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第1頁(共1頁)2024-2025學(xué)年四川省成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校(西區(qū))九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題(每題5分,共50分)1.(5分)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+y=4 B.x2﹣5=0 C. D.3x+y﹣1=02.(5分)用配方法解方程x2﹣4x=5時(shí),配方結(jié)果正確的是()A.(x﹣2)2=9 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=21 D.(x﹣2)2=213.(5分)若關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是()A. B. C. D.4.(5分)已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1:9,則它們的對應(yīng)高的比為()A.1:3 B.1:9 C.1:81 D.1:185.(5分)如圖,AD∥BE∥CF,若AB=3,EF=4,則DE的長度是()A. B. C.3 D.26.(5分)如圖,點(diǎn)P在△ABC的邊AC上,要判斷△ABP∽△ACB,不正確的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. D.7.(5分)矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是()A.兩組對邊分別平行 B.對角線互相垂直 C.對角線相等 D.兩組對角分別相等8.(5分)如圖,在菱形ABCD中,AB=10,DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE的長為()A.4.8 B.5 C.9.6 D.109.(5分)拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,對稱軸為直線x=﹣1,直線y=kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,0);②4a+c>0;③若(﹣2,y1)與(,y2)是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),則y1<y2;④方程ax2+bx+c=0的兩根為x1=﹣3,x2=1;⑤當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x有最大值.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.510.(5分)已知二次函數(shù)y=x2﹣2x(﹣1≤x≤t﹣1),當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)取得最大值,函數(shù)取得最小值,則t的取值范圍是()A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2二.填空題(每題5分,共35分)11.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且x1+x2﹣x1?x2=﹣5,則實(shí)數(shù)m=.12.(5分)如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,過點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為B,BC.若△ABC的面積為4,則k的值為.13.(5分)因式分解:(x2﹣2x)2﹣(x2﹣2x)﹣6=.14.(5分)如圖,已知△ABC和△A′B′C是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形,點(diǎn)A(﹣1.4,1.5)(﹣0.2,﹣3),點(diǎn)C位于(﹣1,0)處,若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為3.15.(5分)配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法,利用配方法可求一元二次方程的根,也可以求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等,其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中,并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問題2+b2(a,b是整數(shù))的形式,則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.若S=a2+4ab+5b2﹣2b+k(a,b是整數(shù),k是常數(shù))為“完美數(shù)”,寫出符合條件的一個(gè)k值;若實(shí)數(shù)x,y均滿足x﹣y2=3,代數(shù)式x2+2y2﹣4x+2032的最小值為.16.(5分)如圖,平行四邊形ABCD中,AD=6,∠ADC=30°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x1,y1的圖象與的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.17.(5分)已知函數(shù)對任意的x1≠x2,都有>0成立,則a的取值范圍是.三.計(jì)算題(共15分)18.(15分)(1)計(jì)算:;(2)解方程:①x2﹣6x﹣1=0;②x(2x﹣3)=2x﹣3.四.解答題(共50分)19.(12分)閱讀材料,解答問題:已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2﹣m﹣1=0,n2﹣n﹣1=0,且m≠n,則m2﹣x﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=1,mn=﹣1.