《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-第十章-第2講-用樣本估計總體

第2講用樣本估量總體1．統(tǒng)計圖表的含義(1)頻率分布表①含義：把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表．②頻率分布表的畫法步驟：第一步：求極差，打算組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；其次步：分組，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最終一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．(2)頻率分布直方圖：能夠反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖．(3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起來，就得到頻率分布折線圖．(4)總體密度曲線：假如將樣本容量取得足夠大，分組的組距足夠小，則相應的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，即總體密度曲線．(5)莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側．2．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中毀滅次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小挨次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to(x)）2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2])s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2][做一做]1．(2022·高考四川卷)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體 B．個體C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本解析：選A.調查的目的是“了解某地5000名居民某天的閱讀時間”，所以“5000名居民的閱讀時間的全體”是調查的總體．2．(2021·遼寧省五校聯(lián)考)某商場在慶元宵促銷活動中，對元宵節(jié)9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為________萬元．解析：依題意，留意到9時至10時與11時至12時相應的頻率之比為0.10∶0.40＝1∶4，因此11時至12時的銷售額為2.5×4＝10(萬元)．答案：101．辨明兩個易誤點(1)易忽視頻率分布直方圖中縱軸表示的應為eq\f(頻率,組距).(2)在繪制莖葉圖時，易遺漏重復毀滅的數(shù)據(jù)，重復毀滅的數(shù)據(jù)要重復記錄，同時不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的異同眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)相同點都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量不同點與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關，毀滅在這些數(shù)據(jù)中不愿定在這些數(shù)據(jù)中毀滅．奇數(shù)個時，在這組數(shù)據(jù)中毀滅；偶數(shù)個時，為中間兩數(shù)的平均值不愿定在這些數(shù)據(jù)中毀滅3.標準差和方差的異同相同點：標準差和方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。煌c：方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，標準差則不然．[做一做]3．(2021·唐山市第一次模擬)如圖所示的莖葉圖表示某柜臺記錄的一天銷售額狀況(單位：元)，則銷售額中的中位數(shù)是()A．30.5 B．31C．31.5 D．32解析：選B.由莖葉圖知，銷售額由低到高分別為10，12，20，21，24，31，31，32，36，43，48，共11個，故中位數(shù)為第6個，即31.,[同學用書P201～P203])eq\a\vs4\al(考點一)__頻率分布直方圖(高頻考點)______________頻率分布直方圖是高考的熱點，選擇題、填空題、解答題都有可能毀滅．難度一般較?。呖紝︻l率分布直方圖的考查主要有以下四個命題角度：(1)完善頻率分布直方圖；(2)利用頻率分布直方圖求樣本容量；(3)求樣本平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(4)與概率結合考查某區(qū)間內的個體被選中的概率．(1)(2022·高考山東卷)為了爭辯某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，全部志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的挨次分別編號為第一組，其次組，…，第五組，如圖是依據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與其次組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6 B．8C．12 D．18(2)(2022·高考北京卷)從某校隨機抽取100名同學，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)1[0，2)62[2，4)83[4，6)174[6，8)225[8，10)256[10，12)127[12，14)68[14，16)29[16，18)2合計100①從該校隨機選取一名同學，試估量這名同學該周課外閱讀時間少于12小時的概率；②求頻率分布直方圖中的a，b的值；③假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估量樣本中的100名同學該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組．(只需寫出結論)[解析](1)志愿者的總人數(shù)為eq\f(20,（0.16＋0.24）×1)＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12.[答案]C(2)解：①依據(jù)頻數(shù)分布表，100名同學中課外閱讀時間不少于12小時的同學共有6＋2＋2＝10(名)，所以樣本中的同學課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－eq\f(10,100)＝0.9.從該校隨機選取一名同學，估量其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.②課外閱讀時間落在組[4，6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時間落在組[8，10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.③樣本中的100名同學課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組．[規(guī)律方法]解決頻率分布直方圖問題時要抓?。?1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)，故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距)，即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．1.(1)某學校為了調查同學在課外讀物方面的支出狀況，抽取了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[40，50]元的同學有39人，則n的值為()A．100 B．120C．130 D．390(2)(2021·河北省衡水中學其次學期調研)今年年初，我國多個地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產生了巨大的威逼．私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應當提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調查狀況進行整理后制成下表：年齡(歲)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634①完成被調查人員的頻率分布直方圖；②若從年齡在[15，25)，[25，35)的被調查者中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．解析：(1)選C.樣本數(shù)據(jù)落在[40，50]上的頻率為1－(0.010＋0.023＋0.037)×10＝0.30，則eq\f(39,n)＝0.30，解得n＝130.(2)解：①各組的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1.所以圖中各組的縱坐標分別是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01.