角2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)講義（人教版）

20242025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步復(fù)習(xí)講義（人教版）角教學(xué)目標(biāo)1．掌握角度制及角度的換算方法，了解角平分線、互余、互補(bǔ)的概念，掌握有關(guān)角平分線、互余、互補(bǔ)的求角度問題；2．經(jīng)歷自主探究的過程，提高計(jì)算能力，分析和解決問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化的思想；3．體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：角的換算、方位角、角平分線、互余、互補(bǔ)的求角度問題；難點(diǎn)：鐘表上有關(guān)夾角問題及運(yùn)算，運(yùn)用補(bǔ)角和余角的性質(zhì)解決實(shí)際問題。教學(xué)內(nèi)容角角知識(shí)點(diǎn)二：角的度量1、角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.2、角的表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示；二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示；三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來表示.3、角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同；②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度（即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行；③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一乘60。4、角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°知識(shí)點(diǎn)三：角的比較與運(yùn)算1、角的比較方法:①度量法；②疊合法.2、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.知識(shí)點(diǎn)四：角的互余、互補(bǔ)關(guān)系1、余角、補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角（或補(bǔ)角）是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角（或補(bǔ)角）.②一個(gè)角的余角（或補(bǔ)角）可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”.知識(shí)點(diǎn)四：方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的，所以在應(yīng)用中：一要確定其始邊是正北還是正南；二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西；三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小。（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向。（3）方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛?！究键c(diǎn)1：角的概念與表示方法】【例1】在下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角，∠O表示的角與∠1，∠AOB表示的角不同，故A選項(xiàng)不合題意；B、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角，∠O可以表示多個(gè)角，故B選項(xiàng)符合題意；C、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角，∠1，∠AOB表示不同角，∠O可表示多個(gè)角，故C選項(xiàng)不合題意；D、能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式訓(xùn)練】1、如圖，下列說法中不正確的是（）A．∠1與∠AOB是同一個(gè)角 B．∠α與∠COB是同一個(gè)角 C．∠AOC可以用∠O來表示 D．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【答案】C【解答】解：A、∠1與∠AOB是同一個(gè)角，正確，故A不符合題意；B、∠α與∠COB是同一個(gè)角，正確，故B不符合題意；C、在角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才能用一個(gè)大寫字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合題意；D、圖中共有三個(gè)角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正確，故D不符合題意．故選：C．2、下列說法中，正確的有個(gè)①小于90°的角是銳角；②等于90°的角是直角；③大于90°的角是鈍角；④平角等于180°；⑤周角等于360°．【答案】3【解析】解：①小于90°的角也可能是0°，不一定是銳角，原說法錯(cuò)誤；②等于90°的角是直角，說法正確；③平角大于90°但不是鈍角，原說法錯(cuò)誤；④平角等于180°，說法正確；⑤周角等于360°，說法正確，故正確有3個(gè)3、如圖所示，回答下列問題：（1）寫出能用一個(gè)字母表示的角：________________；（2）寫出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角________________；（3）圖中共有______________個(gè)小于平角的角．