高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 講義

第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【必備知識(shí)?逐點(diǎn)夯實(shí)】

【知識(shí)梳理?歸納】

1.四個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1:過不在二線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

符號(hào):A,2,C三點(diǎn)丕共線n存在唯一的a使A,B,C^a.

基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩謹(jǐn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

符號(hào):AGl,BG/,且AGa,Bea=>/cg.

基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們直旦只食透過該點(diǎn)的公共直線.

符號(hào):PGa,且PG日PG1.

基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線強(qiáng).

符號(hào):a〃6,6〃c=a〃c.

2.基本事實(shí)的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線處一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過兩條福交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過兩條平疝直線,有且只有一個(gè)平面.

3.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

項(xiàng)目直線與直線直線與平面平面與平面

關(guān)系符號(hào)

a//ba//aa〃夕

語言

圖形

相交語言

關(guān)系符號(hào)

aHb=AaC\a=AaC￡=l

語言

圖形

-

其他語言

關(guān)系符號(hào)a,b是

qua-

語言異面直線

【微點(diǎn)撥】＞

⑴直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.

⑵兩條直線沒有公共點(diǎn)分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.

4.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)題，那么這兩個(gè)角相等或孰.

5.異面直線所成的角

⑴定義:已知兩條異面直線6,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0分別作直線屋〃〃上把a(bǔ)與，所成的角叫做異面直

線a與b所成的角（或夾角）.

⑵范圍：（0琲

【基礎(chǔ)小題?自測(cè)】

類型辨析改編易錯(cuò)高考

題號(hào)1423

1.（多維辨析）（多選題）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合

B.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

C.兩兩相交的三條直線共面

D.若a,b是兩條直線,a/是兩個(gè)平面，且aua,6u￡廁a,b是異面直線

【解析】選ACD.A中的兩個(gè)平面可能相交;B正確;C中的三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)可能不共面;D中的兩條直

線可能是平行直線.

2.（易錯(cuò)題）若直線I不平行于平面a,且/仁氏則（）

A.a內(nèi)的所有直線與/異面

B.a內(nèi)不存在與I平行的直線

C.a內(nèi)存在唯一的直線與/平行

D.a內(nèi)的直線與/都相交

【解析】選B.由題意知，直線I與平面a相交,則直線I與平面a內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系.因

而只有選項(xiàng)B是正確的.

3.（多選題）（2022?新高考/卷）已知正方體48"）/18<1。1,則（）

A.直線BCi與DAi所成的角為90°

B.直線BCi與CAi所成的角為90°

C.直線BCi與平面BBiDi。所成的角為45°

D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45°

【解析】選ABD.如圖，連接AOi,在正方形AiAOOi中,Ad_LD4i,因?yàn)锳d〃BG.所以8GLD41,所以直線

BCi與所成的角為90。,故A正確.在正方體ABCD-A向中,CO平面8CC向，又BQu平面BCCiBi,

所以CDLBCi,連接&C,則BiCLBCi,因?yàn)镃r>nSC=C,CZ）,BiCu平面DC81A1,所以平面OCBH,又

CAiU平面所以8C」CAi,所以直線BQ與C4所成的角為90。,故B正確.連接4G,交BD于點(diǎn)

O,則易得oc」平面881。。,連接。區(qū)因?yàn)?8U平面8囪。1。所以O(shè)C」OB,/O8C1為直線與平面

BBDD所成的角.設(shè)正方體的棱長為則易得8G=&a,0C產(chǎn)啜所以在RtABOCi中。^爭(zhēng)酊所以

/。8。=30。,故C錯(cuò)誤.因?yàn)镃C平面ABCD所以/CBG為直線BC,與平面ABCD所成的角,易得/

CBG=45。.故D正確.

4.(必修二P134例1變形式)如圖，在三棱錐A-BCD中￡￡G,”分別是棱A8,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，則

(1)當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為菱形；

⑵當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為正方形.

【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，

所以EF=EH,因?yàn)镋F=^AC,EH=lBD,^AC=BD.

(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形，

所以EF=EH且EFLEH.

因?yàn)镋F//AC,EH//BD,

且EF=^AC,EH=^BD,

所以AC=BD且AC±BD.

