高考數(shù)學解答題提高一輪復(fù)習：數(shù)列求和（裂項相消法）（典型題型歸類訓(xùn)練）（學生版+解析）

專題06數(shù)列求和（裂項相消法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：等差型...................................................2

題型二：無理型...................................................3

題型三：指數(shù)型...................................................5

題型四：通項裂項為“+”型.......................................6

三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練..........................7

一、必備秘籍

常見的裂項技巧

類型一：等差型

〃(〃+左)knn+k

特另1J注意攵=1，='—4?次=—L,

n{n+1)nn+1n{n—1)n-1n

C]

(kn-l)(kn+1)2kn—1kn+\

如：67=；(占-占)(尤其要注意不能丟前邊的;)

4〃一122〃-12〃+12

類型二：無理型

①/—廣—~1

7n+k+\nk

如:/---1=—Jn+l—

類型三：指數(shù)型

、(a-l)a"__J_______1__

(an+l+k\an+k)-an+k-an+l+k

2"_11

：(2"T+左)(2"+左)-2"+:-2"i+k

類型四：通項裂項為“+”型

②(-1)'—+----

nn+1

本類模型典型標志在通項中含有（—1）〃乘以一個分式.

二、典型題型

題型一：等差型

例題1.（2023秋?四）11成都?高三?？茧A段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為=3,見=16,"eN,

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)勿=——，求數(shù)列也｝的前〃項和小

-4“上12〃一11-

例題2.（2023秋?甘肅白銀?高二?？茧A段練習）在①」包=亍2=：,②斗=2"+1這三個條件中任

選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

⑴已知數(shù)列｛%｝的前w項和為I，,求｛4｝的通項公式；

⑵數(shù)列出｝滿足2求數(shù)列也｝的前〃項和T,.

例題3.（2023秋?福建寧德?高二福建省寧德第一中學校考階段練習）已知數(shù)列｛4｝滿足4＞。,

log2an,n=2k-l,kGN*

T-+2,n=lk,k^K

⑴判斷數(shù)列｛/“-｝是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由;

⑵若數(shù)列｛%｝的前10項和為361,記2=而二—二—，數(shù)列｛〃,｝的前〃項和為T“，求證：Tn<-.

例題4.（2023秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯(lián)考階段練習）記遞增的等差數(shù)列｛凡｝的前n項和為,

已知S5=85,且必=7。］.

⑴求4和sn.

⑵設(shè)，=二~,求數(shù)列出｝的前〃項和1.

題型二：無理型

例題1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛七｝的前〃項和為％=1,且4，%，%4成等比

數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項公式；

⑵當數(shù)列｛4｝的公差不為。時，記數(shù)列/\的前〃項和為T,，求證：

例題2.（2023秋?廣東?高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列｛““｝中，%=2,且％,4+1,4成

等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2n

(2)記“=向_],”eN*,數(shù)列色,｝的前”項和為求不等式1。的解集.

例題3.(2023秋?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習)設(shè)各項均不為零的數(shù)列｛%｝的前"項和為S",q=1，

且對于任意〃eN*,滿足2s.=4?a,+i.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

,1，、

(2)設(shè)"=瘋+向[,求數(shù)列也｝的前99項和.

例題4.(2023?重慶?統(tǒng)考三模)已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S.,%+%=20,59=27%.

(1)求｛%｝的通項公式；

2

(2)設(shè)，=而「西，數(shù)列｛〃｝的前”項和為，，證明：當：后3時，27；＞“二.

題型三：指數(shù)型

例題1.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？茧A段練習)已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且的+%=1。，

54=16.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)數(shù)列也｝滿足+1(〃wN*),數(shù)列出｝的前”項和為S“，求證：S“<1.