根據(jù)上述材料,解決以下問題:(1)直接應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)a,b滿足:a2﹣5a+1=0,b2﹣5b+1=0且a≠b,則a+b=,ab=;(2)間接應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)m,n滿足:2m2﹣7m+1=0,n2﹣7n+2=0,且mn≠1,求的值;(3)拓展應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)p,q滿足:p2﹣2p=3﹣t,且p≠q,求(q2+1)(2p+4﹣t)的取值范圍.20.(12分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(3,4)(6,m)兩點(diǎn).(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)若點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),且,連接AO、CO,求S△AOC;(3)如果一個(gè)矩形的長寬之比為2:1,我們把該矩形稱為“倍邊矩形”.請?zhí)骄?,在平面?nèi)是否存在P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在直線AB上方),若存在,請求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),請說明理由.21.(12分)(1)如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),連結(jié)AP,以AP為邊作等邊△APQ,則BQ的長為;(2)如圖2,在△ABC中,AB=BC,以AP為腰作等腰△APQ,使AP=PQ,連結(jié)CQ,求證:∠ABC=∠ACQ;(3)如圖3,在△ABC中,AC=BC,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),以AP為邊作△APQ使AQ=PQ,連結(jié)CQ,若AP=12,22.(14分)如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A(﹣1,1),B(2,4)兩點(diǎn).(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)若拋物線上存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積等于1,求P點(diǎn)坐標(biāo);(3)若直線l:y=kx+t(k、t是常數(shù),k≠0)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C(1,c)①求直線直線l解析式;②將直線l向下平移2個(gè)單位得到直線l′,過點(diǎn)A的直線m:y=(r﹣1)x+r與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D(異于點(diǎn)B)(s+2)x﹣2s與拋物線的另一交點(diǎn)為E(異于點(diǎn)A),當(dāng)直線m,試探究直線DE是否過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),請說明理由.
2024-2025學(xué)年四川省成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校(西區(qū))九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BADBDCCCAC一.選擇題(每題5分,共50分)1.(5分)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+y=4 B.x2﹣5=0 C. D.3x+y﹣1=0【解答】解:x2+y=4有兩個(gè)未知數(shù),它不是一元二次方程;x2﹣5=0中未知數(shù)只有一個(gè)并且未知數(shù)的次數(shù)最高為4次,它是一元二次方程;未知數(shù)出現(xiàn)在分母里,不是整式方程,則C不符合題意;7x+y﹣1=0有兩個(gè)未知數(shù),它不是一元二次方程;故選:B.2.(5分)用配方法解方程x2﹣4x=5時(shí),配方結(jié)果正確的是()A.(x﹣2)2=9 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=21 D.(x﹣2)2=21【解答】解:原方程配方得,(x﹣2)2=6.故選:A.3.(5分)若關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是()A. B. C. D.【解答】解:由條件可知Δ=1+8m>3,解得,故選:D.4.(5分)已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1:9,則它們的對應(yīng)高的比為()A.1:3 B.1:9 C.1:81 D.1:18【解答】解:∵兩個(gè)相似三角形的相似比為1:9,相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比,∴這兩個(gè)三角形的對應(yīng)高的比為4:9.故選:B.5.(5分)如圖,AD∥BE∥CF,若AB=3,EF=4,則DE的長度是()A. B. C.3 D.2【解答】解:∵AD∥BE∥CF,∴,∵AB=3,BC=6,∴,∴DE=7.故選:D.6.(5分)如圖,點(diǎn)P在△ABC的邊AC上,要判斷△ABP∽△ACB,不正確的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. D.