高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì)概率（解答題11種考法）（精講）（解析版）

專題04統(tǒng)計(jì)概率(解答題11種考點(diǎn))

考法解讀

r①考察對(duì)象分兩類；

「特征+③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

「超幾何模型41②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

I列式特征一組合數(shù)列式一屬于數(shù)字型

「①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

r特征-4-②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

二

項(xiàng)

分有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布

布-與超幾何區(qū)分----不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布

當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理.

I列式特征----概率列式------概率型

統(tǒng)r直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否能不能影響另一事件發(fā)生的概率

計(jì)判斷相互.一定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成

概獨(dú)立的方法

相

率一轉(zhuǎn)化法：由事件A與事件B相互獨(dú)立知，

互

獨(dú)A與瓦彳與B,彳與萬(wàn)也相互獨(dú)立.

立

相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算公式為

獨(dú)立事件與fP(AB)=P(A)P(B),

互斥事件區(qū)分互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為

P(AUB)=P(A)+P(B).

①P(B|A)M黑;

r條件概率公式----

條②P(B|A)P(AB)表示事件A與B積事件的概率.

件

概

率①按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件B：(i=l2…,n);

全概率

與

-求解的—②求P(Bi)和所求事件A在各個(gè)互斥事件R發(fā)生條件下的概率P(A|Bi);

全

思路

概③代入全概率公式計(jì)算

率

J全概率公式----PCB^XPC^PCBIAj).

i=l

①對(duì)稱軸X=u----利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值

正態(tài)分布②標(biāo)準(zhǔn)差。

③分布區(qū)間

回歸方程為y=，x+。.

yxy

A苫X)

r線性回歸方程----其中-------=一=-----

A-A-

統(tǒng)a=y-bx.

計(jì)

案皿-A,r根據(jù)題目提示轉(zhuǎn)化成線性回歸方程，即非一次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)

例非線性回歸方程

L根據(jù)線性回歸方程的公式求參數(shù)

獨(dú)

立基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則：

性

統(tǒng)當(dāng)？時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；

檢Mx,HoXya

驗(yàn)

計(jì)當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷修不成立，可以認(rèn)為X和丫獨(dú)立（其中心為a的性界值）

概

率①某種情況下的期望值較好；

②某種情況較穩(wěn)定；

{③某種情況優(yōu)于其他情況的概率較大.

①求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或數(shù)學(xué)期望E（Xn）的遞推關(guān)系

式，然后根據(jù)構(gòu)造法（一般構(gòu)造等比數(shù)列），求出通項(xiàng)公式；

數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率綜合②求和：主要是數(shù)列中的倒序求和、錯(cuò)位求和、裂項(xiàng)求和；

③利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.

一是借助二次函數(shù)，分段函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性求均值和方差的最值;

統(tǒng)計(jì)概率與

函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合二是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，從而確定最優(yōu)解.但問(wèn)題的本質(zhì)

<仍是以概率統(tǒng)計(jì)為主導(dǎo)，利用函數(shù)輔助求解.

r利用定義法判斷單調(diào)性求最值

—最值問(wèn)題+利用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性求最值

I利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值

典例剖析

考法六統(tǒng)計(jì)案例

考法一超幾何模型

考法七決策問(wèn)題

考法二二項(xiàng)分布

統(tǒng)

計(jì)考法八數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率綜合

考法三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概

率考法九統(tǒng)計(jì)概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合

考法四正態(tài)分布

考法十最值問(wèn)題

考法五條件概率與全概率

考法十一新概念統(tǒng)計(jì)概率

考法一超幾何模型

【例「1】(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的

水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成&組,得到如圖所示的頻率分布直方

圖

頻率

A組距

o4二二

o44

一一

0I-

O26ZI8-一一

0.020

0.016

0.008

。6065707580859095100評(píng)價(jià)指標(biāo)

⑴求〃的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)(精確到0.1);

(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在「°，75)和[85,90)內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取短名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中

隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在PR75)內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為x,求X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴4=°036,82.3

5

(2)分布列見(jiàn)解析；期望為§

【解析】(1)由直方圖可知+°.。16+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008)x5=

解得a=0.036.