答案:(1)AC=B。(2)AC^BDSAC1BD

【核心考點(diǎn)?分類突破】

考點(diǎn)一空間位置關(guān)系的判斷

［例1］（1）（多選題）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.若直線/u平面a,直線機(jī)_L平面a,則ml.1

【解析】選AD.對(duì)于選項(xiàng)A,可設(shè)Zi與h相交，這兩條直線確定的平面為a；若h與人相交于8,則交點(diǎn)B在平

面a內(nèi)，同理/3與h的交點(diǎn)A也在平面a內(nèi)，所以ABua,即^ua,選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,若三點(diǎn)共線,則過這

三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè).選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C,空間中兩條直線可能相交、平行或異面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于

選項(xiàng)D,若直線加，平面a,則唐垂直于平面a內(nèi)所有直線.因?yàn)橹本€仁平面區(qū)所以直線機(jī)，直線/,選項(xiàng)D正

確.

（2）如圖,分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH與

MN是異面直線的圖形有.（填序號(hào)）

①②③④

【解析】題圖①中，直線GH〃MN;題圖②中,G,”,N三點(diǎn)共面，但平面GHN,因此直線GH與MN異面題

圖③中，連接MG,則〃//N,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面，但平面GMN,因此GH與MN

異面.所以題圖②④中GH與MN異面.

答案:②④

【解題技法】

1.點(diǎn)、線共面的判斷方法

⑴納入平面法:要證明“點(diǎn)共面”或“線共面”，可先由部分點(diǎn)或直線確定一個(gè)平面,再證其余點(diǎn)或直線也在這個(gè)

平面內(nèi).

(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a.再證明其余元素確定平面￡,最后證明平面a,p重合.

(3)證明四點(diǎn)共面常通過證明四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形或梯形來解決.

2.兩直線位置關(guān)系的判斷

(

空

間

中可構(gòu)造

兩

幾何模

直

線型(長

位方體或

置正方體)

關(guān)

系

)

【微提醒】＞平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知異面直線a,b分別在平面a/內(nèi)，且an/?=c,那么直線c一定()

A.與a力都相交

B.只能與a,b中的一條相交

C.至少與a,b中的一條相交

D.與a,b都平行

【解析】選C.由題意易知,c與a,b都可相交，也可只與其中一條相交，故A,B均錯(cuò)誤;若c與a,b都不相交，則

c與a,b都平行，根據(jù)基本事實(shí)4,知a〃仇與a,b為異面直線矛盾,D錯(cuò)誤.

2.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：

①若a//b,b//c,^]a//c;

②若aJ_b,bJ_c，則a//c;

③若。與b相交乃與C相交，則〃與C相交;

④若au平面a,bu平面￡,則a,b一定是異面直線.上述命題中錯(cuò)誤的是__________(寫出所有錯(cuò)誤命題的序

號(hào)).

【解析】由基本事實(shí)4知①正確;當(dāng)a±b,bLc時(shí),°與c可以相交、平行或異面.故②錯(cuò)誤;當(dāng)a與"目交力

與c相交時(shí),。與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)誤;aua,6u/?,并不能說明a與b不同在任何一個(gè)平面

內(nèi)，故④錯(cuò)誤.

答案:②③④

考點(diǎn)二基本事實(shí)及其應(yīng)用

［例2］如圖，在長方體ABCD-A向CQi中,￡尸分別是81G和QDi的中點(diǎn).求證：

(1)E,F,D,B四點(diǎn)共面；

(2)BE,DF,CCi三線共點(diǎn).

【證明】⑴如圖.連接EFIOBDi,

因?yàn)镋F是ABiCiDi的中位線，所以EF〃BD,

因?yàn)锽Bi與DDi平行且相等，

所以四邊形BDDiBi是平行四邊形，

所以8?！ㄒ?。1,所以EF//BD,

所以E,F,D,B四點(diǎn)共面；

(2)因?yàn)镋F//BD,S.EF豐BD,

所以直線和。尸相交，

延長8瓦。￡設(shè)它們相交于點(diǎn)P,

因?yàn)镻G直線8E,直線8Eu平面BBiCiC,

所以pe平面BBCC,

因?yàn)镻e直線直線u平面CDDiCi,

所以PG平面CDOiG,

因?yàn)槠矫鍮BCCn平面C")iG=CCi,所以PGCG,所以BE,DF,CCX三線共點(diǎn).