Jan'an+i12

例題2.(2023秋?福建寧德?高二福鼎市第一中學?？茧A段練習)已知數(shù)列｛凡｝的前，項和為

+1

S?,Sn=2an-T+2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

n2+n)-2"

⑵設(shè)么=數(shù)列也｝的前"項和為(，證明：

例題3.(2023秋?云南昆明,高三昆明一中?？茧A段練習)已知數(shù)列｛七｝滿足

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)。,=1唯其"，數(shù)列L+(。，］的前"項和為S”,求證：

例題4.(2023?廣西南寧?南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學校考二模)已知數(shù)列｛%｝滿足6+%+…+。“一1-2=-2

(n>2_&neN*),且。2=4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列求證:T?<1.

題型四：通項裂項為“+”型

2

例題L(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)記S“為數(shù)列｛%｝的前"項和，且q=3,Sn=nan-n+n.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)由=(-1)用.%+“用，求數(shù)列也｝的前"項和T,.

an'an+\

例題2.(2023春?江蘇南京?高二校聯(lián)考階段練習)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，滿足％=1,

碼+1-(〃+1電="(〃+1)

⑴求｛q｝的通項公式；

(2)若2=(-1)向詈十，求數(shù)列｛￡｝的前20項和品.

3“+〃

例題3.（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列｛風｝滿足：％=1,風=2。,1+1（力22）.

⑴證明：｛%+1｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

⑵令勿=〃黑求同的前〃項和加

例題4.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列｛q｝的前”項和為S,,,已知名=5,且

喙i=4Sn+4n+l.

（1）求｛q｝的通項公式；

⑵若6"=（T）'"2",求數(shù)列也｝的前w項和卻

a

A+i

三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為

111

=—-b=aa?則廣+7+…+）

nx2“2023

n瓦b2

2021202220232024

A.B.c.D.----

2023202320252025

2.（2023秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）等比數(shù)列｛4｝中，％=2”=2,數(shù)列

bn=（a,-1）（?-1）,也｝的前〃項和為則滿足的〃的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

3.（2023?全國?高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有〃數(shù)學王子〃的稱號.用

他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)〃％）=國，其中國表示不超過x的最大整數(shù).已知正項數(shù)列｛%｝的前〃

項和為且5〃=（卜〃+一令么=§+s—，則也+32+3+89]=（）

A.7B.8C.17D.18

4.（2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)”x）=m+lnx（〃eN*）的圖象在點匕"

1

處的切線的斜率為與,則數(shù)列的前幾項和S“為（

13n2+5n?3n2+5n

A.——B-2(〃+l)5+2)C-4(n+l)D。8(n+l)(n+2)

〃+1

5.（2023秋?江蘇常州?高三校考期末）已知正項數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，%,a2,%成等比數(shù)

241

列?若A=3,則%=()

^=l+Jw+i

八16943

A，VB.——C.一D.-

1634

6.（2023?全國?高三專題練習）等差數(shù)列｛q｝各項均為正數(shù)，首項與公差相等，￡-r―L=&，則出儂

k=l+7%+1

的值為（）

A.9069B.9079C.9089D.9099

7.（2023秋?江蘇?高二專題練習）記數(shù)列｛%｝前"項和為S"，若1,an,S.成等差數(shù)列，且數(shù)列

______4+1______

,的前w項和T”對任意的〃€河都有1-22+1?0恒成立，則4的取值范圍為（

(%+i-1)(*T)

A.f-ooll.f-00,1

BD.(-℃,1]

I6」I2.

二、多選題

8.（2023春?江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學校考期中）己知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“滿足S“-”，weN*,

3〃

且"=------,〃eN*,數(shù)列出｝的前"項和為7；,則（）

A.數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛氏-1｝是等比數(shù)列

s,E-N

C.D.T<-

〃22n〃4

9.（2023春?黑龍江牡丹江?高二牡丹江市第二高級中學校考期末）已知數(shù)列｛q｝滿足

24+22%+―+2%=〃（〃eN*）,bn=-------------,S,,為數(shù)列也｝的前"項和.若對任意實數(shù)4,都有

s.<2成立.則實數(shù)4的可能取值為（）

A.4B.3C.2D.1

三、填空題

r-yn

10.（2023?全國?高三專題練習）在數(shù)列｛%｝中，已知凡=2"-1,且2=-------2n+l,則數(shù)列也｝的前〃

a

A+i

項和S“=—.