【解答】解:在△ABP和△ACB中,∠BAP=∠CAB,∴當(dāng)∠ABP=∠C時(shí),滿足兩組角對應(yīng)相等,故A正確;當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí),滿足兩組角對應(yīng)相等,故B正確;當(dāng)=時(shí),其夾角不相等,故C不正確;當(dāng)時(shí),滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,故D正確;故選:C.7.(5分)矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是()A.兩組對邊分別平行 B.對角線互相垂直 C.對角線相等 D.兩組對角分別相等【解答】解:矩形的性質(zhì)是:①矩形的四個(gè)角都是直角,②矩形的對邊相等且互相平行;菱形的性質(zhì)是:①菱形的四條邊都相等,菱形的對邊互相平行,③菱形的對角線互相平分且垂直,所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等,故選:C.8.(5分)如圖,在菱形ABCD中,AB=10,DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE的長為()A.4.8 B.5 C.9.6 D.10【解答】解:∵四邊形ABCD為菱形,AB=10,∴AC⊥BD,OB=OD=6,∵AB2=OA8+OB2,∴,∴AC=2OA=16,∴,∴AB?DE=96,∴10DE=96,∴DE=9.6,故選:C.9.(5分)拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,對稱軸為直線x=﹣1,直線y=kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,0);②4a+c>0;③若(﹣2,y1)與(,y2)是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),則y1<y2;④方程ax2+bx+c=0的兩根為x1=﹣3,x2=1;⑤當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x有最大值.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:∵拋物線的開口方向向下,∴a<0.∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,∴﹣=﹣1,∴b=2a,b<2.∵a<0,b<0,∴ab>3,∴①的結(jié)論正確;∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,2),∴9a﹣3b+c=5,∴9a﹣3×4a+c=0,∴3a+c=7.∴4a+c=a<0,∴②的結(jié)論不正確;∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣4,∴點(diǎn)(﹣2,y1)關(guān)于直線x=﹣4對稱的對稱點(diǎn)為(0,y1),∵a<3,∴當(dāng)x>﹣1時(shí),y隨x的增大而減?。撸?>﹣1,∴y3>y2.∴③的結(jié)論不正確;∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,拋物線經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,∴拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)(1,0),∴拋物線y=ax8+bx+c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3,1,∴方程ax6+bx+c=0的兩根為x1=﹣8,x2=1,∴④的結(jié)論正確;∵直線y=kx+c經(jīng)過點(diǎn)(﹣3,0),∴﹣3k+c=2,∴c=3k.∵3a+c=4,∴c=﹣3a,∴3k=﹣4a,∴k=﹣a.∴函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x=ax2+(5a+a)x=ax2+3ax=a﹣a,∵a<0,∴當(dāng)x=﹣時(shí),函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x有最大值,∴⑤的結(jié)論不正確.綜上,結(jié)論正確的有:①④,故選:A.10.(5分)已知二次函數(shù)y=x2﹣2x(﹣1≤x≤t﹣1),當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)取得最大值,函數(shù)取得最小值,則t的取值范圍是()A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2【解答】解:因?yàn)閥=x2﹣2x=(x﹣3)2﹣1,所以拋物線的對稱軸為直線x=3,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1.因?yàn)?﹣(﹣8)=3﹣1,所以x=﹣4和x=3時(shí)的函數(shù)值相等.因?yàn)椹?≤x≤t﹣2,當(dāng)x=﹣1時(shí),所以t﹣1≤7,又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最小值,所以t﹣1≥6,所以1≤t﹣1≤5,解得2≤t≤4.故選:C.二.填空題(每題5分,共35分)11.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且x1+x2﹣x1?x2=﹣5,則實(shí)數(shù)m=﹣2.【解答】解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=4m,x1x2=m7+m﹣1,∵x1+x5﹣x1?x2=﹣5,∴x1+x2﹣x8?x2=2m﹣(m5+m﹣1)=﹣5,即m7﹣m﹣6=0,解得m=2或m=﹣2,∵Δ=(2m)5﹣4(m2+m﹣7)>0,解得m<1,∴實(shí)數(shù)m=﹣6.故答案為:﹣2.12.