因?yàn)?0.008+0.016+0.02+0.036)x5=0.4<0,5

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)x5=0.62>0,5

所以學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)在［8°，85）內(nèi).

設(shè)學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)為m，則（機(jī)一8°）"0-044+°-4=°-5

解得機(jī)a82.3.

（2）由題意可知抽取的12名學(xué)員中該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在HQ75）內(nèi)的有4名，在

內(nèi)的有8名.

由題意可知X的所有可能取值為°，1，2,3,4.

（）黑99（）/99

=2上回―C阻=14

()&33()&99

i

P(X=4)=^^=—

')e99

則X的分布列為

X01234

73514141

9999339999

小、八735141415

￡（X）=Ox——+l1x——+o2x——+3x-----F4X——=—.

v799993399993

【例1-2】（2023?河南新鄉(xiāng),統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒

子中4個(gè)球.

（1）求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率.

（2）已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出'（'=12,3）個(gè)球進(jìn)行交換，記交

換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X,X的數(shù)學(xué)期望為4（X）.證明：&（町+冬（幻=4.

18

【答案】⑴行

⑵證明見(jiàn)解析

【解析】（1）由題可知，

C；C；」8

r-——

甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率35

（2）當(dāng)i=l時(shí)，X的取值可能是2,3,4,

C；C；9Pg)二f1=|C；C=1

P（X=2）尸(X=4)

C^C[-I6；；

且CC16

耳(X)=2x——+3x—+4x——=—

則r,168162.

當(dāng)i=3時(shí)，X的取值可能是0,1,2,

C3c32c2c3

尸(x=0)=1|1P(X=1)=第3尸(x=2)=||一2

且16816

1392

&(x)=0x—+lx-+2x—

則168162

故4(x)+&(x)=4.

【例1-3】(2023?山東泰安?校考模擬預(yù)測(cè))某購(gòu)物中心準(zhǔn)備進(jìn)行擴(kuò)大規(guī)模，在制定末來(lái)發(fā)展策略時(shí)，對(duì)中

心的現(xiàn)有顧客滿意度進(jìn)行了一個(gè)初步的現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查，分別調(diào)查顧客對(duì)購(gòu)物中心的商品質(zhì)量、服務(wù)質(zhì)量、購(gòu)物

環(huán)境、廣告宣傳的滿意程度.調(diào)查時(shí)將對(duì)被抽中的每個(gè)顧客從這四個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取兩個(gè)問(wèn)題來(lái)提問(wèn)，統(tǒng)

計(jì)顧客的滿意情況.假設(shè)，有三名顧客被抽到，且這三名顧客對(duì)這四個(gè)問(wèn)題的滿意情況如下表：

商品質(zhì)量服務(wù)質(zhì)量購(gòu)物環(huán)境廣告宣傳

顧客甲滿意不滿意滿意不滿意

顧客乙不滿意滿意滿意滿意

顧客丙滿意滿意滿意不滿意

每得到一個(gè)滿意加10分，最終以總得分作為制定發(fā)展策略的參考依據(jù).

(1)求購(gòu)物中心得分為50分的概率；

(2)若已知購(gòu)物中心得分為50分，則顧客丙投出一個(gè)不滿意的概率為多少？

⑶列出該購(gòu)物中心得到滿意的個(gè)數(shù)X的分布列，并求得分。的數(shù)學(xué)期望.