11.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛4｝滿足2%+2"一%+…+22%_1+2a若

1,、

g=瘋+了'則數(shù)列｛%｝的前〃項和T”=.

22〃-1

12.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列｛4｝中，為=/刁尸刁，其前“項和為S",則3S.=.

四、解答題

13.（2023春?陜西西安?高二?？计谥校┰O(shè)數(shù)列｛4｝滿足％=5,2a“+]=%+2〃+7.

（1）計算。2，。3,猜想｛見｝的通項公式并用數(shù)學歸納法加以證明；

⑵若數(shù)列的前"項和為「"，證明：

aa

[?n+lJ10

14.（2023春?山東德州?高二德州市第一中學?？计谥校┘褐獢?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝為正項等比數(shù)

列，且滿足4=4=1,a2=b2+l,a5=b4+l.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式;

（2）設(shè)11+bn,求數(shù)列上｝的前2n項和S2?.

aa

nn+2

15.（2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模）已知臬是數(shù)列｛見｝的前〃項和，且S,,=2向-2,eN*

專題06數(shù)列求和（裂項相消法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：等差型...................................................2

題型二：無理型...................................................3

題型三：指數(shù)型...................................................5

題型四：通項裂項為“十”型.......................................6

三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練..........................7

一、必備秘籍

常見的裂項技巧

類型一：等差型

C1_1.1_____1_,

^n（n+A:）kmn+k，

特別注意舟=!一看；4二—1，而%=止！一：

⑨________1________=1___________

（Jen-1）（kn+1）^kn-1kn+r

如：=!（白-白）（尤其要注意不能丟前邊的工）

4n-1Kn-1n+ly

類型二：無理型

0^——---p=-（Vn+k—yfn）

^Vn+fc+Vnkvv7

:

如V一n+l,+V廠n=Vn+1-Vn

類型三：指數(shù)型

①空型=_1_____1—

<>(a"+1+fc)(an+fc)an+kan+1+k

n11

如：("+1+/("+的=n+kn+1+k

類型四：通項裂項為“十”型

如：①(一1)叫島=(一1嚴(；+9)

本類模型典型標志在通項中含有(-1廠乘以一個分式.

二、典型題型

題型一：等差型

例題L(03秋?四川成都?高三?？茧A段練習)已知等差數(shù)列｛%J的前〃項和為Sn,a=3,S4=16,nEN

(1)求數(shù)列｛5｝的通項公式；

1

()設(shè)“=,求數(shù)列｛g｝的前〃項和寫.

anan+l

【答案】(1)即=n-l(neN*)

%=M

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d,因為a=3,54=16,

禽=：6,解得｛‘=1

所以

4al+6a=16Id=

所以。九=1+3(12—1)=72—1?

所以數(shù)列｛即｝的通項公式為即=n-l(neN*)

11Ap__LA

()因為耳==f

anan+i(n-l)(n+l)\n-ln+lj

所以&=工x(n

335n-1n+1

所以數(shù)列｛5｝的前n項和〃=三.

例題.(。3秋?甘肅白銀?高二?？茧A段練習)在①十二需

a=|,@Sn=”+1這三個條件中任

選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

⑴己知數(shù)列｛斯｝的前"項和為無,，求｛4九｝的通項公式;

()數(shù)列｛AJ滿足勾=an-an+1,求數(shù)列｛如｝的前”項和彩.

【答案】（1）答案詳見解析

（）答案詳見解析

a22〃―11

【詳解】（1）選條件①：—，a=g

an2n+\3

解法」由T2n-l11a

2n+l'a1特工一%=1,

CL-nadoCL-n13n-31

當712時,—=—X—X-X=-X-X---X-----=

a

a1a±an-i35n-1n-1

1

所以4=(n＞2),

2n-i

又的=1也符合4=5匕'所以巴=+

a.2n-\

解法二：由y二’[,得（九+l）a九+i=（九一1）冊,

所以數(shù)列｛5-l）a”｝是常數(shù)列，

所以（九—l）an=（x—l）a=1,

所以“"白

nn1

選條件②，sn-+l,nN時，an=Sn-Sn_t=(+1)-("-+1)=nT

又的=Si=3,顯然不符合上式，所以an={

0選條件①：bn=anan+1=(…；(…)=二(三一a)，

所以*=±[(i_m+Q_g+…+6^-去)]=三(1一充)=熱.