【答案】（1）∠A,∠C（2）∠ABE,∠EBC,∠ABC（3）7【解析】（1）解：能用一個(gè)字母表示的角有：∠A，∠C．故答案為：∠A，∠C．（2）以B為頂點(diǎn)的角有：∠ABE，∠ABC，∠EBC．故答案為：∠ABE，∠ABC，∠EBC．（3）圖中共有7個(gè)小于平角的角，分別是：∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠A，∠C，∠BEA，∠BEC．故答案為：7．【考點(diǎn)2：角的個(gè)數(shù)問題】【例2】如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時(shí)，則圖中共有3個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時(shí)，則圖中共有6個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時(shí)，則圖中共有10個(gè)角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時(shí)，則圖中角的個(gè)數(shù)是（）A．190 B．380 C．231 D．462【答案】C【解答】解：由題可得，畫n條射線所得的角的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），∴當(dāng)n＝20時(shí)，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．故選：C．【變式訓(xùn)練】1、如圖，在已知一個(gè)角內(nèi)部畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角；求畫9條射線得的角的個(gè)數(shù)是（）A．10個(gè) B．18個(gè) C．45個(gè) D．55個(gè)【答案】D【解答】解：∵在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角，3＝（1+1）（1+2）；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角，6＝（2+1）（2+2）；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角，10＝（3+1）（3+2）；…，∴畫n條射線，圖中共有（n+1）（n+2）個(gè)角，∴畫9條射線所得的角的個(gè)數(shù)是（9+1）（9+2）＝55（個(gè)），故選：D．2、歸納與猜想：（1）觀察上圖填空：圖1中有個(gè)角；圖2中有個(gè)角；圖3中有個(gè)角；（2）根據(jù)（1）題猜想：在一個(gè)角內(nèi)引n?2條射線可組成個(gè)角．

【答案】3610n(n?1)【解析】

如圖1所示，射線OA可以與射線OB，OC組成2個(gè)角，射線OB可以與射線OC組成1個(gè)角，所以圖1中共有3個(gè)角．如圖2所示，射線OA可以與射線OB，OC，OD組成3個(gè)角，射線OB可以與射線OC，OD組成2個(gè)角，射線OC可以與射線OD組成1個(gè)角，所以圖2中共有6個(gè)角．如圖3所示，射線OA可以與射線OB，OC，OD，OE組成4個(gè)角，射線OB可以與射線OC，OD，OE組成3個(gè)角，射線OC可以與射線OD，OE組成2個(gè)角，射線OD可以與射線OE組成1個(gè)角，所以圖3中共有10個(gè)角．在一個(gè)角內(nèi)引n?2條射線，則共有n條射線，可以組成的角的個(gè)數(shù)=n?1故答案為：3，6，10，nn?1【考點(diǎn)3：角的單位與角度制】【例31】把7.26°用度、分、秒表示正確的是（）A．7°2'12″ B．7°2'6【答案】C【解析】解：∵1°=60∴0.26°=15.6∵1'∴0.6∴7.26°=7°15【例32】用度表示49°31′21″＝．【答案】49.5225°【解答】解：∵1′＝60″，∴21″＝0.35′，∵1°＝60′，∴31.35′＝0.5225°，∴用度表示49°31′21″＝49.5225°【變式訓(xùn)練】1、30.12°＝°′″；100°12′36″＝°．【答案】30，7，12，100.21．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.12°＝7.2′，∵1′＝60″，∴0.2′＝12″，∴30.12°＝30°7′12″，∵1′＝60″，∴36″＝0.6′，∴12′+0.6′＝12.6′，∵1°＝60′，∴12.6′＝0.21°，∴100°12′36″＝100.21°，故答案為：30，7，12，100.21．2、（1）26.25°=°′；（2）57°27'=【答案】261557.45°【解析】解：1°=60（1）∵0.25°×60=15'，∴（2）∵27'÷60=0.45°【考點(diǎn)4：角的四則運(yùn)算】【例4】計(jì)算：（1）180°?46°42'（2）28°36'（3）50°24'（4）49°28'5【答案】133°18'101°151°1【解析】（1）180°?46°4==133°18（2）28°3==100°+1°=101°；（3）50°2=50°×3+2=150°+1°1=151°12（4）49°2=48°÷4+1°2=12°+8=12°+2=12°22故答案為：133°18'，101°，151°12【變式訓(xùn)練】1、計(jì)算：（1）45°10′﹣21°35′20′′；（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；（3）42°16′+18°23′×2．【答案】（1）23°34′40′′（2）94°53′（3）79°2′（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′=116°10′21°17′=94°53′．（3）解：42°16′+18°23′×2=42°16′+36°46′=79°2′．2、計(jì)算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．【解題思路】（1）角度的相減，把度、分、秒分別相減，不夠減時(shí)，借1゜當(dāng)作60′，并入原數(shù)相減；（2）角度的相加，也要把度、分、秒分別相加，注意滿60要進(jìn)位；（3）角度的除法，先從度開始，余數(shù)由度化成分來除，重復(fù)上一步驟將除后余下的分化成秒來除；【解答過程】解：（1）90°﹣36°12′15″＝89°59′60″﹣36°12′15″＝53°47′45″．