DiF,

【解題技法】

L證明空間點(diǎn)共線問題的方法

⑴一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.

⑵選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.

2.共面、共點(diǎn)問題

⑴先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；

(2)利用確定平面的定理如由點(diǎn)構(gòu)造平行直線、構(gòu)造相交直線等.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.如圖,arV=/ABGa,CG￡,且從仇”/,直線三點(diǎn)的平面記作人則y與￡的交線必經(jīng)過()

A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)8

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M

D.點(diǎn)C和點(diǎn)M

【解析】選D.因?yàn)镽所以MG/

又aC0=l,Me/,所以MG0.

根據(jù)基本事實(shí)3可知,M在y與￡的交線上.

同理可知，點(diǎn)C也在y與/?的交線上.

所以y與6的交線必經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)M.

2.已知空間四邊形A8CQ(如圖所示)，瓦尸分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn)，且

CGWBC,C”=[OC.求證：

F/”

(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面；

(2)三直線FH.EGAC共點(diǎn).

【證明】⑴連接EF,GH,因?yàn)镋,F分別是ABAD的中點(diǎn)，所以EF//BD.

又因?yàn)镃G=LBC,CH』DC,

所以GH〃BD所以EF//GH,

所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.

⑵易知FH與直線AC不平行，但共面,

所以設(shè)FH^AC=M,

所以MG平面EFHG,ME平面ABC.

又因?yàn)槠矫鍱FHGCl平面ABC=EG,

所以MeEG,所以FH,EGAC共點(diǎn)

考點(diǎn)三異面直線所成的角

[例3]⑴如圖所示，圓柱。。2的底面半徑為1.高為2,48是一條母線,8。是圓。1的直徑，。是上底面圓周上一

點(diǎn),/C8O=30。,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）

3V35

A.------

35B等

c噂吟

【解析】選C.連接AO2,設(shè)A02的延長線交下底面圓周上的點(diǎn)為及連接CE,易知/CAE（或其補(bǔ)角）即為異面

直線AC與8。所成的角，連接CD（圖略），在RtABCD中,/8。=90。,8。=2,/。8。=30。得BC=V3,CD=1.

又AB=DE=AE=BD=2,AC=y/AB2+FC2=V7,CE=VDC2+DE2=V5.^J^^CAE中,cosZ

222

CAE=AC+AE-CE7+4-5377

2ACAE~2Xy[7x2~14'

即異面直線AC與BD所成角的余弦值為等

14

（2）（2023?武漢模擬）在直三棱柱ABC-AiBjCi中,A8_L8C,AB=BC=AAi,O,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，則異面直線

CiD與BiE所成角的余弦值為（）

A.f

c零D彎

【解析】選D.設(shè)42=2,取AiBi的中點(diǎn)￡連接CiF,DF,DE,則①4/出,

因?yàn)镈,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，

所以DE//AB,DE=^AB,

因?yàn)?8i〃AB,AiBi=AB,

所以DE〃BiF,BiF=DE,

所以四邊形DEBiF為平行四邊形，所以DF//B.E,

所以/GOE為異面直線GO與BiE所成的角或補(bǔ)角.

22

因?yàn)榉謩e為AC,BC的中點(diǎn)，所以DF=BlE=>Jl+2=V5,

CiF=Vl2+22=V5,GD=J(V2)2+22=V6,

所以cosZCi￡)F-^---^=—.

DFV510

【解題技法】

求異面直線所成角的方法

⑴求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用

特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.

(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.

①一作:根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；

②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;

③三求:解三角形，求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角廁它就是要求的角;如果求出的角是鈍角廁它

的補(bǔ)角才是要求的角.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.在正方體ABCDA/iCiOj中，尸為Bid的中點(diǎn)，則直線與ADi所成的角為（）

MC=D=

【解析】選D.如圖，連接因?yàn)椤˙G,所以NPBG為直線PB與AD\所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,貝尸8=乃/口=四,8（71=2&,貝！