因此bn=anan+1=(n-i：n+i)=工一W)'

所以加=工[(l_g+(1_()+???+(^―去)1=工(1-去)=熱.

選條件②，bn=an-an+1={

當心時，7-6+3+5+...+-=6+^P=?X4n+^

210210

又T]=6,符合＜=§x40+§，所以＜=§x4"+§-

例題3.（03秋?福建寧德,高二福建省寧德第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列｛&J滿足的>0,

log2?！ǎǘ?左一1,左￡N*

a，1+i~[2a"+\n=2k,keW

⑴判斷數(shù)列｛冊_J是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；

711

（）若數(shù)列｛%J的前10項和為361,記2二不大―—,數(shù)列｛購｝的前幾項和為〃，求證：Tn<~.

V°&2a2n+l）,a2n+2

【答案】(1)數(shù)列｛即―｝成等比數(shù)列，證明見解析

()證明見解析

【詳解】(1)數(shù)列Sn—｝成等比數(shù)列，證明如下：

根據(jù)a」log2凡,〃=21,旌N*

根據(jù)/一］2i,“=2QN*倚'

n

?n+i=0+3=log冊_i+3=an_r=4azi—i；

,??的>0,an.r>0,=4,即數(shù)列｛a九_J成等比數(shù)列.

n_1

()由(1)得，an_r=ar-4,a2n=log2a2n_x=2(n-1)+log2ax,

故Si。=。1(4°+41+4+爐+4，)+5log的+3x(°+1+3+3+4)

=341al+5logar+30,

由Si。=361,得341al+5log%+30=361.

令/(%)=341%+5logx4-30,

當％>0時，/(%)=341%+5logx+30單調(diào)遞增，且f(l)=361=/(aj,

nn

故a1=1,an+1=4=,an+3=loga】+3九二九,

.,_11ii

一b—~rx-7T，Ti=尻=二<一,

na4

(10g2Ct2n+i),2n+24〃

當幾之時，bn=^<9

111

T=bi+bH------F<-1--)++…+

nqTi—ln.

綜上，知〃V-

例題4.(03秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯(lián)考階段練習)記遞增的等差數(shù)列｛&J的前〃項和為上,

已知S5=85,且%=7%.

⑴求a九和土；

()設(shè)“=—求數(shù)列｛%｝的前W項和

anan+l

【答案】⑴6=6n—1,Sn=3n+3n

()^-

'，6九+5

【詳解】(1)設(shè)｛&J的公差為+d(d>0).

因為S5=5(ai+ct5)=5a3=85,所以。3=",

由。6=7al得17+3d=7(17-d),解得d=6,

所以的+1=17,得的=5,

所以%=a3+(n—3)d=17+(n—3)x6=6n—1,

n(a1+an)_n(5+6n-l)

°由⑴得，聯(lián);就二=(6H-1X6H+5)

111111

所以一------1-----------------...+---------------------------1--------------

1111176n-76n-l6n-l

n

6n+5

題型二：無理型

例題1.(03?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列的前〃項和為%，%=1，且。,a5,a”成等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

()當數(shù)列｛斯｝的公差不為0時，記數(shù)列I的前”項和為上，求證：Tn<-.

【答案】(1)。九=1或a九=n-1

()證明見解析

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛即｝的公差為+d,

a

由a,a3,的4成等比數(shù)列，得。5=%4，

即(l+4d)=(l+d)(l+13d),

即d—d=0,解得d=0或d=.

當d=0時，an=1；

當d=時,。九=的+(ri—l)d=n—l.

綜上所述，an=1或冊=n-l.

