2025屆遼寧省沈陽(yáng)市高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆遼寧省沈陽(yáng)市高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣22.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.3.小王因上班繁忙,來(lái)不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是()A. B. C. D.4.已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.35.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)6.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B.C. D.8.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.10.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.11.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值12.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.14.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB15.兩光滑的曲線相切,那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個(gè)外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______16.設(shè),則除以的余數(shù)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在以為頂點(diǎn)的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國(guó)內(nèi)或者國(guó)外的單個(gè)人、多個(gè)人或者單位通過(guò)國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對(duì)自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢問(wèn)、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實(shí)地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病兩種方式進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng),根據(jù)患者的評(píng)分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對(duì)于網(wǎng)絡(luò)看病、實(shí)地看病那種方式的滿意度更高?并說(shuō)明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病實(shí)地看病總計(jì)并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò),作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.20.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)(異于),交曲線于點(diǎn),求的最小值.21.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.22.(10分)設(shè)橢圓,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且直線軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

化簡(jiǎn)z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先求出集合和它的補(bǔ)集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于集合A,,解得或,故.對(duì)于集合B,,解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對(duì)數(shù)不等式的解法,考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是:先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),且不等號(hào)的另一邊化為,然后通過(guò)因式分解,求得對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來(lái)求得一元二次不等式的解集.3、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為,以12:00點(diǎn)為開(kāi)始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】

先求的展開(kāi)式,再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng),從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,當(dāng)取2時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,當(dāng)取時(shí),常數(shù)項(xiàng)為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題,其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

則,

∴.

故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.7、C【解析】

求出集合,計(jì)算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào),即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性,屬于中檔題.9、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.11、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.12、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;B.,值域?yàn)?,奇函?shù),排除;C.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),滿足;D.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問(wèn)題,正難則反,是基礎(chǔ)題.14、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,15、【解析】

第一空:將圓與聯(lián)立,利用計(jì)算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí),圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當(dāng)時(shí),①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項(xiàng)公式,綜合性較強(qiáng),是一道難度較大的題目.16、1【解析】

利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫(xiě)成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可.【詳解】,因展開(kāi)式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開(kāi)分析,本題是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量為,平面的法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié)因?yàn)闉榱庑?,所?因?yàn)?,所?因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵云矫嫫矫?,且平面平面,所以平面所以因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?,所?所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、(1)實(shí)地看病的滿意度更高,理由見(jiàn)解析;(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(3).【解析】

(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個(gè)方面選一個(gè)回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨(dú)立性檢驗(yàn)得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評(píng)分低于80分;在實(shí)地看病中,有的患者評(píng)分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評(píng)分的中位數(shù)為73分,實(shí)地看病評(píng)分的中位數(shù)為87分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分平均分低于80分;實(shí)地看病的滿意度的評(píng)分平均分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分在莖6上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布;實(shí)地看病的評(píng)分分布在莖8,上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布,又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同,故可以認(rèn)為實(shí)地看病評(píng)分比網(wǎng)絡(luò)看病打分更高,因此實(shí)地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.(2)參加網(wǎng)絡(luò)看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有5名對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病滿意,10名對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病不滿意;參加實(shí)地看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有10名對(duì)實(shí)地看病滿意,5名對(duì)實(shí)地看病不滿意.故完成列聯(lián)表如下:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病51015實(shí)地看病10515總計(jì)151530于是,所以有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān).(3)網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)的分?jǐn)?shù)依次為82,85,85,88,92,由小到大分別記為,從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,所有可能情況有:;;;共10種,其中,這2人評(píng)分都低于90分的情況有:;;共6種,故由古典概型公式得這2人評(píng)分都低于90分的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn),考查古典概型的概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1).(2)的方程為.【解析】

(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因?yàn)?,即直線的斜率分別為且,設(shè)點(diǎn),則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思

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