【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(福建用)課時(shí)作業(yè)：第八章-第十節(jié)圓錐曲線的綜合問(wèn)題

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(五十九)一、選擇題1.過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=()(A)-2 (B) (C)-4 (D)2.(2021·鄭州模擬)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()(A)［，］ (B)［－2，2］(C)［－1，1］ (D)［－4，4］3.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為()(A)1 (B) (C)2 (D)4.(2021·邢臺(tái)模擬)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2021·武漢模擬)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為()(A) (B)+1 (C)-2 (D)-16.(力氣挑戰(zhàn)題)若已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則e1·e2的取值范圍是()(A)(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞)二、填空題7.(2021·重慶模擬)過(guò)橢圓C：(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若,則橢圓離心率的取值范圍為___________.8.(2021·長(zhǎng)春模擬)設(shè)連接雙曲線與(a>0,b>0)的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1，連接其4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2，則的最大值為________.9.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上確定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則的值為_____________.三、解答題10.如圖，已知橢圓C：(a＞1)的上頂點(diǎn)為A，離心率為，若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程.(2)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).11.(2021·漳州模擬)已知橢圓C:(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2,且與拋物線有共同的焦點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線y=3分別交于G，H兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)求線段GH的長(zhǎng)度的最小值.(3)在線段GH的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.12.(力氣挑戰(zhàn)題)給定橢圓C：(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l1，l2使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1，l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1，l2的方程；②求證：|MN|為定值.答案解析1.【解析】選D.由y=2x2得,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,)，取直線y=,則其與y=2x2交于A(-，)，B(,),∴x1x2=(-)·()＝-.【方法技巧】與動(dòng)直線相關(guān)值的求解技巧解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題，一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】選C.設(shè)直線方程為y=k(x+2)，與拋物線聯(lián)立方程組，整理得ky2-8y+16k=0.當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k≠0時(shí)，由Δ=64-64k2≥0，解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1.3.【解析】選D.設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,a2-b2=c2,由題意，·2c·b＝1，∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥.∴長(zhǎng)軸的最小值為2.4.【解析】選C，設(shè)P(x0,y0)，則即，又∵F(-1,0),∴又x0∈［-2,2］，∴∈［2,6］，所以max=6.5.【思路點(diǎn)撥】畫出圖象，通過(guò)圖象可知點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離減1，過(guò)焦點(diǎn)F作直線l的垂線，此時(shí)d1+d2最小，依據(jù)拋物線方程求得F的坐標(biāo)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d1+d2的最小值.【解析】選D.如圖所示，由拋物線的定義知，|PF|＝d1+1,∴d1＝|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明顯當(dāng)直線PF垂直于直線x-y+4=0時(shí)，d1+d2最小,此時(shí)d2+|PF|為F到直線x-y+4=0的距離.由題意知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，所以.∴(d1+d2)min=-1.6.【解析】選B.由題意知|PF1|=r1=10，|PF2|=r2=2c，且r1＞r2．；．∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴2c+2c＞10，即c＞，∴，因此選B.7.【解析】由題意知：B(c,),∴.又,∴,解得.答案：(，)8.【思路點(diǎn)撥】將用a,b表示，利用基本不等式求最值.【解析】S1＝·2a·2b=2ab,S2=·2·2=2(a2+b2),(a>0,b>0),∴(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).答案：9.【解析】設(shè)直線PA的斜率為kPA,PB的斜率為kPB,由y12=2px1,y02=2px0,得,同理,由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，因此,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么.答案：-210.【解析】(1)依題意有故橢圓C的方程為：.(2)由，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0).將y=kx+1代入橢圓C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或,因此P的坐標(biāo)為(,+1),即(,),將上式中的k換成-,得Q(,).直線l的方程為,化簡(jiǎn)得直線l的方程為,因此直線l過(guò)定點(diǎn)N(0，-).11.【解析】(1)由已知得,拋物線的焦點(diǎn)為(,0)，則c=.又b=1,由a2-b2=c2，可得a2=4.故橢圓C的方程為(2)直線AP的斜率k明顯存在,且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2),從而G(,3).由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.設(shè)P(x1,y1),則(-2)x1=所以從而.即.又B(2,0),則直線PB的斜率為.由得所以H(-12k+2,3).故|GH|=|-2+12k-2|=|+12k-4|.又k＞0，+12k≥=12.當(dāng)且僅當(dāng)=12k,即k=時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)k=時(shí),線段GH的長(zhǎng)度取最小值8.(3)由(2)可知，當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=.則直線AP的方程為x-2y+2=0,此時(shí)P(0,1),|AP|=.若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TPA的面積等于1,則點(diǎn)T到直線AP的距離等于所以T在平行于AP且與AP距離等于的直線l上.設(shè)直線l:y=x+t.則由得x2+2tx+2t2-2=0.Δ=4t2-8(t2-1)≥0.即t2≤2,由平行線間的距離公式，得解得t=0或t=2(舍去).可求得T()或T(-).12.【解析】(1)∵c=,a=,∴b=1.∴橢圓方程為,準(zhǔn)圓方程為x2+y2=4.(2)①由于準(zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P(0，2)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0，2)且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2,所以由,消去y,得(1+3k2)x2+12kx+9=0.由于橢圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.所以l1,l2的方程分別為y=x+2,y=-x+2.②(ⅰ)當(dāng)l1,l2中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l1無(wú)斜率，由于l1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=±.當(dāng)l1方程為x=時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(，1)，(，-1)，此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)(或(,-1))且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1(或y=-1),即l2為y=1(或y=-1),明顯直線l1,l2垂直；同理可證l1方程為時(shí)，直線l1,l2垂直.(ⅱ)當(dāng)l1,l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),其中x02+y02＝4.設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t(x-x0)+y0,則消去y,得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.由Δ＝0化簡(jiǎn)整理得：(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0.由于x02+y02＝4，所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0.