()由(1)可知，當數(shù)列{的J的公差不為。時，???a九=九一1,

>1(1+3)1-1)

Sn==n,則Sn_i=(n-1),Sn+1=(n+1),

1i—=_________

y1^n-l^n+l(n-l)(n+l)\n-ln+lJ9

所以〃=工[(-9+GV)+(A9+…+后_擊)]

11

4n+3

又neN*,所以6〈工.

例題.(03秋?廣東?高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習)在等比數(shù)列｛廝｝中，弓=2,且的,a3+1,口4成等

差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛廝｝的通項公式；

2"

()記勿=，“wN*,數(shù)列｛.｝的前n項和為心,求不等式七<10的解集.

血-]+也計]T

【答案】⑴廝=n

(){1,,3,4,5}

【詳解】⑴解：設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為q,

因為。1，。3+1，。4成等差數(shù)列，所以（。3+1）=%+。4，即2（。4+1）=%+%q3,

又因為％=2,則2(2q-+1)=2+2q3,即/-2/=0,qw0,解得q=,

所以數(shù)列｛%J的通項公式為即=n-

O解：由與=n,可得第=“+1二='n_L

所以&=(V-口)+(v3-1-V+…+(vn+i-i-vn-i)

=7n+i-1-1

又由心<10,可得,2角-1<11，即n+1-Kll,neN*,

即n+1<l,nEN*,所以n=1,,3,4,5,所以不等式的解集為｛1,,3,4,5｝.

例題3.（03秋?湖南長沙,高三長沙一中校考階段練習）設(shè)各項均不為零的數(shù)列｛廝｝的前n項和為S“嗎=1,

且對于任意nGN*,滿足%=an-an+1.

⑴求數(shù)列｛5｝的通項公式；

1

（）設(shè)%=師+匹匚，求數(shù)列初?｝的前99項和?

【答案】（l）an=n

（）9

【詳解】（1）由題知尸0.

當?1=1時，ai=S]=^-,a=；

當neN*時，an=Sn-Sn^=(an+1-a^),所以與+i-a”-=,

所以數(shù)列｛a-J是首項為L公差為的等差數(shù)列，數(shù)列｛&J是首項為，公差也為的等差數(shù)列,

則冊_1=的+3（n—1）=n—1,an=a+3（n—1）=n,

所以即=n.

（）由（1）得，bn=赤+3^=Vn+1-Vn,

即瓦+6+b3+?■?+bgg=V—-1+V3—V-+…+V100—V99=10—1=9.

例題4.（03?重慶?統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列｛an｝的前71項和為Sn,a4+a7-0,S9=7a.

（1）求｛an｝的通項公式；

,2,—

0設(shè)''=惠"扇，數(shù)列的前幾項和為彩，證明：當門23時，21＞向二

【答案】（l）an-n-1

（）證明見解析

a1+3d+%+6d=0(a+9d=0

【詳解】（1）設(shè)公差為d,則r解得

9alH---d=7(。1+d)(18al=9d

所以為=4+5一l)d=1+2(幾-l)=2n-l.

()0二乙____________________(迎+3--：-1)_______

〃\lan+2+Vn+3+Vn-l(Vn+3+Vn-l)(Vn+3-Vn-l)

_(Vn+3-Vn^l)_Vn+3-Vn-l

7l+3—(7l—1)

所以〃=濟+b+仇+…+b九

1_________

二—(V5—1+—V3+V9—V5+…+\TL+3—Vn—1)

=■—(-1—V3+7n+3+7Tl+1),

所以〃=VnT3+VnTl-V3-1,

所以〃—y]an+\=+3++1—V3—1—+1=+3——1,

當九N3時，Nn+3—A/3—12A/X3+3—V3—1=3—V3—1=-y/3>0，

所以當n23時，2Tn>.

題型三：指數(shù)型

例題1.（03秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列｛a"為等差數(shù)列，且a+a4=10,

S4=16.

