【2021導與練-高校信息化課堂】高三理科數(shù)學二輪復習-專項訓練高考中檔題訓練(五)

高考中檔題訓練(五)1.(2022嘉興一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+QUOTE)cosx.(1)若x∈[0,QUOTE],求f(x)的取值范圍;(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知A為銳角,f(A)=QUOTE,b=2,c=3,求cos(A-B)的值.解:(1)f(x)=(sinx+QUOTEcosx)cosx=sinxcosx+QUOTEcos2x=QUOTEsin2x+QUOTEcos2x+QUOTE=sin(2x+QUOTE)+QUOTE,∵x∈[0,QUOTE],∴2x+QUOTE∈[QUOTE,QUOTE],-QUOTE≤sin(2x+QUOTE)≤1.∴f(x)∈[0,1+QUOTE].(2)由f(A)=sin(2A+QUOTE)+QUOTE=QUOTE,得sin(2A+QUOTE)=0,又A為銳角,所以A=QUOTE,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2×2×3×cosQUOTE=7,a=QUOTE.由QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE,又b<a,從而B<A,cosB=QUOTE.所以,cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.如圖,長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速移動,速度為v(v>0),雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R).E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:①P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為QUOTE;②其他面的淋雨量之和,其值為QUOTE.記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100,面積S=QUOTE時,(1)寫出y的表達式;(2)設(shè)0<v≤10,0<c≤5,試依據(jù)c的不同取值范圍,確定移動速度v,使總淋雨量y最少.解:(1)由題意知,E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為QUOTE|v-c|+QUOTE,故y=QUOTE(QUOTE|v-c|+QUOTE)=QUOTE(3|v-c|+10).(2)由(1)知,當0<v≤c時,y=QUOTE(3c-3v+10)=QUOTE-15;當c<v≤10時,y=QUOTE(3v-3c+10)=QUOTE+15.故y=QUOTE①當0<c≤QUOTE時,y是關(guān)于v的減函數(shù),故當v=10時,ymin=20-QUOTE.②當QUOTE<c≤5時,在(0,c]上,y是關(guān)于v的減函數(shù),在(c,10]上,y是關(guān)于v的增函數(shù).故當v=c時,ymin=QUOTE.3.(2022杭州外國語學校)在如圖所示的幾何體中,△ABC是邊長為2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求證:AC∥平面BDE;(2)若二面角ADEB為60°,求AE的長.(1)證明:分別取BC,BA,BE的中點M,F,P,連接DM,MF,FP,DP,則MF∥AC,FP∥AE,且FP=QUOTEAE=1,由于BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M為BC的中點,所以DM⊥BC,DM=1.又由于平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四邊形DMFP為平行四邊形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC?平面BDE,DP?平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中點M,過M作MN⊥ED,交ED的延長線于N,連接BN,AM,DM,由于BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,由于ED?平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN?平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB為二面角AEDB的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,則MN=QUOTE,BN=QUOTE.在Rt△MND中,DN=QUOTE.設(shè)AE=h+1,則DE=QUOTE,所以NE=QUOTE+QUOTE,又BE=QUOTE,在Rt△BNE中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=(QUOTE)2+(QUOTE+QUOTE)2,解得h=QUOTE,所以AE=QUOTE+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如圖所示的空間直角坐標系Mxyz.設(shè)AE=h,則M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,QUOTE,0),E(0,QUOTE,h),QUOTE=(-1,0,1),QUOTE=(-1,QUOTE,h),設(shè)平面BDE的法向量n1=(x,y,z),則QUOTE所以QUOTE令x