第03講 二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（原卷版）

第03講二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2.一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．要點詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．

二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點詮釋：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點四、求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當時，．要點詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當時，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．【考點剖析】題型一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1．求拋物線的對稱軸和頂點坐標．【變式】把一般式化為頂點式．（1）寫出其開口方向、對稱軸和頂點D的坐標；（2）分別求出它與y軸的交點C，與x軸的交點A、B的坐標.例2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（）A． B． C． D．例3.拋物線與y軸交于(0，3)點：(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；(3)x取什么值時，拋物線在x軸上方？(4)x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？【變式】某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（）-11B.-2C.1D.-5題型二、二次函數(shù)的最值例4．求二次函數(shù)的最小值.【變式】用總長60m的籬笆圍成矩形場地．矩形面積S隨矩形一邊長L的變化而變化．當L是多少時，矩形場地的面積S最大？例5.分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．題型三、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例6．已知二次函數(shù)的圖象過點P(2，1)．（1）求證：；（2）求bc的最大值．【變式】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數(shù)有（）1個B.2個C.3個D.4個例7.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤例8.一條拋物線經(jīng)過A（2，0）和B（6，0），最高點C的縱坐標是1．（1）求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【變式】已知二次函數(shù)（其中a>0，b>0，c<0），關(guān)于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側(cè)．以上說法正確的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）將二次函數(shù)的圖象向左平移m個單位后過點，則m的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）在同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若把二次函數(shù)（）的圖象向左平移4個單位或向右平移1個單位后都會經(jīng)過原點，此二次函數(shù)圖象的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線4．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知拋物線（是常數(shù)，且）過點如果當時，則；若時，則；則的值是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤（的實數(shù)）其中正確結(jié)論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．56．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號是（

）①當時，函數(shù)圖象的頂點坐標為；②當m≠0時，函數(shù)圖象總過定點：③當時，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點、，則當時，函數(shù)在時一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④二、填空題7．（2022秋·浙江紹興·九年級校考期中）在同一坐標系中畫出函數(shù)和的圖象，試寫出這兩個函數(shù)的圖象都具有的一個性質(zhì)______．8．（2019秋·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的圖象如圖，當x____________時，y0．9．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）若將二次函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為，則h=______；k=______．10．（2023秋·浙江·九年級期末）二次函數(shù)，當x滿足時，函數(shù)的最大值為，則m的值為__________.11．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市錦繡中學(xué)校考期中）如圖，已知拋物線與直線交于兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是____．12．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當時，的取值范圍是_______．13．（2023春·浙江杭州·九年級杭州市杭州中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的最大值是___________，最小值是___________．14．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，與軸的交點在之間（包含端點），則的取值范圍為___________．三、解答題15．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）拋物線與y軸交點坐標是．(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求拋物線與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；(3)當x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線經(jīng)過點，．(1)求拋物線解析式及對稱軸．(2)關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，有最小值，有最大值1，求m的取值范圍．17．（2022·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)．(1)用配方法將此函數(shù)化為的形式，并直接寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標；(2)畫出此函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出時的取值范圍．18．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求該函數(shù)解析式．(2)將函數(shù)圖象向下平移1個單位，再向左平移n個單位后，經(jīng)過點，求n的值．(3)若點在該函數(shù)圖象上，當時，函數(shù)的最小值大于，請求出m的取值范圍．19．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一