（2）32°17′53″+42°42′7″＝74°59′60″＝75°．（3）53°÷8＝6°37′30″．3、計(jì)算72°34′÷2+18°33′×4＝．【解題思路】先算乘除法，再算減法即可求解．【解答過程】解：72°34′÷2+18°33′×4＝36°17′+74°12′＝110°29′．故答案為：110°29′．【考點(diǎn)5：鐘表問題】【例5】上午8：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（）A．75° B．80° C．70° D．67.5°【答案】A【解答】解：如圖：8點(diǎn)30分，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格．∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴上午8：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是2.5×30°＝75°．故選：A．【變式訓(xùn)練】1、小亮研究鐘面角（時(shí)針與分針組成的角），2：15的鐘面角為度．【答案】22.5【解答】解：由題意得：30°﹣15×0.5°＝30°﹣7.5°＝22.5°，故答案為：22.52、下午3：40，時(shí)針和分針的夾角是（）A．130° B．135° C．140° D．145°【答案】A【解答】解：下午3：40，時(shí)針和分針相距的份數(shù)是4+＝，此時(shí)鐘面上的時(shí)針與分針的夾角是30°×＝130°．故選：A．3、時(shí)鐘在7時(shí)50分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為度．【答案】65【解析】解：時(shí)鐘在7時(shí)50分時(shí)，時(shí)針在7和8之間，分針指向10，∵鐘面上每一大格的度數(shù)為：360°÷12=30°，∴8和10之間兩個(gè)大格的度數(shù)為2×30°=60°，時(shí)針與刻度8之間的度數(shù)為30°×60?50∴時(shí)針與分針的夾角等于60°+5°=65°4、從8：13分到8：37分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（

）A．148° B．144° C．136° D．108°【答案】B【解析】解：鐘面上每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為360°12=30°，每一個(gè)“小格”所對(duì)應(yīng)的圓心角為從8：13分到8：37分，分鐘轉(zhuǎn)過37?13=24個(gè)“小格”，所以從8：13分到8：37分，分針轉(zhuǎn)過的角度是6°×24=144°，故選：B．5、某同學(xué)晚上6點(diǎn)多鐘開始做作業(yè)，他家墻上時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是120°，他做完作業(yè)后還是6點(diǎn)多鐘，且時(shí)針和分針的夾角還是120°，此同學(xué)做作業(yè)大約用了（）A．40分鐘 B．42分鐘 C．44分鐘 D．46分鐘【解題思路】根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，可列方程求解．【解答過程】解：設(shè)開始做作業(yè)時(shí)的時(shí)間是6點(diǎn)x分，∴6x﹣0.5x＝180﹣120，解得x≈11；再設(shè)做完作業(yè)后的時(shí)間是6點(diǎn)y分，∴6y﹣0.5y＝180+120，解得y≈55，∴此同學(xué)做作業(yè)大約用了55﹣11＝44分鐘．故選：C．【考點(diǎn)6：方位角】【例6】如圖，在O點(diǎn)的觀測(cè)站測(cè)得漁船A位于東北方向，漁船B位于南偏西30°方向，為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效益，漁船C恰好位于∠AOB的平分線上，則漁船C相對(duì)觀測(cè)站O的方向?yàn)椋ǎ〢．南偏東52.5° B．南偏東37.5° C．南偏東53.5° D．南偏東82.5°【答案】A【解答】解：由題意得，∠AON＝∠AOE＝45°，∠BOS＝30°，∴∠AOB＝∠AOE+∠EOS+∠SOB＝45°+90°+30°＝165°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝82.5°，∴∠COS＝∠BOC﹣∠BOS＝82.5°﹣30°＝52.5°，即C在O的南偏東52.5°，故選：A．【變式訓(xùn)練】1、如圖，B地在A地的（）A．北偏東60°，相距200m處 B．北偏西60°，相距200m處 C．南偏西60°，相距200m處 D．北偏東30°，相距200m處【答案】B【解答】解：B地在A地的北偏西60°，相距200m處，故選：B．2、如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．【答案】90【解答】解：由題意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案為：90．【考點(diǎn)7：利用角平分線的定義求角度】【例7】如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝30°，求∠EOB的大小．【解答】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，又∵∠COE＝∠COF+∠FOE，∠COF＝30°，∴∠FOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝120°，又∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣120°＝60°．【變式訓(xùn)練】1、O是直線AE上一點(diǎn)，∠BOD＝90°，OC平分∠BOE，∠COD＝25°．