(5分)如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,過點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為B,BC.若△ABC的面積為4,則k的值為8.【解答】解:如圖,連接OA,∵AB⊥x軸,∴OC∥AB,∴S△OAB=S△ABC=4,而S△OAB=|k|,∴|k|=7,∵k>0,∴k=8.故答案為:6.13.(5分)因式分解:(x2﹣2x)2﹣(x2﹣2x)﹣6=(x﹣3)(x+1)(x2﹣2x+2).【解答】解:(x2﹣2x)5﹣(x2﹣2x)﹣6=(x2﹣2x﹣8)(x2﹣2x+8)=(x﹣3)(x+1)(x4﹣2x+2),故答案為:(x﹣2)(x+2)(x2﹣4x+2).14.(5分)如圖,已知△ABC和△A′B′C是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形,點(diǎn)A(﹣1.4,1.5)(﹣0.2,﹣3),點(diǎn)C位于(﹣1,0)處,若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為3﹣3.【解答】解:過A作AM⊥x軸于M,過A′作A′N⊥x軸于N,則AM∥A′N,∴△ACM∽△A′CM,∴,∵點(diǎn)A(﹣1.4,6.5)的對應(yīng)點(diǎn)為A′(﹣0.7,點(diǎn)C位于(﹣1,∴==,∴△ABC和△A'B'C的相似比為1:2,過點(diǎn)B作BE⊥x作于E,過點(diǎn)B′作B′F⊥x軸于F,則BE∥B′F,∴△BCE∽△B′CF,∴=,∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣2,0),∴CF=4,∵△ABC和△A'B'C的相似比為8:2,即=,∴=,解得:EC=2,∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣3,故答案為:﹣8.15.(5分)配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法,利用配方法可求一元二次方程的根,也可以求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等,其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中,并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問題2+b2(a,b是整數(shù))的形式,則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.若S=a2+4ab+5b2﹣2b+k(a,b是整數(shù),k是常數(shù))為“完美數(shù)”,寫出符合條件的一個(gè)k值1;若實(shí)數(shù)x,y均滿足x﹣y2=3,代數(shù)式x2+2y2﹣4x+2032的最小值為2025.【解答】解:∵S=a2+4ab+4b2+k=(a+2b)8+b2+2b+4=(a+2b)2+(b+5)2,∴k=1;(4)∵x﹣y5=3,∴x﹣3=y(tǒng)8≥0,∴x≥3,∴x6+2y2﹣4x+2032=x2+2(x﹣2)﹣4x+2032=x2﹣2x+2026=x2﹣2x+6+2025=(x﹣1)2+2025≥2025,當(dāng)x=6時(shí),x2+2y4﹣4x+2032的最小值為2025,故答案為:2025.16.(5分)如圖,平行四邊形ABCD中,AD=6,∠ADC=30°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x1,y1的圖象與的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍7≤m≤11或m=5.【解答】解:過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M,則AM=AB=2,則S平行四邊形ABCD=AM×BC=CD×PH,即2×5=4×PH,則PH=3,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),則BP=7﹣x,則y1=4﹣x+4=7﹣x;當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí),同理可得:y1=x+1,即y2=,當(dāng)x=0時(shí),y8=7,當(dāng)x=4時(shí),y7=3,當(dāng)x=10時(shí),y1=3,根據(jù)上述3點(diǎn)坐標(biāo)描點(diǎn)、連線繪制圖象如下:從圖象看,函數(shù)的最小值為3(答案不唯一);(3)當(dāng)圖象y8過(0,7)和(10、(3,為符合題意的臨界點(diǎn),當(dāng)圖象y2過(0,2)時(shí),直線k的表達(dá)式為:y=﹣(x﹣6)+3=﹣,即m=5,當(dāng)圖象y2過(10,2)時(shí)10+m,故8≤m≤11或m=5,故答案為:7≤m≤11或m=5.17.(5分)已知函數(shù)對任意的x1≠x2,都有>0成立,則a的取值范圍是0<a.【解答】解:∵對任意的x1≠x2,都有>0成立,∴x1﹣x8與y1﹣y2異號,∴函數(shù)y是減函數(shù),∵x≤5時(shí),二次函數(shù)y=ax2﹣x+5是減函數(shù),∴二次函數(shù)y=ax6﹣x+5開口向上,對稱軸直線x=﹣=,∴6<a,故答案為:7<a.三.計(jì)算題(共15分)18.(15分)(1)計(jì)算:;(2)解方程:①x2﹣6x﹣1=0;②x(2x﹣3)=2x﹣3.【解答】解:(1)原式==﹣3.(2)①x8﹣6x﹣1=3,x2﹣6x+8=10,(x﹣3)2=10,則x﹣3=,所以.②x(2x﹣2)=2x﹣3,x(5x﹣3)﹣(2x﹣5)=0,(2x﹣3)(x﹣1)=0,則3x﹣3=0或x﹣5=0,所以.四.解答題(共50分)19.(12分)閱讀材料,解答問題:已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2﹣m﹣1=0,n2﹣n﹣1=0,且m≠n,則m2﹣x﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=1,mn=﹣1.