高考數(shù)學專項復習：統(tǒng)計概率（解答題11種考法）（精講）（解析版）

專題04統(tǒng)計概率(解答題11種考點)

考法解讀

r①考察對象分兩類；

「特征+③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.

「超幾何模型41②已知各類對象的個數(shù)；

I列式特征一組合數(shù)列式一屬于數(shù)字型

「①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.

r特征-4-②各次試驗中的事件是相互獨立的.

(③在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.

二

項

分有放回抽取問題對應二項分布

布-與超幾何區(qū)分----不放回抽取問題對應超幾何分布

當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.

I列式特征----概率列式------概率型

統(tǒng)r直接法：直接判斷一個事件發(fā)生與否能不能影響另一事件發(fā)生的概率

計判斷相互.一定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成

概獨立的方法

相

率一轉(zhuǎn)化法：由事件A與事件B相互獨立知，

互

獨A與瓦彳與B,彳與萬也相互獨立.

立

相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算公式為

獨立事件與fP(AB)=P(A)P(B),

互斥事件區(qū)分互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為

P(AUB)=P(A)+P(B).

①P(B|A)M黑;

r條件概率公式----

條②P(B|A)P(AB)表示事件A與B積事件的概率.

件

概

率①按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件B：(i=l2…,n);

全概率

與

-求解的—②求P(Bi)和所求事件A在各個互斥事件R發(fā)生條件下的概率P(A|Bi);

全

思路

概③代入全概率公式計算

率

J全概率公式----PCB^XPC^PCBIAj).

i=l

①對稱軸X=u----利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值

正態(tài)分布②標準差。

③分布區(qū)間

回歸方程為y=，x+。.

yxy

A苫X)

r線性回歸方程----其中-------=一=-----

A-A-

統(tǒng)a=y-bx.

計

案皿-A,r根據(jù)題目提示轉(zhuǎn)化成線性回歸方程，即非一次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)

例非線性回歸方程

L根據(jù)線性回歸方程的公式求參數(shù)

獨

立基于小概率值a的檢驗規(guī)則：

性

統(tǒng)當？時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；

檢Mx,HoXya

驗

計當時，我們沒有充分證據(jù)推斷修不成立，可以認為X和丫獨立（其中心為a的性界值）

概

率①某種情況下的期望值較好；

②某種情況較穩(wěn)定；

{③某種情況優(yōu)于其他情況的概率較大.

①求通項公式：關鍵是找出概率Pn或數(shù)學期望E（Xn）的遞推關系

式，然后根據(jù)構(gòu)造法（一般構(gòu)造等比數(shù)列），求出通項公式；

數(shù)列與統(tǒng)計概率綜合②求和：主要是數(shù)列中的倒序求和、錯位求和、裂項求和；

③利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.

一是借助二次函數(shù)，分段函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性求均值和方差的最值;

統(tǒng)計概率與

函數(shù)導數(shù)綜合二是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，從而確定最優(yōu)解.但問題的本質(zhì)

<仍是以概率統(tǒng)計為主導，利用函數(shù)輔助求解.

r利用定義法判斷單調(diào)性求最值

—最值問題+利用導數(shù)法判斷單調(diào)性求最值

I利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值

典例剖析

考法六統(tǒng)計案例

考法一超幾何模型

考法七決策問題

考法二二項分布

統(tǒng)

計考法八數(shù)列與統(tǒng)計概率綜合

考法三獨立重復試驗概

率考法九統(tǒng)計概率與函數(shù)導數(shù)綜合

考法四正態(tài)分布

考法十最值問題

考法五條件概率與全概率

考法十一新概念統(tǒng)計概率

考法一超幾何模型

【例「1】(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學?？寄M預測)某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的

水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成&組,得到如圖所示的頻率分布直方

圖

頻率

A組距

o4二二

o44

一一

0I-

O26ZI8-一一

0.020

0.016

0.008

。6065707580859095100評價指標

⑴求〃的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)(精確到0.1);

(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在「°，75)和[85,90)內(nèi)的學員中隨機抽取短名，再從這12名學員中

隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在PR75)內(nèi)的學員人數(shù)為x,求X的分布列與

數(shù)學期望.

