【金版學案】2021-2022學年人教A版高中數學選修4-4習題-第二講-本講小結

本講小結一、基本內容簡介1．參數方程．2.幾種常見曲線的參數方程及相應的一般方程：(1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t為參數)．一般方程：y－y0＝tanα(x－x0)或x＝x0.t的幾何意義：直線l上任一點P(不同于M點)為終點，M為起點的有向線段MP的長度．(2)以原點為圓心，半徑為r的圓：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝rsinφ))(φ為參數)．一般方程：x2＋y2＝r2.(3)中心在原點，長軸長為2a，短軸長為2b，焦點在xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數)．一般方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(4)中心在原點，實軸長為2a，虛軸長為2b，焦點在xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ為參數)．一般方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(5)頂點在原點，x軸為對稱軸，開口向右且焦點到準線的距離為p的拋物線：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(p＞0，t為參數)．一般方程：y2＝2px(p＞0)．(6)圓的漸開線方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（cosφ＋φsinφ），,y＝r（sinφ－φcosφ）))(φ為參數)．(7)擺線的參數方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（φ－sinφ），,y＝r（1－cosφ）))(φ為參數)．3．直線參數方程的一般形式及應用：過定點M(x0，y0)的直線l的一般形式：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt，))其中t為參數，a、b為常數且滿足a2＋b2≠0.當a2＋b2＝1時，t才具有幾何意義．①求直線l被二次曲線f(x，y)＝0截得的弦長|PQ|.將直線l的參數方程代入曲線方程得到關于t的二次方程：At2＋Bt＋C＝0(A≠0)，則|PQ|＝eq\r(a2＋b2)·eq\f(\r(B2－4AC),|A|).②一般方程：當a＝0時，x＝x0；當a≠0時，y－y0＝eq\f(b,a)(x－x0)．二、學習參數方程重點留意的幾點1．關于參數方程的學習，首先要正確理解曲線的參數方程的概念，留意把握課本中講到的曲線的參數方程、直線的參數方程、圓的參數方程、橢圓的參數方程(這三個內容新教材中也有)、雙曲線的參數方程、拋物線的參數方程．2．由于同學們對曲線的一般方程有著較深刻的理解和把握，因此要擅長消去參數，把參數方程化為一般方程，進而可以再爭辯曲線的幾何性質．消去參數的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③依據參數方程的特征，接受消參的手段．3．參數方程的一個優(yōu)點是曲線上的動點坐標(x，y)中的x和y分別用第三個變量t來表示，因此在利用參數方程解答數學問題時就可以消去x和y，轉化為t的方程或t的函數問題了．4．參數的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應用，要留意合理選參、奇妙消參．5．參數既是刻畫變化狀態(tài)的工具，又是揭示問題中內在聯系的媒介，確立參數思想是提高數學力量的重要環(huán)節(jié)，一些解析幾何問題，適當地引進參數后，問題的難度明顯降低．但參數方程只是曲線方程多種形式的一種，利用參數方程爭辯曲線或建立軌跡參數方程有它的簡便之處，但也不是任何問題參數法就比其他解法優(yōu)越，因此，復習中應要求恰當，既不能簡潔處理，也不宜要求過高．在求動點軌跡方程的綜合問題中，常用參數法．其步驟為：(1)選參數并確定參數的取值范圍；(2)建立參數與x、y的函數關系；(3)消參數并整理得一般方程．6．在選擇參數時，要留意以下幾點：(1)參數應與動點坐標x、y有直接關系，且x、y便于用參數表示．(2)選擇的參數要便于使問題中的條件解析化．(3)對于所選定的參數，要留意其取值范圍，并能確定參數對x、y取值范圍的制約．(4)若求軌跡，應盡量使所得的參數方程便于消去參數得一般方程．7．提高利用轉化解題的意識．建立曲線方程時