《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版必修5)教師用書：1章末綜合檢測(cè)-

一、選擇題1.在△ABC中,A=75°,C=60°,c=1,則最短邊的邊長等于().A.B.C.D.【解析】由題意知B=45°,依據(jù)正弦定理:b==.【答案】B2.在△ABC中,若sinC=2cosAsinB,則此三角形是().A.等腰三角形 B.正三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】∵sinC=2cosAsinB,∴c=2bcosA=2b×=,∴b=a.【答案】A3.在△ABC中,若a=2bsinA,則B為().A. B.C.或 D.或【解析】依據(jù)正弦定理得:sinA=2sinBsinA,∴sinB=.【答案】C4.滿足A=45°,c=,a=2的△ABC的個(gè)數(shù)記為m,則am的值為().A.4 B.2 C.1 D【解析】∵csinA<a<c,∴三角形有兩解,故m=2,∴am=4.【答案】A5.若滿足條件AB=,BC=m,C=的△ABC有兩個(gè),則常數(shù)m的取值范圍是().A.(1,2) B.(,)C.(,2) D.(,2)【解析】若滿足條件的三角形有兩個(gè),則BCsinC<AB<BC,即:m<<m.解得<m<2.【答案】D6.在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對(duì)邊,假如2b=a+c,B=30°,△ABC的面積為,那么b為().A.1+ B.3+C. D.2+【解析】∵acsinB=,∴ac=2,又2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,b=.【答案】C7.在△ABC中,已知A=45°,B=60°,c=4,則三角形的面積為().A. B.3+ C.3 D.12-4【解析】由A+B+C=180°,得C=75°.由正弦定理,得=,∴a=4(-1),∴S=acsinB=12-4.【答案】D8.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長分別為a、b、c.已知a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,則b的值為().A.4 B.8 C.6 D.【解析】由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA,∵a2-c2=2b,b≠0,∴b2-2bccosA=2b,即b=2ccosA+2.由sinB=4cosAsinC得2cosA==,∴b=+2,即b=4.【答案】A9.在△ABC中,已知2B=A+C,b2=ac,則B-A等于().A.0 B. C. D.【解析】由題意知:B=,b2=a2+c2-2accos,所以a2+c2-ac=ac,故a=c,所以△ABC為正三角形,所以B-A=0.【答案】A10.如圖,地面有一旗桿OP,為了測(cè)得它的高度h,在地面取一基線AB,測(cè)得AB=200m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30°,在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP=45°,又測(cè)得∠AOB=60°,則旗桿的高度為().A.200 B.C. D.400【解析】依據(jù)題意,OA=h,OB=h,在△ABO中,依據(jù)余弦定理得:(h)2+h2-2h·hcos60°=2002,解得:h=.【答案】C11.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,則BC邊上的高等于().A. B.C. D.【解析】設(shè)AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即7=c2+4-2×2×c×cos60°,c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0.又c>0,∴c=則BC邊上的高為c·sinB=3×=.【答案】B12.在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,則這個(gè)三角形是().A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】依據(jù)正、余弦定理,原式可以化簡為ab-bc×=ab-ac×,整理得:=,解得:a4-b4+c2(b2-a2)=0,整理得:(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或者a2+b2=c2,故為等腰或直角三角形.【答案】C二、填空題13.在亞丁灣某海疆有一執(zhí)行任務(wù)的甲軍艦獲悉,其正東方向距離20海里處,有一艘貨輪遇海盜攻擊等待營救,甲艦?zāi)掀?0°距離10海里處有一艘乙艦,甲、乙兩艦共同實(shí)施救援行動(dòng),此時(shí)乙艦與貨輪的距離是海里.

【解析】依據(jù)余弦定理得:d==10.【答案】1014.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,則b=.

【解析】由余弦定理得,cosB===-,解得b=4.【答案】415.已知△ABC的兩條邊長分別為2,3,其夾角的余弦值為,則其外接圓半徑為.

【解析】不妨令a=2,b=3,cosC=,∴c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×=9,∴c=3.又sinC==,∴2R===,∴R=.【答案】16.在△ABC中,AD為BC邊上的中線,且AC=2AB=2AD=4,則BD=.

【解析】如圖所示,設(shè)BD=DC=x,由于∠ADB+∠ADC=180°,所以cos∠ADB=-cos∠ADC.又AC=2AB=2AD=4,由余弦定理得=-,解得x=(x=-舍去),故BD=.【答案】三、解答題17.在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(cosA,sinA),向量n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.(1)求角A的大小;(2)若b=4,c=2,求△ABC的面積.【解析】(1)|m+n|2=(cosA+-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+2(cosA-sinA)=4+4cos(+A),∴4+4cos(+A)=4,∴cos(+A)=0.∵A∈(0,π),∴+A=,∴A=.(2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccosA,即a2=(4)2+(2)2-2×4×2cos,解得a=4,∴c=4,∴S△ABC=×4×4×=8.18.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,acosC+asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面積為,求b,c.【解析】(1)由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.由于B=π-A-C,所以sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以sin(A-)=.又0<A<π,故A=.(2)△ABC的面積S=bcsinA=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8,解得b=c=2.19.在△ABC中,若=,試推斷三角形的外形.【解析】由已知==,∴=.以下可有兩種解法.(法一)(利用正弦定理邊化角):由正弦定理得=,∴=,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B∵B,C均為△ABC的內(nèi)角,∴2C=2B或2C+2B=∴B=C或B+C=90°,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.(法二)(利用余弦定理角化邊):∵=,再由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2),∴a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=∴a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,∴b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.20.已知△ABC的周長為4(+1),且sinB+sinC=sinA.(1)求邊長a的值;(2)若S△ABC=3sinA,求cosA的值.【解析】(1)依據(jù)正弦定理,sinB+sinC=sinA可化為b+c=a.聯(lián)立方程組解得a=4.(2)∵S△ABC=3sinA,∴bcsinA=3sinA,∴bc=6.又由(1)可知,b+c=4,由余弦定理得cosA===.21.設(shè)a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對(duì)邊,其外接圓的半徑為1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b、c是方程x2-3x+4cosA=0的兩根(b>c).求角A的度數(shù)以及a,b,c的大小.【解析】由韋達(dá)定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2RsinC=2sinC,∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.將等式(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC利用平方差公式開放為(sinB+sinC)2-sin2A=3sinBsinC把sinB+sinC=,sinB·sinC=cosA代入上式可得:-sin2A=3cos整理得:4cos2A-12cosA+5=0即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,∴cosA=或cosA=(舍去),∴A=60°,∴∵b>c,∴b=2,c=1,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=3,∴a=.22.某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)章的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建筑一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志,小李、小王設(shè)計(jì)的底座外形分別為△ABC、△ABD,經(jīng)測(cè)量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.(1)求AB的長度;(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5000元,不考慮其他因素,小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建筑費(fèi)用最低(請(qǐng)說明理由),最低造價(jià)為多少?(=1.414,=1.732)【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理得cosC==,①在△ABD中,由余