高等數(shù)學(xué)課件同濟(jì)版微積分基本公式

高等數(shù)學(xué)課件-同濟(jì)版微積分基本公式函數(shù)的概念1定義域函數(shù)的定義域是所有允許輸入的自變量的值的集合。2值域函數(shù)的值域是所有可能的輸出值的集合。3對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)將定義域中的每個(gè)自變量值唯一地映射到值域中的一個(gè)輸出值。函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果自變量的值增大，函數(shù)的值也隨之增大，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；反之，如果自變量的值增大，函數(shù)的值隨之減小，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。奇偶性如果函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)；如果函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)。周期性如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱該函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為該函數(shù)的周期。基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)形如y=a^x,其中a>0且a≠1，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞)對(duì)數(shù)函數(shù)形如y=log_ax，其中a>0且a≠1，定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)反函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镋。如果對(duì)任意y∈E，在D中存在唯一的x使得f(x)=y，則稱f(x)在D上是單射的。對(duì)于一個(gè)單射函數(shù)f(x)，我們可以定義一個(gè)新的函數(shù)g(y)，使得g(f(x))=x，稱g(y)為f(x)的反函數(shù)，記為f-1(x)。性質(zhì)反函數(shù)的定義域?yàn)閒(x)的值域，值域?yàn)閒(x)的定義域。反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，即(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))。復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是由多個(gè)函數(shù)組合而成的函數(shù)，例如f(g(x))，其中g(shù)(x)為內(nèi)層函數(shù)，f(x)為外層函數(shù)。求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要使用鏈?zhǔn)椒▌t，即外層函數(shù)對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)，再乘以內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例如，求y=sin(x^2)的導(dǎo)數(shù)，可以先求sin(x^2)對(duì)x^2求導(dǎo)，即cos(x^2)，再乘以x^2的導(dǎo)數(shù)，即2x，最終得到y(tǒng)'=2xcos(x^2)。極限的概念定義當(dāng)一個(gè)函數(shù)的輸入值無(wú)限接近某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的輸出值無(wú)限接近某個(gè)特定值，這個(gè)特定值就是函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的極限。符號(hào)函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限記為：lim(x->a)f(x)。重要性極限的概念是微積分的基礎(chǔ)，它為導(dǎo)數(shù)、積分等概念奠定了理論基礎(chǔ)。極限的性質(zhì)常數(shù)性質(zhì)常數(shù)的極限等于它本身。極限唯一性如果函數(shù)的極限存在，則該極限是唯一的。加法和減法兩個(gè)函數(shù)的極限的和（或差）等于它們各自極限的和（或差）。乘法和除法兩個(gè)函數(shù)的極限的乘積（或商）等于它們各自極限的乘積（或商）。導(dǎo)數(shù)的概念1定義函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率，即函數(shù)值的變化量與自變量的變化量的比值。用公式表示為：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。2幾何意義導(dǎo)數(shù)代表了函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化趨勢(shì)。3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在微積分、物理、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如求函數(shù)的極值、計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度等。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上代表函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的導(dǎo)數(shù)f'(a)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)減一的冪乘以系數(shù)。和差法則兩個(gè)函數(shù)和或差的導(dǎo)數(shù)等于每個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和或差。積法則兩個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)，它反映了函數(shù)變化率的快慢程度。高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，以此類推，稱為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。物理意義二階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中用于描述加速度，三階導(dǎo)數(shù)用于描述加速度的變化率。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)分析、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。微分的概念1定義函數(shù)在一點(diǎn)處的微分是函數(shù)增量線性主部的部分.2公式dy=f'(x)dx.3意義微分近似地刻畫(huà)了函數(shù)在一點(diǎn)附近的局部變化.微分是函數(shù)在一點(diǎn)處增量的線性近似，它反映了函數(shù)在該點(diǎn)附近的局部變化趨勢(shì)。微分公式為dy=f'(x)dx，其中dy為函數(shù)的微分，f'(x)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，dx為自變量的增量。