【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)必修四課時(shí)作業(yè)：第二章-章末檢測(cè)(A)

其次章平面對(duì)量（A）(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．與向量a＝(1，eq\r(3))的夾角為30°的單位向量是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))或(1，eq\r(3))B．(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))C．(0,1)D．(0,1)或(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))2．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)－b與b垂直D．a(chǎn)∥b3．已知三個(gè)力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力f4，則f4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則a＋b＋c的模等于()A．0B．2＋eq\r(2)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)5．若a與b滿足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則a·a＋a·b等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．26．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB．eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x等于()A．6B．5C．4D．38．向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(4，－3)，向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－4)，則△ABC的外形為()A．等腰非直角三角形B．等邊三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形9．設(shè)點(diǎn)A(1,2)、B(3,5)，將向量eq\o(AB,\s\up6(→))按向量a＝(－1，－1)平移后得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))為()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a與b的夾角是鈍角，則λ的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))11．在菱形ABCD中，若AC＝2，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．2B．－2C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosAD．與菱形的邊長(zhǎng)有關(guān)12．如圖所示，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是()A．eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))B．eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))C．eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))D．eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→))二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________．14．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝______．15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．16．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)已知a，b，c在同一平面內(nèi)，且a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a與b的夾角．18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，(1)c∥d；(2)c⊥d．19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，求：(1)a與b的夾角；(2)a－b與a＋b的夾角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P．求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．22．(12分)已知向量eq\o(OP1,\s\up6(→))、eq\o(OP2,\s\up6(→))、eq\o(OP3,\s\up6(→))滿足條件eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2,\s\up6(→))＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP3,\s\up6(→))|＝1．求證：△P1P2P3是正三角形．其次章平面對(duì)量(A)答案1．D2．C3．D[依據(jù)力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]4．D[|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)．]5．B[由題意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故選B．]6．B[令c＝λa＋μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－1,λ－μ＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2),μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b．]7．C[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30．∴x＝4．]8．C[∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝(4，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－4)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(CB,\s\up6(→))|．∴△ABC是直角非等腰三角形．]9．B[∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量eq\o(AB,\s\up6(→))后得eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)．]10．A[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>eq\f(10,3)．當(dāng)a與b共線時(shí)，eq\f(λ,－3)＝eq\f(2,5)，∴λ＝eq\f(－6,5)．此時(shí)，a與b同向，∴λ>eq\f(10,3)．]11．B[如圖，設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))．eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝－2＋0＝－2，故選B．]12．A[依據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)．〈eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P3,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6)，〈eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P4,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，〈eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P5,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2)，〈eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P6,\s\up6(→))〉＝eq\f(2π,3)．∴eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→))<0，eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))＝0，eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|·eq\r(3)|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝eq\f(3,2)|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|2，eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|·2|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|2．比較可知A選項(xiàng)的數(shù)量積最大．]13．－1解析∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0．∴m＝－1．14．3解析a·b＝|a||b|cos30°＝2·eq\r(3)·cos30°＝3．15．6解析由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6．16．－eq\f(1,2)解析由于點(diǎn)O是A，B的中點(diǎn)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，設(shè)|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝x，則|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝1－x(0≤x≤1)．所以(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2x(1－x)＝2(x－eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)．∴當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))取到最小值－eq\f(1,2)．17．解(1)∵c∥a，∴設(shè)c＝λa，則c＝(λ，2λ)．又|c|＝2eq\r(5)，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b))⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0．∵|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\f(\r(5),2)，∴a·b＝－eq\f(5,2)．∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1，∴θ＝180°．18．解由題意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×eq\f(1,2)＝3．(1)當(dāng)c∥d，c＝λd，則5a＋3b＝λ(3a＋kb)．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝eq\f(9,5)．(2)當(dāng)c⊥d時(shí)，c·d＝0，則(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0．∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－eq\f(29,14)．19．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)．∴θ＝45°．(2)∵|a|＝1，|b|＝eq\f(\r(2),2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2)，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)．∴|a＋b|＝eq\f(\r(10),2)，設(shè)a－b與a＋b的夾角為α，則cosα＝eq\f(a－b·a＋b,|a－b|·|a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5)．即a－b與a＋b的夾角的余弦值為eq\f(\r(5),5)．20．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，求兩條對(duì)角線的長(zhǎng)即求|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|與|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|的大小．由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，得|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，由eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4)，得|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)．(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，∵(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))2，易求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－11，eq\o(OC,\s\up6(→))2＝5，∴由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得t＝－eq\f(11,5)．21．證明如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)AB＝2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)．(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(CF,\s\up6(→))，即BE⊥CF．(2)設(shè)P(x，y)，則eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－2，－1)，∵eq\o(FP,\s\up6(→))∥eq\o(CF,\s\up6(→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．同理由eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2．解得x＝eq\f(6,5)，∴y＝eq\f(