【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第6節(jié)-拋物線(xiàn)

第九章第六節(jié)一、選擇題1．若點(diǎn)P到直線(xiàn)x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)[答案]D[解析]把直線(xiàn)x＝－1向左平移一個(gè)單位，兩個(gè)距離就相等了，符合拋物線(xiàn)的定義．2．已知拋物線(xiàn)x2＝ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線(xiàn)y2－x2＝2的焦點(diǎn)，則a＝()A．1 B．4C．8 D．16[答案]C[解析]依據(jù)拋物線(xiàn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(a,4))，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有eq\f(a,4)＝2，解得a＝8.3．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝±12y[答案]D[解析]由題意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0，－3)．∴該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y或x2＝－12y.4．(文)已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABP的面積為()A．18 B．24C．36 D．48[答案]C[解析]本題考查拋物線(xiàn)的相關(guān)概念、焦點(diǎn)弦、通徑等．設(shè)拋物線(xiàn)為y2＝2px，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線(xiàn)x＝－eq\f(p,2)，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到準(zhǔn)線(xiàn)距離為6，所以三角形面積為S＝eq\f(1,2)×12×6＝36.(理)設(shè)斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A．若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線(xiàn)方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x[答案]B[解析]本小題考查拋物線(xiàn)的有關(guān)概念以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)關(guān)系．由已知得拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴AF所在直線(xiàn)方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4))).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，∴S△OAF＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))·eq\f(|a|,4)＝eq\f(a2,16)＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴拋物線(xiàn)的方程為y2＝±8x.5．(2022·遼寧高考)已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線(xiàn)C：y2＝2px的準(zhǔn)線(xiàn)上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線(xiàn)AF的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)[答案]C[解析]考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的有關(guān)學(xué)問(wèn)．把A(－2,3)代入y2＝2px的準(zhǔn)線(xiàn)方程，得p＝4.∴F為(2,0)∴kAF＝eq\f(0－3,2＋2)＝－eq\f(3,4).正確求出焦點(diǎn)F是關(guān)鍵．6．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足OA⊥OB，則y1y2等于()A．－4p2 B．－3p2C．－2p2 D．－p2[答案]A[解析]∵OA⊥OB，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.①∴x1x2＋y1y2＝0.∵A、B都在拋物線(xiàn)上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(y\o\al(2,1),2p)，,x2＝\f(y\o\al(2,2),2p).))代入①得eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.二、填空題7．(文)(2021·北京高考)若拋物線(xiàn)y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_______．[答案]2x＝－1[解析]本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程.由eq\f(p,2)＝1知p＝2，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.(理)設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(k，－2)到點(diǎn)F的距離為4，則k的值為_(kāi)_______．[答案]4或－4[解析]由題意可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x2＝－2py(p>0)，則eq\f(p,2)＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.8．下圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水位下降1m后，水面寬________m.[答案]2eq\r(6)[解析]本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與數(shù)學(xué)建模力氣．如圖建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，∴x＝±eq\r(6)，則此時(shí)水面寬為2eq\r(6)9．已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)y＝x與拋物線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線(xiàn)C的方程為_(kāi)_______[答案]y2＝4x[解析]設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2＝ax(a≠0)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝ax,y＝x))得交點(diǎn)A(0,0)，B(a，a)，而點(diǎn)P(2,2)是AB的中點(diǎn)，從而有a＝4，故所求拋物線(xiàn)的方程為y2＝4x.三、解答題10．(2022·江西高考)如圖，已知拋物線(xiàn)C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作始終線(xiàn)與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn)AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線(xiàn)上；(2)作C的任意一條切線(xiàn)l(不含x軸)與直線(xiàn)y＝2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線(xiàn)相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值．[解析](1)∵直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)M(0,2)由分析知直線(xiàn)AB斜率確定存在．∴可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,x2＝4y))，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝－8.又直線(xiàn)AO的方程為y＝eq\f(y1,x1)x，BD的方程為x＝x2.解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2,y＝\f(y1,x1)x))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2,y＝\f(y1x2,x1)))又∵x1x2＝－8，xeq\o\al(2,1)＝4y1.