(1)求｛an｝的通項公式；

()數(shù)列｛g｝滿足6n=4+；：+；(neN*),數(shù)列｛%｝的前n項和為治,求證：S<i

Jun'un+ln1

【答案】(1)廝=九一1

()證明見解析

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛&J的公差為d,

a+CZ4=<23=的+4d=10_1

C4JX3，,,”，解得：fj—1,

｛S=4alH------a=4al+6a=16(d=

4

?1-an=1+3(n-1)=n—1.

O(1)n+i_=4[_n_(n+l)3"+1]'

由得：bn=3(n1)(n+1)(n1)3

.s_ir_j._____i_____i_____'_____i..._______j________i___1_1[1_11_1_

…n~411X313X3十3x35x33+5x337x34十(九一1)3n(n+1)3n+“一4l_3(n+l)3n+1J-1

1

(8?l+4)3n+1'

..]>0?q<_J_

?(8九+4)3…，."12.

n+1

例題.(03秋?福建寧德?高二福鼎市第一中學?？茧A段練習)已知數(shù)列｛%J的前幾項和為%,Sn=an-+

3.

⑴求數(shù)列｛%J的通項公式；

(n2+n)-2"

()設(shè)包=7——、「/―不，數(shù)列｛5｝的前n項和為荒，證明：-<Tn<l.

【答案】(1)七=n,n

()證明見解析

【詳解】(1)當九=1時，Si=%=的一+3,得。1=2,

n-1+1

當九之時，Sn_1=an_r-+3,

n+1

則S九—Sn_i=an—+3—(an_i—九+3),

nan9n

CLn=CLn—a九_1—f即=n-l+兩邊同時除以>

得=1，即數(shù)列｛聞是首項為?=L公差為1的等差數(shù)列,

'=1+(九一1)x1=幾,即a九=n?

所以數(shù)列｛%J的通項公式%i=n-

n

()b=—s+哈n—n(n+l)-n

nnn+1nn+1

(an-n)-[an+i-(n+1)]n(-l)(n+l)(-l)(-D(-lV

11

即為=,

n_]n+l_1

1

n+l-i

=-J--1=1_1

,

1-1九+l_i,n+l_1

即”=1一1為，隨著n的增大，T”增大,

所以｛?；｝的最小值為鼠=于隨著n的增大，7；無限接近1,

所以§W*<1.

n+1

例題3.(03秋?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習)已知數(shù)列｛&J滿足的=,即+1=an(neJV*).

⑴求數(shù)列｛廝｝的通項公式；

()設(shè)“=loga-n,數(shù)列｛二黑」的前幾項和為當,求證：l<S<-.

nn

【答案】⑴即=

()證明見解析

【詳解】⑴由已知的=,學="+i(neN*),

an

cccn(n+i)

n1

所以廝=旦?一……—ar=-"-........................=----(n>),

an_ian-?i

當n=l時，q=2滿足條件，所以口=四包；

V1rl

()由于.=logan—n=n,

所以—久出——=——比——=_2----------------1--------

n+1n+1nn+lf

加入bnbn+1n(n+l)n-(n+1)

所以％=忌一六)+6?-―+(泮-*)+…+Q,(n+i

所以％=套一記F，顯然與在N*上為增函數(shù),sI=?！?=

1_1

lx-'

所以|<s<—；

on

處r帥+1)

縱工'an=

例題4.(03?廣西南寧?南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學?？级?已知數(shù)列｛/J滿足的+a+-+an_r-an

-(n2且?guī)?N*),且a=4.

(1)求數(shù)列｛5｝的通項公式；

()設(shè)數(shù)列｛(…)(；+「)的前，項和為加求證：T"<L

n

【答案】(l)an=

()證明見解析

【詳解】(1)因為a1+a+…+Q九—1—CLn=—，所以的+CL+…+CLn—Q/i+i=-，

兩式相減得=an(n>),

當九=時，ar—a=―,又a=4,所以的=,a=a1>

所以a九+1—afi€N*),

所以｛a,J是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a“=2"UeN*)；

/\ra力_______n____________n_____=1"|■____1__工

U~

^(an-l)(an+1-l)(n—1)(n+1—1)一^-1九+1-1'

所以％=--^)+(士--+-+(^-^71)=<L

因為n+1-1>-l>0,所以〃=1—1為<1,得證.