【答案】⑴4=°036,82.3

5

(2)分布列見解析；期望為§

【解析】(1)由直方圖可知+°.。16+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008)x5=

解得a=0.036.

因為(0.008+0.016+0.02+0.036)x5=0.4<0,5

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)x5=0.62>0,5

所以學員該項技能的評價指標的中位數(shù)在［8°，85）內(nèi).

設學員該項技能的評價指標的中位數(shù)為m，則（機一8°）"0-044+°-4=°-5

解得機a82.3.

（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在HQ75）內(nèi)的有4名，在

內(nèi)的有8名.

由題意可知X的所有可能取值為°，1，2,3,4.

（）黑99（）/99

=2上回―C阻=14

()&33()&99

i

P(X=4)=^^=—

')e99

則X的分布列為

X01234

73514141

9999339999

小、八735141415

￡（X）=Ox——+l1x——+o2x——+3x-----F4X——=—.

v799993399993

【例1-2】（2023?河南新鄉(xiāng),統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒

子中4個球.

（1）求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率.

（2）已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒子中取出'（'=12,3）個球進行交換，記交

換后甲盒子中的紅球個數(shù)為X,X的數(shù)學期望為4（X）.證明：&（町+冬（幻=4.

18

【答案】⑴行

⑵證明見解析

【解析】（1）由題可知，

C；C；」8

r-——

甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率35

（2）當i=l時，X的取值可能是2,3,4,

C；C；9Pg)二f1=|C；C=1

P（X=2）尸(X=4)

C^C[-I6；；

且CC16

耳(X)=2x——+3x—+4x——=—

則r,168162.

當i=3時，X的取值可能是0,1,2,

C3c32c2c3

尸(x=0)=1|1P(X=1)=第3尸(x=2)=||一2

且16816

1392

&(x)=0x—+lx-+2x—

則168162

故4(x)+&(x)=4.

【例1-3】(2023?山東泰安?校考模擬預測)某購物中心準備進行擴大規(guī)模，在制定末來發(fā)展策略時，對中

心的現(xiàn)有顧客滿意度進行了一個初步的現(xiàn)場調(diào)查，分別調(diào)查顧客對購物中心的商品質(zhì)量、服務質(zhì)量、購物

環(huán)境、廣告宣傳的滿意程度.調(diào)查時將對被抽中的每個顧客從這四個問題中隨機抽取兩個問題來提問，統(tǒng)

計顧客的滿意情況.假設，有三名顧客被抽到，且這三名顧客對這四個問題的滿意情況如下表：

商品質(zhì)量服務質(zhì)量購物環(huán)境廣告宣傳

顧客甲滿意不滿意滿意不滿意

顧客乙不滿意滿意滿意滿意

顧客丙滿意滿意滿意不滿意

每得到一個滿意加10分，最終以總得分作為制定發(fā)展策略的參考依據(jù).

(1)求購物中心得分為50分的概率；

(2)若已知購物中心得分為50分，則顧客丙投出一個不滿意的概率為多少？

⑶列出該購物中心得到滿意的個數(shù)X的分布列，并求得分。的數(shù)學期望.

2，

【答案】(工"

(2)6

⑶分布列見解析，40

【解析】(1)將得分為50分記為事件A；得分為50分即在六個問題的結(jié)果中，有五個滿意，一個不滿

思，

可能的結(jié)果共有:C；C；C；C"C；C；C；+C；C；C；=54(種)

