正余弦定理在日常生活中的應(yīng)用

目錄·開題報(bào)告·研究?jī)?nèi)容·與三角函數(shù)相關(guān)的一些資料·研究方法和手段·與活動(dòng)相關(guān)的·相關(guān)舉例·課題組成員及指導(dǎo)老師開題報(bào)告說到三角函數(shù)就必須提及三角形的來歷和起源、開展與天文學(xué)家密不可分，他是天文觀察結(jié)果推算的一種方法，它的出現(xiàn)不全是因?yàn)楹胶?，歷法推算以及天文觀測(cè)等人類實(shí)踐活動(dòng)的需要，而且也因?yàn)橛钪鎶W秘的巨大吸引力，這種“量天的學(xué)問〞確實(shí)很誘人。在歐洲，最早提出三角學(xué)的是德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔瓊斯〔1436-1476〕并完成了?論各種三角形?，可是他很有局限性，僅采用了正弦、余弦函數(shù)，后來哥白尼的學(xué)生雷提庫斯完善了三角函數(shù)，并采用了六個(gè)三角函數(shù)，大大推動(dòng)了三角函數(shù)學(xué)的開展?，F(xiàn)在利用三角函數(shù)可以計(jì)算出許多抽象的問題，三角函數(shù)雖然在生活中不常常用到，可是科學(xué)家利用函數(shù)大大提高了人們的生活水平，生活中許多東西都用到了三角函數(shù)的原理，并且學(xué)習(xí)三角函數(shù)也能使我們學(xué)會(huì)一些方法，所以我們很有必要研究這門悠久而極具吸引力的文學(xué)。研究?jī)?nèi)容學(xué)而不思那么罔，只有通過自己的獨(dú)立思考，并掌握科學(xué)的思維方法才能真正學(xué)會(huì)教學(xué)要善于利用數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是科學(xué)的思維方法，學(xué)習(xí)類比、推廣、特殊化、化歸的數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力。對(duì)于三角函數(shù)，自然而然是要畫出它的圖像，觀察圖像的形狀，看看其特殊點(diǎn)，并借助圖像研究它的性質(zhì)，如“值域〞、“單調(diào)性〞、“奇偶性〞、“最大值〞、“最小值〞。我們會(huì)明白三角函數(shù)具有“周而復(fù)始〞的規(guī)律。三角函數(shù)與我們的生活息息相關(guān)，因?yàn)槿梭w是一個(gè)包含各種周期運(yùn)動(dòng)的生物體，醫(yī)學(xué)上把周期為24小時(shí)的生理運(yùn)動(dòng)稱中周期運(yùn)動(dòng)，如血壓、血糖濃度的變化。而且聲音中也包含著正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生都能引起聽覺的音。每個(gè)音都是由純音合成的。純音數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asinwt。由此可見三角函數(shù)在生命中起著重要的作用。因而我們小組選三角函數(shù)為課題。三角函數(shù)是什么三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。它有六種根本函數(shù)：函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割

三角函數(shù)的由來三角函數(shù)的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，特別是普通老百姓把數(shù)學(xué)看似一個(gè)非常遙遠(yuǎn)的獨(dú)立的神秘王國，人們誤解數(shù)學(xué)就是搞難題，沒有什么實(shí)際用途。這與我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中不講數(shù)學(xué)的意義，不講數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，不講數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系及其在實(shí)際社會(huì)生活中的應(yīng)用價(jià)值，而是講解題，把數(shù)學(xué)教學(xué)變成了一種純粹的演題訓(xùn)練，使學(xué)生看不見數(shù)學(xué)的本來面目和它的真正意義，失卻了對(duì)大自然的“好奇心〞有著很大的關(guān)系。在學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)這局部?jī)?nèi)容以后，尋找三角函數(shù)在生活中的實(shí)例，通過這些資料，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。在我們的生活中，三角函數(shù)一般被用來：測(cè)量山高、測(cè)量樹高、確定航海行程問題、確定光照及房屋建造合理性、調(diào)整電網(wǎng)，比方兩個(gè)電網(wǎng)并接的時(shí)候、用于山的坡、TAN平面所走的距離、上升的高度。同理還可以測(cè)量樓的高、塔的高、測(cè)量樹高、確定航海行程問題、確定光照及房屋建造合理性。 公園里，小明和小麗開心地玩蹺蹺板，當(dāng)小麗用力將4m長(zhǎng)的蹺蹺板的一端壓下并碰到地面，此時(shí)另一端離地面1.5m．你能求出此時(shí)蹺蹺板與地面的夾角嗎？

T：“另一端離地面1.5m〞如何理解？ S：就是過其端點(diǎn)向地面作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是1.5m。 S：〔另一學(xué)生迫不及待地說〕老師我知道了，我已經(jīng)看出有直角三角形了 T：是嗎？說說看！ S：如果我們把“碰地〞的一端端點(diǎn)看作點(diǎn)A的話，“蹺蹺板〞看作線段AB，那么過B點(diǎn)向地面作垂線，垂足為點(diǎn)C，這樣就出現(xiàn)了△ABC。 T：接下來應(yīng)該做什么呢？ S：只要解這個(gè)直角三角形，求出∠A的大小就行了。 如下圖，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板〔大小忽略不計(jì)〕距地面0.5m．秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，假設(shè)最大擺角〔擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角〕約為60°，那么秋千踏板與地面的最大距離為多少？

T：何時(shí)秋千踏板離地面最高？如何表示出秋千踏板與地面的最大高度？ S：就是當(dāng)秋千到達(dá)最大擺角時(shí)其踏板離地面的高度。 T：這個(gè)距離方便直接求嗎？ S：不方便。因?yàn)樗辉谀骋粋€(gè)直角三角形中，需要構(gòu)造直角三角形。 T：那該如何轉(zhuǎn)化呢？ S：連接…… S：〔另一學(xué)生脫口而出〕不必這么麻煩。只需……得RtΔABC〔如圖4〕。 T：你還能有其它解決問題的方法嗎？如果能，請(qǐng)構(gòu)造成新的直角三角形；如果不能，請(qǐng)你利用圖4寫出計(jì)算過程。 ……接下來，除如圖4的方法外，學(xué)生還給出了多種轉(zhuǎn)化的方法，下面實(shí)錄3種：60o60o60o圖7圖6圖5研究方法和手段今天我們數(shù)學(xué)組帶著問題走訪了數(shù)學(xué)老師以及物理老師。問：我們要研究三角函數(shù)，首先要學(xué)好它，可我們?nèi)绾尾拍芨玫恼莆账?答：其實(shí)很簡(jiǎn)單，函數(shù)都是有規(guī)律的，三角函數(shù)就是周期函數(shù)，只要將圖像畫出來那么解決問題就很簡(jiǎn)單了。問：那么我們就可以進(jìn)行應(yīng)用的調(diào)查了嘛？答：是的，其實(shí)三角函數(shù)的應(yīng)用很廣泛。問：在我們的生活中哪些方面應(yīng)用到三角函數(shù)呢？答：在電學(xué)物理方面應(yīng)用的比較廣泛，比方電學(xué)方面，要利用三角函數(shù)解決它在樞紐帶的靜電量，進(jìn)行一定防治措施，否那么會(huì)讓人觸電死亡。問：