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）求∠AOD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠BOD＝90°，∠COD＝25°，∴∠BOC＝65°，∵OC平分∠BOE，∴∠COE＝∠BOC＝65°；（2）∵∠COE＝65°，∠COD＝25°，∴∠DOE＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°．2、如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠BOC＝120°．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）求∠DOM的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AON＝150°，∴∠BON＝180°﹣150°＝30°．∵OB平分∠MON，∴∠MON＝2∠BON＝60°，答：∠MON的度數(shù)是60°；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC＝60°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣60°＝120°，由（1）得，∠BOM＝∠BON＝30°，∴∠DOM＝∠BOD+∠BOM＝150°．3、已知，如圖所示，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）若∠AOB＝130°，則∠COE是多少度？（2）若∠COE＝65°，∠COD＝20°，則∠BOE是多少度？【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，∴∠AOC＝∠COD＝∠AOD，∵OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD，∵∠AOB＝130°，∴∠COE＝∠EOD+∠COD＝（∠AOD+∠BOD）＝∠AOB＝65°；（2）∵∠COE＝65°，∠COD＝20°，∴∠EOD＝∠COE﹣∠COD＝65°﹣20°＝45°，∴∠BOE＝∠EOD＝45°．4、如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°①求∠BOD的度數(shù)；②OE是∠BOC的平分線嗎？為什么？【解答】解：①∵∠AOC＝50°，OD平分AOC，∴∠1＝∠2＝∠AOC＝25°，∴∠BOD的度數(shù)為：180°﹣25°＝155°；②∵∠AOC＝50°，∴∠COB＝130°，∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，∴∠COE＝65°，∴∠BOE＝65°，∴OE是∠BOC的平分線．【考點(diǎn)8：設(shè)未知數(shù)求角度】【例81】如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠COE＝x，∵∠BOE＝3∠COE，∴∠BOE＝3x，∠BOC＝4x，∵∠DOE＝81°，∴∠DOC＝81°﹣x，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2（81°﹣x），∴2（81°﹣x）+4x＝180°，解得：x＝9°，∴∠BOE＝27°，∠AOD＝∠DOC＝81°﹣9°＝72°．【例82】如圖，∠AOC與∠BOC的度數(shù)比為5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠AOC＝5x，則∠BOC＝2x，∠AOB＝7x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC∴15°＝x﹣2x，解得x＝10°，∴∠AOB＝7×10°＝70°．【變式訓(xùn)練】1、如圖，點(diǎn)O在直線AC上，OD平分∠AOB，∠COE＝2∠EOB，∠DOE＝70°，求∠EOC．【解答】解：設(shè)∠AOB＝x，則∠BOC＝180°﹣x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝60°﹣x，由題意得，x+60°﹣x＝70°，解得，x＝60°，∠EOC＝（180°﹣x）＝80°．2、如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度數(shù)．【解答】解：由題意，可設(shè)∠AOC＝x，∠BOC＝5x．∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝＝3x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．∴x＝18°．∴∠AOB＝6x＝108°【考點(diǎn)9：余角、補(bǔ)角的性質(zhì)】【例91】若∠α與∠β互余，且∠α＝3∠β，則∠β＝（）A．22°30' B．22°50' C．25° D．45°【答案】A【解答】解：由題意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β．解得：∠β＝22.5°＝22°30′．故選：A．【例92】已知∠α＝25°30'，則它的補(bǔ)角為（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【答案】D【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．故選：D．【變式訓(xùn)練】1、已知∠α＝60°36′，則∠α的余角是．（用度表示）【答案】29.4°【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣60°36′＝29°24′＝29.4°，∴∠α的余角是29.4°，故答案為：29.4°．2、如圖，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠C＝90°；又∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，故圖中與∠B互余的角有2個(gè)．故選：B．3、已知一個(gè)角的補(bǔ)角是115°，則這個(gè)角是度．【答案】65【解答】解：∵一個(gè)角的補(bǔ)角是115°，∴這個(gè)角的度數(shù)是：180°﹣115°＝65°，故答案為：65．