題型四：通項裂項為“十”型

例題1.(03?浙江嘉興■統(tǒng)考模擬預(yù)測)記分為數(shù)列｛即｝的前九項和，且為=3,S"=mzn-n+n.

⑴求數(shù)列的通項公式；

()設(shè)“=(一1嚴+1.鬻±1,求數(shù)列｛.｝的前n項和二.

un-an+l

【答案】(1)即=n+1

%+喏1

【詳解】(1)因為S九=TLCLn-Tl+Tlf可得S九+1=(TL+1)(1rl+i—(H+1)+?!+1，

兩式相減得a九+1=(n+l)an+1—(n+1)+n+1—nan+n—九，

整理得冊+i-即=,可知數(shù)列｛冊｝是3為首項，為公差的等差數(shù)列，

所以%=3+3(n-1)=71+1.

()由(1)可得：%=(—1尸+1?紀皿=(—1嚴+1[工+工)=-3+丘絲，

an'an+i^anan+i^anan+l

則r“=b+b+…+g=[—2+d]+1■-d+力]+…+[—a+3]

a

LiaJLaa3JLanan+1」

-1,(-l)n+11,(-l)n+1

=----1------=——I-------,

aran+13n+3

所以%=2+(-1廠

n+3

例題.(03春?江蘇南京?高二校聯(lián)考階段練習)已知數(shù)列｛廝｝的前n項和為%,滿足的=1,a=lnc

(1)求｛%J的通項公式；

()若勾=黑，求數(shù)列｛加｝的前0項和70.

【答案】⑴6=n-1；

()To=*

【詳解】(1)由nS九+1—(n+l)S=TI(TI+1),得-~=19而T=a1=1,

nn+1n1

因此數(shù)列曲是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，^=l+(n-l)xl=n,即％=n

當?12時，dn=Sn-S九一1=71—(71-1)=72—1,顯然的—1也滿足上式，

所以%=n—1.

a

()由(1)矢口，Sn=n，n+\=2〃+1,

因此b=(-1產(chǎn).黑=(-1嚴飛+擊)，

所以叱=(1+工)_(工+\+c+.+…+(1+<_』+9=1-：=*

例題3.(03秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習)已知數(shù)列｛5｝滿足：的=1,an=an_1+l(n>).

(1)證明：｛5+1｝是等比數(shù)歹!J,并求｛%J的通項公式；

(一1產(chǎn)(3n+3)

()令%=求｛%｝的前“項和S”.

n(n+l)(an+1+l)

n

【答案】⑴證明見解析，an=-l

=(W1

(瓦一(n+1)n+1

【詳解】(1)證明：由％%1T+1(nN),

所以。九+1=a九-1+3=(%1.1+1),

所以｛。九+1｝是以。1+1=為首項，公比為的等比數(shù)歹U,

所以冊+1=n,即。九=n—1

()由(1)知：與+1+1="+1,所以

又如=1)葉占+而六4

歷以51=一(1+^-)+(▲+—)—(Q+占)+???+(—1嚴(占+.+J.n+J

(-l)n1

=(n+1)~~

例題4.(03?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測)設(shè)正項數(shù)列5｝的前〃項和為無,已知%=5,且廝+1=4S九+

4n+1.

(1)求｛冊｝的通項公式;

（）若“=%必，求數(shù)列｛加｝的前n項和寫.

anan+l

【答案】（l）an=n-l；

'一黑八為偶數(shù)，

"n

-魯，"為奇數(shù)

【詳解】(1)因為a九+i=4szi+4n+1，所以4szi=cin+1—4n—1①,

所以九之時，4s九_1=七一4（九一1）一1②.

,

由@一（2）得4a九=a九+i—dn—4,即％i+i=（。九+3）.

因為｛%J各項均為正數(shù)，所以。九+1=+3,即時+1—。九=，

因為〃3=5,所以的=4(%+a)+9,a=4%+5,解得a=3,at=1,a—at=,

所以數(shù)列是公