②ξ的全部可能取值為：0，1，2，3.P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(6,10)×eq\f(15,45)＝eq\f(45,225)＝eq\f(15,75)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＋eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,10)×eq\f(15,45)＋eq\f(6,10)×eq\f(24,45)＝eq\f(102,225)＝eq\f(34,75)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＋eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,10)×eq\f(24,45)＋eq\f(6,10)×eq\f(6,45)＝eq\f(66,225)＝eq\f(22,75).P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))×eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,10)×eq\f(6,45)＝eq\f(12,225)＝eq\f(4,75)，所以ξ的分布列是：ξ0123Peq\f(15,75)eq\f(34,75)eq\f(22,75)eq\f(4,75)所以ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝eq\f(6,5).eq\a\vs4\al(考點二)__莖葉圖________________________________(2021·高考課標全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？[解](1)設A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－)).由觀測結果可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計算結果可得x>y，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測結果可繪制莖葉圖如圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好．[規(guī)律方法]莖葉圖的優(yōu)缺點：由莖葉圖可以清楚地看到數(shù)據(jù)的分布狀況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，其次點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較繁瑣．2.(1)(2021·安徽省“江南十?！甭?lián)考)一次數(shù)學測驗后，從甲、乙兩班各抽取9名同學的成果進行統(tǒng)計分析，繪成莖葉圖如圖所示．據(jù)此估量兩個班成果的中位數(shù)的差的確定值為()A．8 B．5C．4 D．2(2)(2021·高考重慶卷)右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名同學在一次英語聽力測試中的成果(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A．2，5 B．5，5C．5，8 D．8，8解析：(1)選D.甲、乙兩班成果按大小挨次排列，處在最中間的數(shù)分別為87、89，故它們之差的確定值是2.(2)選C.由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15＝10＋x，∴x＝5.又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(9＋15＋（10＋y）＋18＋24,5)＝16.8，∴y＝8.∴x，y的值分別為5，8.eq\a\vs4\al(考點三)__樣本的數(shù)字特征______________________(2022·高考陜西卷)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002 B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2 D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2[解析]eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝eq\o(x,\s\up6(－))，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為eq\o(x,\s\up6(－))＋100，方差不變，故選D.[答案]D[規(guī)律方法]樣本數(shù)字特征及公式推廣(1)平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢，方差和標準差描述波動大?。?2)平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.3.(1)(2021·高考山東卷)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：87794010x91則7個剩余分數(shù)的方差為()A.eq\f(116,9) B.eq\f(36,7)C．36 D.eq\f(6\r(7),7)(2)(2021·高考遼寧卷)為了考察某校各班參與課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參與該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________．解析：(1)依據(jù)莖葉圖，去掉1個最低分87，1個最高分99，則eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4.∴s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).(2)設5個班級中參與的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，則由題意知eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五個整數(shù)的平方和為20，則必為0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知參與的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，故最大值為10.答案：(1)B(2)10,[同學用書P203])交匯創(chuàng)新——統(tǒng)計與概率的交匯(2022·高考廣東卷)隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.依據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25，30]30.12(30，35]50.20(35，40]80.32(40，45]n1f1(45，50]n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)依據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3)依據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]的概率．[解](1)由所給數(shù)據(jù)知，落在區(qū)間(40，45]內的有7個，落在(45，50]內的有2個，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝eq\f(n1,25)＝eq\f(7,25)＝0.28，f2＝eq\f(n2,25)＝eq\f(2,25)＝0.08.(2)樣本頻率分布直方圖如圖．(3)依據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]的概率為0.2，設所取的4人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]的人數(shù)為ξ，則ξ～B(4，0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.4096＝0.5904，所以在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35]的概率為0.5904.[名師點評]本題是概率與統(tǒng)計相交匯的常規(guī)命制試題，門檻低，入手簡潔．解決此類問題的關鍵是理解統(tǒng)計中一些基本概念，理解大事的含義并確定大事的全部可能結果，求出每個結果對應的概率，即可得到答案．(2021·海淀區(qū)其次學期期中練習)為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，制表如下：兩名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費狀況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(含35件)的部分每件4元，超過35件的部分每件7元．(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)為了解乙公司員工B的每天所得勞務費的狀況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學期望．解：(1)甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)為eq\f(1,10)(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，眾數(shù)為33.(2)設a為乙公司員工B投遞件數(shù)，則當a＝34時，X＝136，當a>35時，X＝35×4＋(a－35)×7，X的可能取值為136，147，154，189，203，X的分布列為：X136147154189203Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)eq\f(3,10)eq\f(1,10)X的數(shù)學期望E(X)＝136×eq\f(1,10)＋147×eq\f(3,10)＋154×eq\f(2,10)＋189×eq\f(3,10)＋203×eq\f(1,10)＝165.5.1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2022·高考廣東卷)已知某地區(qū)中學校生人數(shù)和近視狀況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中學校生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的同學進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：選A.