C內(nèi)接于O。,弦3C=10,半徑為6,求“3C面積的最大值;
問(wèn)題解決:
(3)如圖3,某園區(qū)內(nèi)有一塊直角三角形48c的空地,在空地邊3C的中點(diǎn)。處修建了一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng),
為了吸引更多人來(lái)園區(qū),在空地外E處修建一個(gè)大型商場(chǎng),且滿(mǎn)足游樂(lè)場(chǎng)。到商場(chǎng)£的路線與商場(chǎng)E到點(diǎn)
C處的路線垂直(即。ELCE),連接NE,在VNDE處種植綠植,其中N4BC=90。,測(cè)得48=300米,
3c=800匹米,請(qǐng)問(wèn)綠植面積能否取到最大?若能,請(qǐng)求出VNDE面積的最大值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2.(2024?廣東深圳?一模)如圖1,在等腰三角形4BC中,乙4=90。,AB=AC,點(diǎn)、D、E分別在邊48,AC
上,AD=AE,連接BE,點(diǎn)",N,P分別為DE,BE,3c的中點(diǎn).
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