2024−2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024?2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知與是互斥事件，且，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.92．已知直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知坐標(biāo)原點不在圓的內(nèi)部，則的取值可能為（）A．1 B． C．2 D．?24．從三名男生和兩名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為（

）A． B． C． D．5．已知空間向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．若過點的直線與圓交于M，N兩點，則弦長的最小值為（）A．4 B． C． D．7．已知點，直線，若位于直線的兩側(cè)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．在中，若動點滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩次擲出的點數(shù)之和是”，事件B表示“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（

）A．A與互斥 B．A與相互獨立C．與對立 D．與相互獨立10．如圖，已知正方體的棱長為2，點為正方體的中心，點滿足，則（）A．平面B．平面C．在上的投影向量為D．平面與平面夾角的余弦值為11．已知點在圓上，點，則下列說法正確的是（）A．圓與圓的公共弦方程為B．滿足的點有2個C．若圓與圓、直線AB均相切，則圓的半徑的最小值為D．的最小值是三、填空題（本大題共3小題）12．兩個籃球運動員罰球時命中的概率分別是0.4和0.5，兩人各罰一次球，則他們至少有一人命中的概率是.13．若點和點關(guān)于直線對稱，則．14．已知，，是球上三點，球心的坐標(biāo)為，是球上一動點，則三棱錐的體積的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在四棱柱中，四邊形ABCD為菱形，為AC的中點.(1)用表示，并求的值；(2)求的值.16．已知圓經(jīng)過點和，其圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點且與圓相切，求的方程.17．進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經(jīng)濟(jì)?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為，乙同學(xué)答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲，乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為.（1）求和的值；（2）試求兩人共答對3道題的概率.18．如圖，在四棱臺中，平面，底面為正方形，，點在線段上運動.(1)證明.(2)求異面直線與所成角的余弦值.(3)求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.19．定義：是圓外一點，過點所作的圓的兩條切線（為切點）相互垂直，記圓經(jīng)過點，則稱為圓的“伴隨點”，圓為“伴隨圓”.已知為坐標(biāo)原點，圓為圓的“伴隨點”，圓為“伴隨圓”.(1)求點所在曲線的方程.(2)已知點的橫坐標(biāo)為6，且位于第一象限.（i）求圓的方程；（ii）已知為過點所作的圓的兩條切線的切點，直線與軸分別交于點，過點且斜率為的直線與圓有兩個不同的交點，若，求的方程.

答案1．【正確答案】D【詳解】由，可得.由于與是互斥事件，故.故選：D2．【正確答案】C【詳解】直線的傾斜角為，所以斜率一定存在，且，直線即，所以斜率,即.故選：C3．【正確答案】A【詳解】依題意，方程表示圓，則，解得.因為坐標(biāo)原點不在圓的內(nèi)部，所以.綜上所述，，結(jié)合選項可知A符合題意.故選：A4．【正確答案】B【詳解】記三名男生為A，B，C，兩名女生為1，2，任意選出兩人的樣本空間為，，共10個樣本點，恰好一男生和一女生的樣本點有6個，所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】設(shè)與的夾角為.由，得，兩邊平方得，所以，解得.又，所以.故選：C.6．【正確答案】C【詳解】可化為，可得圓心，半徑．當(dāng)時，MN最小，此時點到的距離，所以MN的最小值為.故選：C7．【正確答案】B【詳解】由，可得，所以直線恒過點，則，由題意，直線只需與線段相交（不包括端點）即可，故的取值范圍為.故選：B8．【正確答案】C【詳解】設(shè)，則，即，即點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.又，所以的取值范圍為.故選：C9．【正確答案】ABD【詳解】試驗的樣本空間，，，.事件，.對于A，A與沒有公共的基本事件，A與互斥，正確；對于B，與相互獨立，B正確；對于C，顯然，與可以同時發(fā)生，C錯誤；對于D，與相互獨立，D正確.故選：ABD.10．【正確答案】AD【詳解】以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，對于A，由，得平面，A正確；對于B，，得EO不與平面平行，B錯誤；對于C，在上的投影向量為，C錯誤；對于D，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，D正確.故選：AD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，和兩式作差，可得，故A正確.對于B，由，可得點的軌跡是以AB為直徑，3為半徑的圓，圓心的坐標(biāo)為，兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，由3，得兩圓相交，則滿足條件的點有2個，故B正確.對于C，直線AB的方程為，即，圓心到直線AB的距離為，所以圓的半徑的最小值為，故C錯誤.對于D，設(shè)存在定點，使得點在圓上任意移動時均有．設(shè)，則有，化簡得．因為，所以，解得，則，所以，故D正確．故選：ABD12．【正確答案】/【詳解】他們至少有一人命中的概率是.故13．【正確答案】?2【詳解】因為點和點關(guān)于直線對稱，所以是線段的垂直平分線，由，可得，解得.又AB的中點坐標(biāo)為，，所以，解得，.故.故答案為.14．【正確答案】【詳解】依題意，，則，則，的面積為，，則球的半徑,設(shè)平面ABC的法向量為，則，令，得，則點到平面ABC的距離，球面上的點到平面距離最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為.故15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可知：，且，則；（2）易知，所以.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知圓心為．①當(dāng)直線的斜率不存在時，易得直線的方程為，符合題意；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即由題意，圓心到直線的距離等于半徑2，即，解得，此時直線的方程為．綜上，所求直線的方程為或．17．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）由互斥事件和對立事件的概率公式列方程組可解得；（2）分別求出兩人答對1道的概率，答對兩道題的概率，兩人共答對3道題，則是一人答對2道題另一人答對1道題，由互斥事件和獨立事件概率公式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè){甲同學(xué)答對第一題}，{乙同學(xué)答對第一題}，則，.設(shè){甲、乙二人均答對第一題}，{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，則，.由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以與相互獨立，與相互互斥，所以，.由題意可得即解得或由于，所以，.（2）設(shè){甲同學(xué)答對了道題}，{乙同學(xué)答對了道題}，，1，2.由題意得，，，，.設(shè){甲乙二人共答對3道題}，則.由于和相互獨立，與相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答對3道題的概率為.關(guān)鍵點點睛：本題考查互斥事件與獨立事件的概率公式，解題關(guān)鍵是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如設(shè){甲同學(xué)答對第一題}，{乙同學(xué)答對第一題}，設(shè){甲、乙二人均答對第一題}，{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，則，．同樣兩人共答對3題分拆成甲答對2題乙答對1題與甲答對1題乙答對2題兩個互斥事件．18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，又為正方形，所以兩兩垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則，所以（2）解：由（1）可得，所以，故異面直線與所成角的余弦值為（3）解：設(shè).因為，所以，則由（1）可得.設(shè)平面的法向量為，則取設(shè)直線與平面所成的角為，則.令，則，所以當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為1；當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為19．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）因為為圓的“伴隨點”，所以四邊形