2，

【答案】(工"

(2)6

⑶分布列見(jiàn)解析，40

【解析】(1)將得分為50分記為事件A；得分為50分即在六個(gè)問(wèn)題的結(jié)果中，有五個(gè)滿意，一個(gè)不滿

思，

可能的結(jié)果共有:C；C；C；C"C；C；C；+C；C；C；=54(種)

三名顧客產(chǎn)生的反饋結(jié)果總共有：（瑪）=216（種）

尸⑷-里」1

則2164,...購(gòu)物中心得分為50分的概率為4

（2）將顧客丙投出一個(gè)不滿意記為事件B,則

1

124_1

vvv1

P(AB)=233

241~6

4

（3）X可能的取值為2、3、4、5、6

?C2cle2]c2c2cl

C；C；C；1"iLz'LzqLzqi"L/7L/qL/q

p(X=2)=尸(x=3)=￡

12廣-244

c；c：c；+c；c；c；c；+c；c；c；c；+C：C；C；_5

p(X=4)=P(X=5)=；

（明12

c；c也1

p(X=6)=

24

X23456

11511

P

24412424

￡(^)=2x—+3xl+4x—+5x-+6x—=4匕

v724412424常=10X,.E⑷=10xE(X)=40

【變式】

1.（2022?廣東汕頭?二模）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)

小球被取出的可能性都相等.

（I）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;

（II）用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

27155

【答案】(1)55(2)44

【解析】(I)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,

_27

PQ)=

則55

(II)由題意X所有可能的取值為：1,2,3,4

P(X=1)=3=」

C：2220

+_19

P(X=2)=

220

C；.C；+C：.C；+C164_16

P{X=3)=

a22055

+136_34

P(X=4)=

22055

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

1191634

P

2202205555

EX=lx±+2x衛(wèi)+3x”+4x羽=9

隨機(jī)變量X的均值為220220555544

2.(2023云南某市衛(wèi)生防疫部門(mén)為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1,2,3,4,5的五批疫

苗，供全市所轄的A,B,C三個(gè)區(qū)市民接種，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種.

(1)求三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率;

(2)記A,B,C三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為X,求X的分布列.

12

【答案】(1)25；

(2)隨機(jī)變量X的分布列為:

X12345

1331373113

P

125125125125125

??《應(yīng)_12

【解析】(1)設(shè)三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同為事件A,貝IJ5325.

(2)X的所有可能取值為1,2,3,4,5,則

1+C/；_131+C；C+C；-A：311+C]C；+C>C；.A；37

尸(X=l)=尸(X=2)=尸(X=3)=

53125,53125,53125

1+C；C+C；-A；31尸(X=5)=筲&13

"?"125125.

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X12345

1331373113

P

125125125125125

3.(2023,福建廈門(mén)?廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè))教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策.補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教

育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在.治貧先治

愚，扶貧先扶智.為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分

批次參與支教活動(dòng).支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這

5人中隨機(jī)抽選.已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn).

(1)求5名優(yōu)秀教師中的"甲"，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率;

(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)X的分布列;

⑶求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由.

36

【答案】(1)125

(2)分布列見(jiàn)解析

⑶最有可能是1人，理由見(jiàn)解析

2

【解析】(1)5名優(yōu)秀教師中的"甲"在每輪抽取中，被抽取到的概率為5,

尸=Cj

則三次抽取中，"甲"恰有兩次被抽取到的概率為

(2)X表示第一次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，X的可能取值有0,1,2.

P(X=0)=||=lP(X=1)=詈4p(x=2)=|1q

所以分布列為:

(3)設(shè)4表示第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，自可能的取值有0,1,2,則有:

「2z-i201z-il02z~i202n

尸(5=0)=上.X+SJ=

’c；C；C；C；C；C；100,

「2pl01plplpl0102plplCA

于=1)=2、2、3??

C；C；C；C；C；C；100

P(J=2)=CC+C；C.4+或0=2

舊JC；C；砥CtC；100

因?yàn)镻C=l)>PC=0)>P(J=2),

故第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是1人.