微分的應(yīng)用廣泛，例如，在物理學(xué)中，它可以用來(lái)描述位移、速度和加速度之間的關(guān)系。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，它可以用來(lái)描述利潤(rùn)、成本和收入之間的關(guān)系。微分的性質(zhì)線性近似微分可以用來(lái)近似地表示一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)附近的變化。可加性兩個(gè)函數(shù)之和的微分等于它們各自微分的和。齊次性一個(gè)函數(shù)的微分乘以一個(gè)常數(shù)，等于該函數(shù)的微分乘以該常數(shù)。不定積分1基本概念不定積分是指求導(dǎo)數(shù)為已知函數(shù)的函數(shù)，也稱為原函數(shù)。它表示一個(gè)函數(shù)的“反導(dǎo)數(shù)”。2求解方法不定積分的求解方法通常使用積分公式和積分技巧。3應(yīng)用場(chǎng)景不定積分在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算面積、體積、力學(xué)等。定積分1積分上限積分上限是定積分積分區(qū)域的上限。2積分下限積分下限是定積分積分區(qū)域的下限。3被積函數(shù)被積函數(shù)是在積分符號(hào)下需要進(jìn)行積分的函數(shù)。牛頓-萊布尼茨公式1定積分用積分符號(hào)表示2原函數(shù)連續(xù)函數(shù)3求導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)微積分基本定理1牛頓-萊布尼茨公式連接導(dǎo)數(shù)與積分之間的橋梁，它表明定積分的值等于原函數(shù)在積分區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值之差。2微積分基本定理的意義它揭示了微分與積分之間的相互聯(lián)系，為解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了重要工具。3應(yīng)用應(yīng)用于求解定積分，求解微分方程，以及解決許多工程和物理學(xué)問(wèn)題。廣義積分無(wú)窮積分積分區(qū)間包含無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大。瑕積分積分區(qū)間內(nèi)存在奇點(diǎn)，即被積函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)定義或不連續(xù)。計(jì)算方法利用極限、變量代換等方法計(jì)算廣義積分。函數(shù)的連續(xù)性定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，并且lim(x->x0)f(x)=f(x0)則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)分類第一類間斷點(diǎn)：左右極限存在，但不相等第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在函數(shù)的連續(xù)性判定定義法根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義進(jìn)行判定，即判斷函數(shù)在點(diǎn)x0處左右極限是否存在且相等，并等于函數(shù)值。性質(zhì)法利用函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)進(jìn)行判定，例如基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性等。間斷點(diǎn)法判斷函數(shù)在點(diǎn)x0處是否存在間斷點(diǎn)，若不存在間斷點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)的可導(dǎo)性連續(xù)性可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù)，但連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)意味著該點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率存在。羅爾定理1前提條件函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)2結(jié)論如果函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零3應(yīng)用證明函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的極值、尋找函數(shù)的零點(diǎn)泰勒公式公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+R(x)用途將函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式形式，方便研究函數(shù)的性質(zhì)。應(yīng)用近似計(jì)算函數(shù)值、求解方程、證明不等式。最值問(wèn)題尋找函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，通過(guò)求導(dǎo)和分析函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)和邊界值來(lái)確定最值。在實(shí)際應(yīng)用中，最值問(wèn)題廣泛存在于經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，用于優(yōu)化資源分配、確定最佳設(shè)計(jì)等。曲線的性質(zhì)凹凸性判斷曲線凹凸性，需要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)并判斷其符號(hào)拐點(diǎn)拐點(diǎn)是指曲線凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)，即二階導(dǎo)數(shù)等于零或不存在的點(diǎn)漸近線漸近線是指當(dāng)自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，曲線無(wú)限接近的一條直線曲面的性質(zhì)曲率描述曲面彎曲程度的量，反映了曲面在某一點(diǎn)處的彎曲程度。法線在曲面上某一點(diǎn)處的法線是垂直于該點(diǎn)切平面的直線。主曲率在曲面上某一點(diǎn)處，法截曲線的最大曲率和最小曲率分別稱為主曲率。多元函數(shù)的概念定義多個(gè)自變量的函數(shù)，其輸出值取決于所有自變量的值圖形函數(shù)的圖形需要在多維空間中表示，通常用三維坐標(biāo)系或等高線圖來(lái)展示應(yīng)用廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，用于描述多因素之間的相互關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，其他變量視為常數(shù)。符號(hào)偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)用?表示，例如?f/?x表示函數(shù)f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。意義偏導(dǎo)數(shù)反映了多元函數(shù)在某一點(diǎn)沿著某個(gè)方向的變化率。重積分重積分可以用來(lái)計(jì)算曲面面積、體積、質(zhì)量、重心等物理量。重積分的定義