∴y＝eq\f(y1·－8,x1x1)＝eq\f(－8y1,x\o\al(2,1))＝eq\f(－8y1,4y1)＝－2.∴點(diǎn)D在定直線(xiàn)y＝－2(x≠0)上(2)由題意分析可知，切線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)切線(xiàn)l的方程為y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4y并化簡(jiǎn)得x2－4ax－4b＝0.∵l為切線(xiàn)，∴△＝(4a)2＋16b＝0，化簡(jiǎn)得b＝－a2∴切線(xiàn)方程為y＝ax－a2.分別令y＝2，y＝－2得N1、N2點(diǎn)的坐標(biāo)為N1(eq\f(2,a)＋a,2)，N2(－eq\f(2,a)＋a，－2)，則|MN2|2－|MN1|2＝(eq\f(2,a)－a)2＋42－(eq\f(2,a)＋a)2＝8∴|MN2|2－|MN1|2為定值8.一、選擇題1．設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．假如直線(xiàn)AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．16[答案]B[解析]如圖，kAF＝－eq\r(3)，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4eq\r(3)，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4eq\r(3)，∴(4eq\r(3))2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故選B．2．(文)已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若以|MF|為直徑作圓，則這個(gè)圓與y軸的關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．以上三種情形都有可能[答案]B[解析]如圖，由MF的中點(diǎn)A作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)AE，交直線(xiàn)l于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)B；由點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)MD，垂足為D，交y軸于點(diǎn)C，則MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝eq\f(OF＋CM,2)＝eq\f(ON＋CM,2)＝eq\f(DM,2)＝eq\f(MF,2)，∴這個(gè)圓與y軸相切．(理)(2022·臺(tái)州模擬)已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題：①△PMN必為直角三角形；②△PMN不愿定為直角三角形；③直線(xiàn)PM必與拋物線(xiàn)相切；④直線(xiàn)PM不愿定與拋物線(xiàn)相切．其中正確的命題是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④[答案]A[解析]由于|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，從而可知∠MPN＝90°，故①正確，②錯(cuò)誤；令直線(xiàn)PM的方程為y＝x＋eq\f(p,2)，代入拋物線(xiàn)方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直線(xiàn)PM與拋物線(xiàn)相切，故③正確，④錯(cuò)誤．二、填空題3．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足NF＝eq\f(\r(3),2)MN，則∠NMF＝________.[答案]eq\f(π,6)[解析]過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足是P，則有PN＝NF，∴PN＝eq\f(\r(3),2)MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝eq\f(\r(3),2)，∴∠MNP＝eq\f(π,6)，即∠NMF＝eq\f(π,6).4．設(shè)P是拋物線(xiàn)y＝x2上的點(diǎn)，若P點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y－4＝0的距離最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](1,1)[解析]解法1：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得d＝eq\f(|2x0－x\o\al(2,0)－4|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)|xeq\o\al(2,0)－2x0＋4|＝eq\f(\r(5),5)|(x0－1)2＋3|≥eq\f(3\r(5),5).由上式可知當(dāng)x0＝1時(shí)，dmin＝eq\f(3\r(5),5).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)．解法2：如圖，平移2x－y－4＝0這條直線(xiàn)至過(guò)點(diǎn)P與拋物線(xiàn)相切，則P點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短．設(shè)P(x0，y0)，∵y′＝2x.∴過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0＝2.∴x0＝1，y0＝xeq\o\al(2,0)＝1，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．三、解答題5．已知直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求拋物線(xiàn)的方程．[解析]由題意得kOD＝eq\f(1,2)，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)D(2,1)，∴直線(xiàn)AB的方程為y＝－2x＋5，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋5,y2＝2px))得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝eq\f(p＋10,2)，x1x2＝eq\f(25,4)，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴eq\f(25,4)＋(－5p)＝0，∴p＝eq\f(5,4)，∴拋物線(xiàn)方程為y2＝eq\f(5,2)x.6．如圖所示，拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線(xiàn)上．(1)寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1＋y2的值及直線(xiàn)AB的斜率．[分析](1)設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用待定系數(shù)法求解．(2)可考慮“點(diǎn)差法”表示直線(xiàn)AB的斜率．[解析](1)由已知條件，可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2＝2px(p>0)．∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線(xiàn)上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線(xiàn)的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－1.(2)設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA，直線(xiàn)PB的斜率為kPB，則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－1,x2－1)(x2≠1)，∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＝－kPB．由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線(xiàn)上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1 ①yeq\o\al(2,2)＝4x2 ②∴eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得直線(xiàn)AB的斜率kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