考法二二項(xiàng)分布

【例2】（2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模）人類命運(yùn)共同體充分展現(xiàn)了中國(guó)的大國(guó)擔(dān)當(dāng).在第75屆聯(lián)合國(guó)大

會(huì)上中國(guó)承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)

取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)

濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動(dòng)

汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)"雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解42兩個(gè)品牌新能源電動(dòng)汽車

的使用滿意度，在某市對(duì)購(gòu)買(mǎi)48兩個(gè)品牌的用戶各隨機(jī)抽取了100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)N、B

兩種品牌的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]；并整理得到如下頻率分布直方圖：

⑴請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)N、B兩種電動(dòng)汽車使用滿意度的平均得分，并判斷哪種品牌電動(dòng)汽車

更受用戶歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；

⑵以樣本頻率估計(jì)概率，若使用滿意度得分不低于70分說(shuō)明用戶對(duì)該品牌電動(dòng)汽車較滿意，現(xiàn)從該市使

用3品牌的用戶中隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示對(duì)3品牌較滿意的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）A,8品牌電動(dòng)汽車的滿意度平均分分別為72.7,78.3,5品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎;

15

（2）分布列見(jiàn)解析，4.

【解析】（1）設(shè)用戶對(duì)A品牌電動(dòng)汽車的滿意度平均分為X,則

x=(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x10=72.7

設(shè)用戶對(duì)&品牌電動(dòng)汽車的的滿意度平均分為了,則

^=(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75x0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3

顯然72.7<78.3,

所以8品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎.

（0.020+0.032+0.023）xl0=0.75=-

（2）依題意，用戶對(duì)3品牌電動(dòng)汽車滿意度不低于70分的頻率為4,

（0.005+0.005+0.0⑸x10=0.25=L

低于70分的頻率為'4,

從該市使用B品牌的用戶中隨機(jī)抽取5個(gè)人，則X的所有可能取值為0/，2,3,4,5,則I4九

（）51^4J1024,（）54UJ1024.

舒信尸（X=3）=C《j望￡

p(X=2)=C；

405243

尸(X=4)=C；P(X=5)=C；

10241024

所以X的分布列為:

【變式】

1.（2023?江蘇揚(yáng)州,揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）學(xué)校組織/,B,C,D,E五位同學(xué)參加某大學(xué)的測(cè)試活

動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測(cè)試，選擇甲方案測(cè)試合格

21

的概率為3,選擇乙方案測(cè)試合格的概率為2,且每位同學(xué)測(cè)試的結(jié)果互不影響.

⑴若5位同學(xué)全選擇甲方案，將測(cè)試合格的同學(xué)的人數(shù)記為X,求X的分布列及其方差;

(2)若測(cè)試合格的人數(shù)的期望值不小于3,求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的同學(xué)的可能人數(shù).

10

【答案】(1)分布列見(jiàn)詳解；豆.

⑵3,4,5

【解析】(1)由已知隨機(jī)變量X的取值有°，123,4,5,則x

1

21Y_io

尸(X=l)=C；xIx3J~243

3

45

22

p(X=4)=C：xP(X=5)=C；x

33

所以X的分布列為

(2)設(shè)選擇甲方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為叼7=°，123,4,5,

則選擇乙方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為5-"，并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為

通過(guò)乙方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為",

當(dāng)"=0時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇乙方案測(cè)試，則〃

E(4+〃)=E⑺=5x—=—<3

所以22不符合題意;

當(dāng)〃=5時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇甲方案測(cè)試,

210

+77)=￡?=5x-=—>3

所以33,符合題意;

當(dāng)〃=1,2,3,4時(shí),

所以326

￡《+〃）=等23

又6,

則”23,故當(dāng)”=3,4時(shí)，符合題意.

綜上，所以"=工4,5

所以當(dāng)選擇甲方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為3,45時(shí)，測(cè)試合格的人數(shù)的均值不小于3.

2.（2023?北京密云?統(tǒng)考三模）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨

機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在5。?350kW-h之間，

進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

⑴記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶

居民，求他們?cè)戮秒娏慷疾坏陀?00kW-h的概率；

(2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在5。?150kW-h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計(jì)概率，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

⑶該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于墳kW-h的居民用戶

每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書(shū)，且發(fā)放倡議書(shū)的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請(qǐng)根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，

估計(jì)墳應(yīng)定為多少合適？(只需寫(xiě)出結(jié)論).

1

【答案】⑴立

⑵分布列答案見(jiàn)解析，E(X)=0.9

(3)325

【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，第5組的居民戶數(shù)為100x50x0.0024=12,

第6組的居民戶數(shù)為100x50x0.0008=4,

尸=9=2=上

從第5組、第6組中任取2戶居民，他們?cè)戮秒娏慷疾坏陀?00kW-h的概率為C*12020

(2)該地區(qū)月均用電量在50~150kW-h之間的用戶所占的頻率為(°?0°24+0.0036)x50=0.3,

由題意可知,.?*3,0.3),

所以尸(X=0)=0.73=0.343P(X=1)=C3XO.3x0.720.441

P(X=2)=C^x0.32x0.7=0.189=3)=0.33=0.027

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9

（3）前5個(gè)矩形的面積之和為1-00008x50=0.96<0.98,

設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為b,則°（300,350）,

則0.96+0-300）x0.0008=0.98,解得b=325,

故可應(yīng)定為325較為合適.

3.（2023?安徽安慶?安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）為迎接"五一小長(zhǎng)假"的到來(lái)，某商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡

在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿200元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都

相同的10個(gè)小球，其中，紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球5個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個(gè)球，根

據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的2個(gè)球的顏色分成以下四種情況：A：1個(gè)紅球1個(gè)白

球，2個(gè)紅球，C：2個(gè)白球，D..至少一個(gè)黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)

一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng).

（1）求顧客在某次抽獎(jiǎng)中，第二個(gè)球摸到為紅球的概率

（2）求顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；

⑶若三名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）《

j_j_2_

⑵顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為石、15、15

E（X）=-

⑶分布列答案見(jiàn)解析，3

【解析】）設(shè)顧客第i次摸到紅球?yàn)槎?1'2）,

則尸⑸/（陽(yáng)+P厚1V+

62

尸⑷令P(8)=

C4515C:45,

(2)由題意知,10

C2317

6,)=高=左=T?P(0=1-P(/)-P(B)-尸(C)=g

j_j_2

因此，顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為石、15、15；

P?=_1__I__1I__2=_2

(3)由(2)可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為4515159,

尸(X=O)=C;

⑼f4R⑼T=—

所以729

p(X=3)=C；

則X分布列為:

考法三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

【例3-1](2023?河北滄州??？既?甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比

賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比

賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作

1

為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為萬(wàn)，乙、丙比賽乙勝概率為3,丙、甲比賽

2

丙勝概率為每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.

(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

2

【答案】⑴§

13

(2)108

【解析】(1)由題可知，甲、乙、丙各旁觀工局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.

設(shè)甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件A,B,C,則A,B,C相互獨(dú)立,

設(shè)比賽完3局時(shí)，甲、乙、丙各勝1局為事件"，則M=NCU/B,

貝qP(M)=P(/C)+P(：^)=P(/)P(C)+PO)P(5)=gx：+；xg=g

2

所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為

(2)設(shè)甲、乙、丙第i局比賽獲勝分別為事件4,耳，G,i=1，2,3,4,5,

設(shè)比賽完5局甲獲得最終勝利為事件D,則

D=+B{C2A3A4A5+4483844+44B3c4區(qū)+4。2c34a

P(為82444)=尸⑻尸闖P(4)P⑷尸(4)=；x；x；x；x；=]

乙。乙J乙/乙,

尸(8C444)=尸⑻p(c"⑷尸⑷尸⑷

4J—/4J-yI*,

W44員44)=尸(4)P(4)P(員)尸⑶)尸(4)=；x：x；x；x；=[

乙J乙J乙[乙,

川44^4)=尸⑷「⑷尸闖尸(cj尸(4)=器

122111

^(4)^(Q)P(C)P(A)/3(4)=XTX-X-X-=-

P(4C2C3AA)=3Y

乙JJJ乙乙/,

p(4G鳥(niǎo)44)=P(4)PG)P⑸尸⑷P(4)=；x：x；x；x：=1

乙JJ乙JI

所以，已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為108.

【例3-2】（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和

線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，

選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序工序8,工序C.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率

依次為萬(wàn)，3,4.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金

額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技

術(shù)員，若某一道工序沒(méi)有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位

技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒(méi)有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.