三名顧客產(chǎn)生的反饋結(jié)果總共有：（瑪）=216（種）

尸⑷-里」1

則2164,...購物中心得分為50分的概率為4

（2）將顧客丙投出一個不滿意記為事件B,則

1

124_1

vvv1

P(AB)=233

241~6

4

（3）X可能的取值為2、3、4、5、6

?C2cle2]c2c2cl

C；C；C；1"iLz'LzqLzqi"L/7L/qL/q

p(X=2)=尸(x=3)=￡

12廣-244

c；c：c；+c；c；c；c；+c；c；c；c；+C：C；C；_5

p(X=4)=P(X=5)=；

（明12

c；c也1

p(X=6)=

24

X23456

11511

P

24412424

￡(^)=2x—+3xl+4x—+5x-+6x—=4匕

v724412424常=10X,.E⑷=10xE(X)=40

【變式】

1.（2022?廣東汕頭?二模）袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個

小球被取出的可能性都相等.

（I）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率;

（II）用X表示取出的3個小球上所標的最大數(shù)字，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

27155

【答案】(1)55(2)44

【解析】(I)“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,

_27

PQ)=

則55

(II)由題意X所有可能的取值為：1,2,3,4

P(X=1)=3=」

C：2220

+_19

P(X=2)=

220

C；.C；+C：.C；+C164_16

P{X=3)=

a22055

+136_34

P(X=4)=

22055

所以隨機變量X的分布列為

X1234

1191634

P

2202205555

EX=lx±+2x衛(wèi)+3x”+4x羽=9

隨機變量X的均值為220220555544

2.(2023云南某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為1,2,3,4,5的五批疫

苗，供全市所轄的A,B,C三個區(qū)市民接種，每個區(qū)均能從中任選一個批號的疫苗接種.

(1)求三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率;

(2)記A,B,C三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X,求X的分布列.

12

【答案】(1)25；

(2)隨機變量X的分布列為:

X12345

1331373113

P

125125125125125

??《應_12

【解析】(1)設三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同為事件A,貝IJ5325.

(2)X的所有可能取值為1,2,3,4,5,則

1+C/；_131+C；C+C；-A：311+C]C；+C>C；.A；37

尸(X=l)=尸(X=2)=尸(X=3)=

53125,53125,53125

1+C；C+C；-A；31尸(X=5)=筲&13

"?"125125.

所以隨機變量X的分布列為:

X12345

1331373113

P

125125125125125

3.(2023,福建廈門?廈門一中?？寄M預測)教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策.補齊貧困地區(qū)義務教

育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在.治貧先治

愚，扶貧先扶智.為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分

批次參與支教活動.支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這

5人中隨機抽選.已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗.

(1)求5名優(yōu)秀教師中的"甲"，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率;

(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)X的分布列;

⑶求第二次抽選時，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由.

36

【答案】(1)125

(2)分布列見解析

⑶最有可能是1人，理由見解析

2

【解析】(1)5名優(yōu)秀教師中的"甲"在每輪抽取中，被抽取到的概率為5,

尸=Cj

則三次抽取中，"甲"恰有兩次被抽取到的概率為

(2)X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0,1,2.

P(X=0)=||=lP(X=1)=詈4p(x=2)=|1q

所以分布列為:

(3)設4表示第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，自可能的取值有0,1,2,則有:

「2z-i201z-il02z~i202n

尸(5=0)=上.X+SJ=

’c；C；C；C；C；C；100,

「2pl01plplpl0102plplCA

于=1)=2、2、3??

C；C；C；C；C；C；100

P(J=2)=CC+C；C.4+或0=2

舊JC；C；砥CtC；100

因為PC=l)>PC=0)>P(J=2),

故第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)最有可能是1人.