該地區(qū)中學校生總人數(shù)為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20，故選A.3.某同學進入高三后，4次月考的數(shù)學成果的莖葉圖如圖，則該同學數(shù)學成果的方差是()A．125 B．5eq\r(5)C．45 D．3eq\r(5)解析：選C.由莖葉圖知平均值為eq\f(114＋126＋128＋132,4)＝125，∴s2＝eq\f(1,4)[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.4．某廠10名工人在一小時內生產零件的個數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：選D.把該組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均數(shù)a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位數(shù)b＝eq\f(15＋15,2)＝15，眾數(shù)c＝17，則a<b<c.5．某地區(qū)為了解中同學的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機選擇了n位中同學進行調查，依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，且從左到右的第1個、第4個、第2個、第3個小長方形的面積依次構成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則n等于()A．80 B．90C．100 D．110解析：選C.設第1個小長方形的面積為S，則4個小長方形的面積之和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4S＋\f(4×3,2)×0.1))，由題意知，4S＋eq\f(4×3,2)×0.1＝1，故S＝0.1，又由于eq\f(10,n)＝0.1，所以n＝100.6．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m＋n＝________．解析：依據(jù)莖葉圖，可得甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，依據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為21＝20＋n，解得n＝1.又甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(10＋m＋20＋22＋28,4)＝eq\f(80＋m,4)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(19＋21＋26,3)＝22，所以eq\f(80＋m,4)＝22，解得m＝8，所以m＋n＝9.答案：97．(2021·湖北八校聯(lián)考)對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25，30)年齡組對應小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估量該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________．解析：(1)設[25，30)年齡組對應小矩形的高度為h，則5(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.(2)志愿者年齡在[25，35)的頻率為5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4408．(2022·高考江蘇卷)為了了解一片經濟林的生長狀況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.解析：底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.答案：249．(2021·西安模擬)某校從參與高三模擬考試的同學中隨機抽取60名同學，將其數(shù)學成果(均為整數(shù))分成六組[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀看圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數(shù)在[120，130)內的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值(如：區(qū)間[100，110)的中點值為eq\f(100＋110,2)＝105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估量本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130)的同學中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段[120，130)內的概率．解：(1)分數(shù)在[120，130)內的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估量平均分為x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110，120)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．在[120，130)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130)的同學中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110，120)分數(shù)段內抽取2人，并分別記為m，n；在[120，130)分數(shù)段內抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120，130)內”為大事A，則基本大事共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個．則大事A包含的基本大事有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).10．(2021·昆明市高三上學期調研)在數(shù)學趣味學問培訓活動中，甲、乙兩名同學的6次培訓成果如莖葉圖所示：(1)從甲、乙兩人中選擇一人參與數(shù)學趣味學問競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學的學問說明理由；(2)從乙的6次成果中隨機選擇2個成果，求選到123分的概率．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(99＋107＋108＋115＋119＋124,6)＝112，eq\x\to(x)乙＝eq\f(102＋105＋112＋113＋117＋123,6)＝112，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝eq\f(206,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝eq\f(148,3)，∴eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故選擇乙同學．(2)從6個成果中隨機選擇2個，共有15個基本大事，分別是：{102，105}，{102，112}，{102，113}，{102，117}，{102，123}，{105，112}，{105，113}，{105，117}，{105，123}，{112，113}，{112，117}，{112，123}，{113，117}，{113，123}，{117，123}，其中滿足條件的基本大事有5個，故所求概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).1．一個樣本a，3，5，7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個樣本的方差是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C.由x2－5x＋4＝0的兩根分別為1，4，∴有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1)).又a，3，5，7的平均數(shù)是b.即eq\f(a＋3＋5＋7,4)＝b，eq\f(a＋15,4)＝b，a＋15＝4b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))符合題意，則方差s2＝5.2．(2021·安徽省名校模擬)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13，12 B．13，13C．12，13 D．13，14解析：選B.設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8，2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝eq\f(（4＋22）×5,10)＝13，中位數(shù)為eq\f(12＋14,2)＝13.3．某班有48名同學，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70，方差為75，后來發(fā)覺有2名同學的分數(shù)登記錯了，甲實際得80分卻記成了50分，乙實際得70分卻記成了100分，更正后平均分為________，方差為________．解析：因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設更正后的方差為s2，則由題意可得s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡整理得s2＝50.答案：70504．為了解本市的交通狀況，某校高一班級的同學分成了甲、乙、丙三組，從13點到18點，分別對三個路口的機動車通過狀況進行了實際調查，并繪制了頻率分布直方圖(如圖)．若定義“總體平均數(shù)的估量值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和”，則甲、乙、丙三組所調查數(shù)據(jù)