⑴若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；

⑵若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.

17

【答案】⑴24；

(2)12

【解析】（1）記事件M為"小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員成功完成三道工序”,

當(dāng)技術(shù)員完成工序工時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為:

2

當(dāng)技術(shù)員完成工序B時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為:248

當(dāng)技術(shù)員完成工序。時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為:

PA=—X-X—=一

當(dāng)技術(shù)員沒(méi)參與補(bǔ)救時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：2344,

（2）設(shè)小李最終收益為X,小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員參與比賽,

有如下幾種情況:

兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救但仍未成功完成三道工序，此時(shí)X=-230,

兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救并成功完成三道工序，此時(shí)X=-230+200=-30,

131|x1一;

P（X=-30）=|1Xi-|X—+—xi-|X+x

242rl4

只有一位技術(shù)員參與補(bǔ)救后成功完成三道工序，此時(shí)X=—30-100-50+200=20,

231人2、31211

P（X=20）=x-x-+-x1—X-+-X-X

34213J42324.

/

1731

p（X=70）=—x—x—=—

技術(shù)員最終未參與補(bǔ)救仍成功完成三道工序，此時(shí)X=-30-50x2+200=70,,2344；

￡（X）=（-230）x—+（-30）xl+20x—+70x1=—

故'''724v7424412.

【變式】

1.（2023,福建龍巖?統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比

賽，經(jīng)過(guò)角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽.決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲

得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天

甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽中獲勝的概

率為每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立.

①記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及E（X）；

⑵記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求P（y?5）.

22

【答案】⑴分布列見(jiàn)解析；期望為不

49

⑵五

【解析】（1）解：X可能取值為2,3.

2

P(X=2)=j+2

4

P(X=3)=1-P(X=2)=§

所以X的分布列如下：

5422

^(X)=2x-+3x-=—

999

2

m=i

（2）前兩天中每一天甲以2：。獲勝的的概率均為m3；

乙以2：。獲勝的的概率均為（3J9

Z121_4

C2x-x—x—=—

甲以2：1獲勝的的概率均為33327

?1228

Cx_x_x_=__

乙以2：1獲勝的的概率均為2333—27

2

141

P(7=4)=I+=1

9

y=5即獲勝方前兩天比分為2:0和2:1,或者2:0和0:2再加附加賽

CjX-X—+C2xix-x-=—

甲獲勝的概率為-9272993243

乙獲勝的概率為9272993243

次『)嗔+寮32

81

173249

p(y<5)=p(y=4)+p(y=5)=-+—=

o1o1o1

2.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))目前，教師職業(yè)越來(lái)越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之

一.當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市2022年共有

10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，筆試成績(jī)彳~N(60,IO?),只有筆試成績(jī)高于70分的學(xué)生才

能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).

⑴從報(bào)考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機(jī)抽取6人，求這6人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；

32j_

(2)現(xiàn)有甲、乙、丙3名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為4'3'5,設(shè)這3名學(xué)生中通過(guò)面試的人

數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

V

參考數(shù)據(jù):若貝up(〃一bVXV〃+oja0.6827P(〃-2b+■卜0.9545

P(/z-3cr<X<//+3cr)?0.99730.841356?0.35470.977256-0.8710

【答案】⑴66453

23

(2)隨機(jī)變量X的分布列見(jiàn)解析；期望為石

【解析】(1)記"至少有一人進(jìn)入面試"為事件A,由已知得:〃=60。=10

l+P(|X-//|<cr)

尸代470)=

所以2

貝U尸(/)=1一0.84135621-0.3547=0.6453

即這6人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為66453.

(2)X的可能取值為01，2,3,

1-|

尸(x=o)=11XX1-12

4

尸(X=2)=》|x]232111

I+1x1x—x—=

r3r43224

則隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1￡11￡

尸（X）

244244

￡(X)=Ox—+1義一+2x—+3

v724424

/

3.（2023,江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高

校自主命題，?？歼^(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知45兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科

2

目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考A大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為若該考生報(bào)

j_2

考5大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為Z,5,n,其