考法二二項分布

【例2】（2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模）人類命運共同體充分展現(xiàn)了中國的大國擔當.在第75屆聯(lián)合國大

會上中國承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭

取2060年之前實現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標”），此舉展現(xiàn)了我國應對氣候變化的堅定決心，預示著中國經(jīng)

濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟社會運轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動

汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)"雙碳目標”具有重要的作用.為了解42兩個品牌新能源電動汽車

的使用滿意度，在某市對購買48兩個品牌的用戶各隨機抽取了100名進行問卷調(diào)查，記錄他們對N、B

兩種品牌的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]；并整理得到如下頻率分布直方圖：

⑴請通過頻率分布直方圖分別估計N、B兩種電動汽車使用滿意度的平均得分，并判斷哪種品牌電動汽車

更受用戶歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點值作代表）；

⑵以樣本頻率估計概率，若使用滿意度得分不低于70分說明用戶對該品牌電動汽車較滿意，現(xiàn)從該市使

用3品牌的用戶中隨機抽取5個人，用X表示對3品牌較滿意的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

【答案】（1）A,8品牌電動汽車的滿意度平均分分別為72.7,78.3,5品牌電動汽車更受用戶歡迎;

15

（2）分布列見解析，4.

【解析】（1）設用戶對A品牌電動汽車的滿意度平均分為X,則

x=(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x10=72.7

設用戶對&品牌電動汽車的的滿意度平均分為了,則

^=(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75x0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3

顯然72.7<78.3,

所以8品牌電動汽車更受用戶歡迎.

（0.020+0.032+0.023）xl0=0.75=-

（2）依題意，用戶對3品牌電動汽車滿意度不低于70分的頻率為4,

（0.005+0.005+0.0⑸x10=0.25=L

低于70分的頻率為'4,

從該市使用B品牌的用戶中隨機抽取5個人，則X的所有可能取值為0/，2,3,4,5,則I4九

（）51^4J1024,（）54UJ1024.

舒信尸（X=3）=C《j望￡

p(X=2)=C；

405243

尸(X=4)=C；P(X=5)=C；

10241024

所以X的分布列為:

【變式】

1.（2023?江蘇揚州,揚州中學?？寄M預測）學校組織/,B,C,D,E五位同學參加某大學的測試活

動，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測試方案，每位同學隨機選擇其中的一種方案進行測試，選擇甲方案測試合格

21

的概率為3,選擇乙方案測試合格的概率為2,且每位同學測試的結(jié)果互不影響.

⑴若5位同學全選擇甲方案，將測試合格的同學的人數(shù)記為X,求X的分布列及其方差;

(2)若測試合格的人數(shù)的期望值不小于3,求選擇甲方案進行測試的同學的可能人數(shù).

10

【答案】(1)分布列見詳解；豆.

⑵3,4,5

【解析】(1)由已知隨機變量X的取值有°，123,4,5,則x

1

21Y_io

尸(X=l)=C；xIx3J~243

3

45

22

p(X=4)=C：xP(X=5)=C；x

33

所以X的分布列為

(2)設選擇甲方案測試的學生人數(shù)為叼7=°，123,4,5,

則選擇乙方案測試的學生人數(shù)為5-"，并設通過甲方案測試合格的學生人數(shù)為

通過乙方案測試合格的學生人數(shù)為",

當"=0時，此時所有學生均選擇乙方案測試，則〃

E(4+〃)=E⑺=5x—=—<3

所以22不符合題意;

當〃=5時，此時所有學生均選擇甲方案測試,

210

+77)=￡?=5x-=—>3

所以33,符合題意;

當〃=1,2,3,4時,

所以326

￡《+〃）=等23

又6,

則”23,故當”=3,4時，符合題意.

綜上，所以"=工4,5

所以當選擇甲方案測試的學生人數(shù)為3,45時，測試合格的人數(shù)的均值不小于3.

2.（2023?北京密云?統(tǒng)考三模）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區(qū)隨

機調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在5。?350kW-h之間，

進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

⑴記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶

居民，求他們月均用電量都不低于300kW-h的概率；

(2)從該地區(qū)居民中隨機抽取3戶，設月均用電量在5。?150kW-h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計概率，

求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

⑶該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于墳kW-h的居民用戶

每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，

估計墳應定為多少合適？(只需寫出結(jié)論).

1

【答案】⑴立

⑵分布列答案見解析，E(X)=0.9

(3)325

【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，第5組的居民戶數(shù)為100x50x0.0024=12,

第6組的居民戶數(shù)為100x50x0.0008=4,

尸=9=2=上

從第5組、第6組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300kW-h的概率為C*12020

(2)該地區(qū)月均用電量在50~150kW-h之間的用戶所占的頻率為(°?0°24+0.0036)x50=0.3,

由題意可知,.?*3,0.3),

所以尸(X=0)=0.73=0.343P(X=1)=C3XO.3x0.720.441

P(X=2)=C^x0.32x0.7=0.189=3)=0.33=0.027

所以，隨機變量X的分布列如下表所示：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9

（3）前5個矩形的面積之和為1-00008x50=0.96<0.98,

設月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為b,則°（300,350）,

則0.96+0-300）x0.0008=0.98,解得b=325,

故可應定為325較為合適.

3.（2023?安徽安慶?安慶一中?？寄M預測）為迎接"五一小長假"的到來，某商場開展一項促銷活動，凡

在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都

相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根

據(jù)摸出球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：A：1個紅球1個白

球，2個紅球，C：2個白球，D..至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應

一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.

（1）求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率

（2）求顧客分別獲一、二、三等獎時對應的概率；

⑶若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）《

j_j_2_

⑵顧客分別獲一、二、三等獎的概率分別為石、15、15

E（X）=-

⑶分布列答案見解析，3

【解析】）設顧客第i次摸到紅球為耳（"1'2）,

則尸⑸/（陽+P厚1V+

62

尸⑷令P(8)=

C4515C:45,

(2)由題意知,10

C2317

6,)=高=左=T?P(0=1-P(/)-P(B)-尸(C)=g

j_j_2

因此，顧客分別獲一、二、三等獎的概率分別為石、15、15；

P?=_1__I__1I__2=_2

(3)由(2)可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為4515159,

尸(X=O)=C;

⑼f4R⑼T=—

所以729

p(X=3)=C；

則X分布列為:

考法三獨立重復試驗

【例3-1](2023?河北滄州??？既?甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比

賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比

賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作

1

為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為萬，乙、丙比賽乙勝概率為3,丙、甲比賽

2

丙勝概率為每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.

(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

2

【答案】⑴§

13

(2)108

【解析】(1)由題可知，甲、乙、丙各旁觀工局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.

設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件A,B,C,則A,B,C相互獨立,

設比賽完3局時，甲、乙、丙各勝1局為事件"，則M=NCU/B,

貝qP(M)=P(/C)+P(：^)=P(/)P(C)+PO)P(5)=gx：+；xg=g

2

所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為

(2)設甲、乙、丙第i局比賽獲勝分別為事件4,耳，G,i=1，2,3,4,5,

設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件D,則

D=+B{C2A3A4A5+4483844+44B3c4區(qū)+4。2c34a

P(為82444)=尸⑻尸闖P(4)P⑷尸(4)=；x；x；x；x；=]

乙。乙J乙/乙,

尸(8C444)=尸⑻p(c"⑷尸⑷尸⑷

4J—/4J-yI*,

W44員44)=尸(4)P(4)P(員)尸⑶)尸(4)=；x：x；x；x；=[

乙J乙J乙[乙,

川44^4)=尸⑷「⑷尸闖尸(cj尸(4)=器

122111

^(4)^(Q)P(C)P(A)/3(4)=XTX-X-X-=-

P(4C2C3AA)=3Y

乙JJJ乙乙/,

p(4G鳥44)=P(4)PG)P⑸尸⑷P(4)=；x：x；x；x：=1

乙JJ乙JI

所以，已知比賽進行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為108.

【例3-2】（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測）手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和

線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，

選線、配線和裁布三個環(huán)節(jié)，簡記為工序工序8,工序C.經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率

依次為萬，3,4.現(xiàn)某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金

額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技

術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請一位

技術(shù)員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補救服務的退還一半的聘請費用.

⑴若小李聘請一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；

⑵若小李聘請兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.

17

【答案】⑴24；

(2)12

【解析】（1）記事件M為"小李聘請一位技術(shù)員成功完成三道工序”,

當技術(shù)員完成工序工時，小李成功完成三道工序的概率為:

2

當技術(shù)員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為:248

當技術(shù)員完成工序。時，小李成功完成三道工序的概率為:

PA=—X-X—=一

當技術(shù)員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：2344,

（2）設小李最終收益為X,小李聘請兩位技術(shù)員參與比賽,

有如下幾種情況:

兩位技術(shù)員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時X=-230,

兩位技術(shù)員都參與補救并成功完成三道工序，此時X=-230+200=-30,

131|x1一;

P（X=-30）=|1Xi-|X—+—xi-|X+x

242rl4

只有一位技術(shù)員參與補救后成功完成三道工序，此時X=—30-100-50+200=20,

231人2、31211

P（X=20）=x-x-+-x1—X-+-X-X

34213J42324.

/

1731

p（X=70）=—x—x—=—

技術(shù)員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時X=-30-50x2+200=70,,2344；

￡（X）=（-230）x—+（-30）xl+20x—+70x1=—

故'''724v7424412.

【變式】

1.（2023,福建龍巖?統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起體育運動和文化項目比

賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽.決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲

得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束.若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天

甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設每局比賽中獲勝的概

率為每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立.

①記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X,求X的分布列及E（X）；

⑵記一共進行的比賽局數(shù)為匕求P（y?5）.

22

【答案】⑴分布列見解析；期望為不

49

⑵五

【解析】（1）解：X可能取值為2,3.

2

P(X=2)=j+2

4

P(X=3)=1-P(X=2)=§

所以X的分布列如下：

5422

^(X)=2x-+3x-=—

999

2

m=i

（2）前兩天中每一天甲以2：。獲勝的的概率均為m3；

乙以2：。獲勝的的概率均為（3J9

Z121_4

C2x-x—x—=—

甲以2：1獲勝的的概率均為33327

?1228

Cx_x_x_=__

乙以2：1獲勝的的概率均為2333—27

2

141

P(7=4)=I+=1

9

y=5即獲勝方前兩天比分為2:0和2:1,或者2:0和0:2再加附加賽

CjX-X—+C2xix-x-=—

甲獲勝的概率為-9272993243

乙獲勝的概率為9272993243

次『)嗔+寮32

81

173249

p(y<5)=p(y=4)+p(y=5)=-+—=

o1o1o1

2.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預測)目前，教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之

一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).已知某市2022年共有

10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試，筆試成績彳~N(60,IO?),只有筆試成績高于70分的學生才

能進入面試環(huán)節(jié).

⑴從報考中小學教師資格考試的考生中隨機抽取6人，求這6人中至少有一人進入面試的概率；

32j_

(2)現(xiàn)有甲、乙、丙3名學生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為4'3'5,設這3名學生中通過面試的人

數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

V

參考數(shù)據(jù):若貝up(〃一bVXV〃+oja0.6827P(〃-2b+■卜0.9545

P(/z-3cr<X<//+3cr)?0.99730.841356?0.35470.977256-0.8710

【答案】⑴66453

23

(2)隨機變量X的分布列見解析；期望為石

【解析】(1)記"至少有一人進入面試"為事件A,由已知得:〃=60。=10

l+P(|X-//|<cr)

尸代470)=

所以2

貝U尸(/)=1一0.84135621-0.3547=0.6453

即這6人中至少有一人進入面試的概率為66453.

(2)X的可能取值為01，2,3,

1-|

尸(x=o)=11XX1-12

4

尸(X=2)=》|x]232111

I+1x1x—x—=

r3r43224

則隨機變量X的分布列為:

X0123

1￡11￡

尸（X）

244244

￡(X)=Ox—+1義一+2x—+3

v724424

/

3.（2023,江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高

校自主命題，?？歼^程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知45兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科

2

目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考A大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為若該考生報

j_2

考5大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為Z,5,n,其