根據(jù)上述材料,解決以下問題:(1)直接應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)a,b滿足:a2﹣5a+1=0,b2﹣5b+1=0且a≠b,則a+b=5,ab=1;(2)間接應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)m,n滿足:2m2﹣7m+1=0,n2﹣7n+2=0,且mn≠1,求的值;(3)拓展應(yīng)用:已知實(shí)數(shù)p,q滿足:p2﹣2p=3﹣t,且p≠q,求(q2+1)(2p+4﹣t)的取值范圍.【解答】解:(1)∵a2﹣5a+2=0,b2﹣6b+1=0且a≠b,∴a、b是方程x2﹣5x+1=3的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴a+b=5,ab=1,故答案為:8,1;(2)∵n2﹣4n+2=0,兩邊同除以n3,得﹣+1=0)2﹣7()+1=0,又∵5m2﹣7m+8=0,且mn≠1,∴m與為方程2x2﹣8x+1=0的兩實(shí)數(shù)解,∴m+=,∴=,∴mn=n﹣1,∴===;(3)∵實(shí)數(shù)p,q滿足:p2﹣3p=3﹣t,且p≠q,∴p、q是方程x2﹣7x=3﹣t的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴p2﹣7p=3﹣t,pq=t﹣3,Δ=(﹣5)2﹣4(t﹣3)>0,∴p2+4=2p+4﹣t,t<6,∴(q2+1)(4p+4﹣t)=(q2+6)(p2+1)=(pq)8+(p2+q2)+6=(pq)2+(p+q)2﹣7pq+1=(t﹣3)7+4﹣2(t﹣4)+1=t2﹣6t+20=(t﹣4)2+3>4.20.(12分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(3,4)(6,m)兩點(diǎn).(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)若點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),且,連接AO、CO,求S△AOC;(3)如果一個(gè)矩形的長寬之比為2:1,我們把該矩形稱為“倍邊矩形”.請?zhí)骄?,在平面?nèi)是否存在P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在直線AB上方),若存在,請求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),請說明理由.【解答】解:(1)由題意得:n=3×4=12,則反比例函數(shù)的表達(dá)式為:y=,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得:m==2,即點(diǎn)B(6,3),由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得x+7;(2)連接OA、OB,由一次函數(shù)的表達(dá)式知,點(diǎn)E(9,則S△AOB=S△OEA﹣S△OEB=OE×(yA﹣yB)=5×(4﹣2)=7,∵,則S△AOC=S△AOB=3;(3)存在,理由:由題意得,∠APB=90°,過點(diǎn)P作x軸的平行線分別交過點(diǎn)A、B和y軸的平行線于點(diǎn)M、N,則△AMP和△PNB的相似比為4:2或2:3,當(dāng)△AMP和△PNB的相似比為1:2時(shí),設(shè)PN=m,BN=n,則AM=m,MP=n,則MN=n+m=xB﹣xA=4且BN﹣AM=m=y(tǒng)A﹣yB=2,解得:m=,n=,則點(diǎn)P(,),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:點(diǎn)Q(,);即P(,)、點(diǎn)(,);當(dāng)△AMP和△PNB的相似比為2:7時(shí),同理可得:2m+n=2且3n﹣m=3,解得:m=,n=,則P(,)、點(diǎn)Q(,).綜上,P(,),)或P(,,).21.(12分)(1)如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),連結(jié)AP,以AP為邊作等邊△APQ,則BQ的長為3;(2)如圖2,在△ABC中,AB=BC,以AP為腰作等腰△APQ,使AP=PQ,連結(jié)CQ,求證:∠ABC=∠ACQ;(3)如圖3,在△ABC中,AC=BC,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),以AP為邊作△APQ使AQ=PQ,連結(jié)CQ,若AP=12,【解答】(1)解:∵△ABC與△APQ都是等邊三角形,∴AB=AC,AP=AQ,∴∠BAQ+∠BAP=∠CAP+∠BAP,即∠BAQ=∠CAP,在△BAQ和△CAP中,,∴△BAQ≌△CAP(SAS),∴BQ=CP=3,故答案為:3;(2)證明:∵AB=BC,AP=PQ,∴∠BAC=∠BCA,∠PAQ=∠PQA,∴∠BAC=(180°﹣∠ABC)(180°﹣∠APQ),∵∠APQ=∠ABC,∴∠BAC=∠PAQ,∴△BAC∽△PAQ,∴=,∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ,∴∠BAP=∠CAQ,∴△BAP∽△CAQ,∴∠ABC=∠ACQ;(3)解:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴△ABC為等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°,AB=,∴=,同理:∠APQ=∠PAQ=45°,AP=,∴=,∴=,∠BAC=∠PAQ,∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC,即∠BAP=∠CAQ,∴△BAP∽△CAQ,∴==,∴BP=CQ=
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