【考點(diǎn)10：利用補(bǔ)角和余角計(jì)算求值】【例10】若一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的2倍還多70°，則這個(gè)角的度數(shù)為多少度？【解答】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x°，則它的補(bǔ)角為：180°﹣x°，余角為90°﹣x°，由題意，得：（180﹣x）﹣2（90﹣x）＝70．解得：x＝70．答：這個(gè)角的度數(shù)為70°．【變式訓(xùn)練】1、若一個(gè)角的補(bǔ)角加上20°后等于這個(gè)角余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【解答】解：設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為90°﹣x，補(bǔ)角180°﹣x，根據(jù)題意得，180°﹣x+20°＝3（90°﹣x），解得x＝35°．故選：B．2、若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：設(shè)這個(gè)角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α．由題意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故這個(gè)角的度數(shù)為30°．故選：A．3、已知一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的還少5°，求這個(gè)角．【解答】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x°，則90﹣x＝（180﹣x）﹣5，解得：x＝27，即這個(gè)角的度數(shù)是27°，答：這個(gè)角的度數(shù)是27°．【考點(diǎn)11：補(bǔ)角、余角和角平分線綜合運(yùn)算】【例11】如圖，∠AOC和∠AOB分別是∠AOD的余角和補(bǔ)角，且OD是∠BOC的平分線．求∠AOD的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠AOD＝x，∵∠AOC與∠AOD互余，∴∠AOC＝90°﹣x，又∵∠AOB與∠AOD互補(bǔ)，∴∠AOB＝180°﹣x，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°，又∵OD是∠BOC平分線，∴∠BOD＝∠DOC＝45°，∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝90°﹣x+45°＝x，解得：x＝67.5°，∴∠AOD的度數(shù)是67.5°．【變式訓(xùn)練】1、如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度數(shù)；（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AOC＝3∠COD，∠COD＝10°，∴∠AOC＝30°，∴∠AOC的余角＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC的余角的度數(shù)是60°；（2）∵∠AOC＝3∠COD，∠AOC＝45°，∴，∵點(diǎn)A，O，B在一條直線上，∴∠AOB＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣45°﹣15°＝120°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝15°+60°＝75°，∴∠COE的度數(shù)為75°．2、如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOC，∠DOE的度數(shù)；（2）寫出∠BOE的余角．【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，又∵∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠DOC+∠COE＝90°，即∠DOE＝90°；（2）∵∠DOE＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠DOA＝∠DOC，∴∠BOE+∠COD＝90°，∴∠BOE的余角是∠DOC和∠DOA．3、如圖，已知∠AOB的補(bǔ)角等于它的余角的10倍．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)∠AOB＝x，由題意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），解得x＝80°．所以∠AOB的度數(shù)為80°．（2）設(shè)∠BOD＝y(tǒng)，則∠AOC＝3y，∵OD平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，由題意得：3y+2y+80°＝360°，解得y＝56°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+56°＝136°．4、將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為；（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數(shù)為；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，∵∠ECB＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，故答案為：145；（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，∵∠ECB＝90°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，故答案為：35°18′；（3）∠ACB與∠DCE互補(bǔ)，理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝1