平行四邊形經(jīng)典練習(xí)題

練習(xí)1一、選擇題（3′×10=30′）1．下列性質(zhì)中，平行四邊形具有而非平行四邊形不具有的是（）．A．內(nèi)角和為360°B．外角和為360°C．不確定性D．對(duì)角相等2．ABCD中，∠A=55°，則∠B、∠C的度數(shù)分別是（）．A．135°，55°B．55°，135°C．125°，55°D．55°，125°3．下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．①平行四邊形內(nèi)角和為360°；②平行四邊形對(duì)角線相等；③平行四邊形對(duì)角線互相平分；④平行四邊形鄰角互補(bǔ)．A．1B．2C．3D．44．平行四邊形中一邊的長(zhǎng)為10cm，那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可能是（）．A．4cm和6cmB．20cm和30cmC．6cm和8cmD．8cm和12cm5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，SABCD=15cm2，則AB與BC的值可能是（）．A．5cm和6cmB．4cm和7cmC．3cm和8cmD．2cm和9cm6．在下列定理中，沒有逆定理的是（）．A．有斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;B．直角三角形兩個(gè)銳角互余;C．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等;D．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.7．下列說法中正確的是（）．A．每個(gè)命題都有逆命題B．每個(gè)定理都有逆定理C．真命題的逆命題是真命題D．假命題的逆命題是假命題8．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1，其相對(duì)應(yīng)三邊之比為（）．A．1：2：1B．1：：1C．1：4：1D．12：1：29．一個(gè)三角形的三條中位線把這個(gè)三角形分成面積相等的三角形有（）個(gè)．A．2B．3C．4D．510．如圖所示，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，則MN的長(zhǎng)為（）．A．2B．2.5C．3D．3.5二、填空題（3′×10=30′）11．用14cm長(zhǎng)的一根鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形，短邊與長(zhǎng)邊的比為3：4，短邊的比為________，長(zhǎng)邊的比為________．12．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為20cm，一條對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，周長(zhǎng)都是18cm，則這條對(duì)角線長(zhǎng)是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分線EF經(jīng)過點(diǎn)D，在AB上的垂足為E，若ABCD的周長(zhǎng)為38cm，△ABD的周長(zhǎng)比ABCD的周長(zhǎng)少10cm，則ABCD的一組鄰邊長(zhǎng)分別為______．14．在ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且AB=BE，又AE的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若∠F=65°，則ABCD的各內(nèi)角度數(shù)分別為_________．15．平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別為20cm，16cm，兩條長(zhǎng)邊的距離是8cm，則兩條短邊的距離是_____cm．16．如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的______和_______，那么這兩個(gè)命題是互為逆命題．17．命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是_________．18．在直角三角形中，已知兩邊的長(zhǎng)分別是4和3，則第三邊的長(zhǎng)是________．19．直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為8和10，則斜邊上的高為________，斜邊被高分成兩部分的長(zhǎng)分別是__________．20．△ABC的兩邊分別為5，12，另一邊c為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為________，此三角形為________三角形．三、解答題（6′×10=60′）21．如右圖所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周長(zhǎng)．22．如圖所示，在ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．23．如圖所示，ABCD的周長(zhǎng)是10+6，AB的長(zhǎng)是5，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，DE的長(zhǎng)是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的長(zhǎng)．答案:一、1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．A8．B9．C10．C二、11．3cm4cm12．813．9cm和10cm14．50°，130°，50°，130°15．1016．結(jié)論題設(shè)17．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行18．5或19．\h20．13直角三、21．ABCD的周長(zhǎng)為20cm22．略23．（1）∠C=45°（2）DF=24．略25．略26．∠C=90°27．三條中位線的長(zhǎng)為：12cm；20cm；24cm28．提示：連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG29．（1）略（2）結(jié)論仍成立．提示：過F作FG⊥MN于G30．略練習(xí)2ABCD一、填空題(每空2分,共28分)ABCD1.已知在中,AB=14,BC=16,則此平行四邊形的周長(zhǎng)為.ABCDO2.要說明一個(gè)四邊形是菱形,可以先說明這個(gè)四邊形是形,再說明ABCDO3.如圖,正方形ABCD的對(duì)線AC、BD相交于點(diǎn)O.那么圖中共有個(gè)等腰直角三角形.4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相應(yīng)的空格上.(1)正方形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成;(第3題)(2)菱形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成.5.矩形的兩條對(duì)角線的夾角為,較短的邊長(zhǎng)為12,則對(duì)角線長(zhǎng)為.6.若直角梯形被一條對(duì)角線分成兩個(gè)等腰直角三角形,那么這個(gè)梯形中除兩個(gè)直角外,其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為和.7.平行四邊形的周長(zhǎng)為24,相鄰兩邊長(zhǎng)的比為3:1,那么這個(gè)平行四邊形較短的邊長(zhǎng)為.8.根據(jù)圖中所給的尺寸和比例,可知這個(gè)“十”字標(biāo)志的周長(zhǎng)為.AABCDO111(第8題)(第10題)9.已知平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且長(zhǎng)分別為12和6,那么這個(gè)平行四邊形的面積為.10.如圖,是四邊形ABCD的對(duì)稱軸,如果AD∥BC,有下列結(jié)論:(1)AB∥CD;(2)AB=CD;(3)ABBC;(4)AO=OC.其中正確的結(jié)論是.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)二、選擇題(每題3分,共24分)11.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于一個(gè)三角形的外角和，那么這個(gè)多邊形是（）A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形12.下列說法中,錯(cuò)誤的是()A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.平行四邊形的對(duì)角相等D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形13.給出四個(gè)特征(1)兩條對(duì)角線相等;(2)任一組對(duì)角互補(bǔ);(3)任一組鄰角互補(bǔ);(4)是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形,其中屬于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)14.四邊形ABCD中，AD//BC，那么的值可能是（）A、3：5：6：4B、3：4：5：6C、4：5：6：3D、6：5：3：415.如圖,直線∥,A是直線上的一個(gè)定點(diǎn),線段BC在直線上移動(dòng),那么在移動(dòng)過程中的面積()A.變大B.變小C.不變D.無法確定ABABC(第15題)(第16題)(第17題)16.如圖,矩形ABCD沿著AE折疊,使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處,如果,則等于()A.B.C.D.17.如圖,在中,AB=AC=5,D是BC上的點(diǎn),DE∥AB交AC于點(diǎn)E,DF∥AC交AB于點(diǎn)F,那么四邊形AFDE的周長(zhǎng)是()A.5B.10C.15D.2018.已知四邊形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,如果只給條件“AB∥CD”,那么還不能判定四形ABCD為平行四邊形,給出以下四種說法:(1)如果再加上條件“BC=AD”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;(2)如果再加上條件“”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;(3)如果再加上條件“AO=OC”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;(4)如果再加上條件“”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形其中正確的說法是()A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)ABCD三、解答題(第19題8分,第20~23題每題10分,共48分)ABCD19.如圖,中,DB=CD,,AE⊥BD于E.試求的度數(shù).(第19題)ABCD20.如圖,中,G是CD上一點(diǎn),BG交AD延長(zhǎng)線于E,AF=CG,.ABCD(1)試說明DF=BG;(2)試求的度數(shù).(第20題)21.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行:(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖①),使AB=CD,EF=GH;(2)擺放成如圖②的四邊形,則這時(shí)窗框的形狀是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:;(3)將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖③),調(diào)整窗框的邊框,當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)(如圖④),說明窗框合格,這時(shí)窗框是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:.(圖①)(圖②)(圖③)(圖④)(第21題)ABCD22.李大伯家有一口如圖所示的四邊形的池塘,在它的四個(gè)角上均有一棵大柳樹,李大伯開挖池塘,使池塘面積擴(kuò)大一倍,又想保持柳樹不動(dòng),如果要求新池塘成平行四邊形的形狀.請(qǐng)問李大伯愿望能否實(shí)現(xiàn)?若能,請(qǐng)畫出你的設(shè)計(jì);若不能ABCD(第22題)答案1.60.2.平行四邊形;有一組鄰邊相等.3.8.提示:它們是4.(1)等腰直角三角形;(2)等腰三角形;(3)直角三角形.5.24.6.135;45.7.3.8.4.提示:如圖所示,將“十”字標(biāo)志的某些邊進(jìn)行平移后可得到一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,所以它的周長(zhǎng)為4.(第8題)9.36.提示:菱形的面積等于菱形兩條對(duì)角線乘積的一半.10.(1)(2)(4).提示:四邊形ABCD是菱形.11.B.12.D.13.C.14.C.15.C.提示:因?yàn)榈牡走匓C的長(zhǎng)不變,BC邊上的高等于直線之間的距離也不變,所以的面積不變.16.A.提示:由于.17.B.提示:先說明DF=BF,DE=CE,所以四邊形AFDE的周長(zhǎng)=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C.19.因?yàn)锽D=CD,所以又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AD∥BC,所以因?yàn)?20.(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四邊形DFBG是平行四邊形,所以DF=BG;(2)因?yàn)樗倪呅蜠FBG是平行四邊形,所以DF∥GB,所以,同理可得,所以.21.(1)平行四邊,兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(2)矩,有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形.22.如圖所示,連結(jié)對(duì)角線AC、BD,過A、B、C、D分別作BD、AC、BD、AC的平行線,且這些平行線兩兩相交于E、F、G、H,四邊形EFGH即為符合條件的平行四邊形.AABCDEFGH練習(xí)31、把正方形繞著點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點(diǎn)（如圖）．試問線段與線段相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想．DDCABGHFE2、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．3、將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF．ABCDEFD′（1）求證：△ABE≌△AD′FABCDEFD′挑戰(zhàn)自我：1、(2010年眉山市)．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（）A．90°B．60°C．45°D．30°2、（2010福建龍巖中考）下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是（）A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形3．（2010年北京順義）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．9B．8C．6D．44、（2010年福建福州中考）如圖4，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC=14，BD=8，AB=10，則△OAB的周長(zhǎng)為。5、（2010年寧德市）如圖，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，則FC等于_____．第5題圖FAEB第5題圖FAEBCD6、(2010年濱州)如圖,平行四邊形ABCD中,∠ABC=60°,E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,則EF的長(zhǎng)為ABCD7、(2010年福建晉江)如圖，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件，推出四邊形是平行四邊形，并予以證明．（寫出一種即可）關(guān)系：①∥，②，③，④．ABCD已知：在四邊形中，，；求證：四邊形是平行四邊形．DABC8、（2010年寧波市）如圖1，有一張菱形紙片ABCD，，DABC（1）請(qǐng)沿著AC剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分拼成一個(gè)平行四邊形，在圖2中用實(shí)數(shù)畫出你所拼成的平行四邊形;若沿著BD剪開，請(qǐng)?jiān)趫D3中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形;并直接寫出這兩個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)。（圖1）（2（圖1）中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形。（注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全等）DABDABCDABCDABC（圖4）（圖4）（圖3）（圖2）周長(zhǎng)為__________周長(zhǎng)為__________9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線AC⊥BD，且，BD=12cm，求梯形中位線的長(zhǎng)。10、（2007·山東）如圖，在周長(zhǎng)為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長(zhǎng)為（）(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm11題11題10題11、（2006·山東）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是．直擊中考：1.（2011安徽）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）【答案】DA．7 B．9 C．10 D．112.（2011山東威海）在□ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，則AF：CF＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【答案】A3.（2011四川重慶）下面圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形一共有1個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形一共有5個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形一共有11個(gè)平行四邊形，……，則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為()【答案】C……圖①圖②圖③圖④A．55 B．42 C．41 D．294.（2011寧波市）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）【答案】C A．4B．5C．6D．75.（2011廣東汕頭）正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為（）【答案】ＢA．120° B．135° C．140° D．144°6、（2011山東德州）圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為基本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形（如圖2），依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3），……，則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是（）【答案】C圖圖1圖2圖3……（A）（B）（C）（D）7.（2011山東泰安）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）【答案】BA.17B.17C.18D.198.（2011山東泰安）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為（）【答案】AA.2B.C.D.69.（2011四川重慶）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()【答案】CA．1 B．2 C．3 D．410.（2011浙江省嘉興）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（）【答案】A（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm（第（第10題）①②③④⑤11.（2011重慶江津）如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2……,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有()【答案】C①四邊形A2B2C2D2是矩形;②四邊形A4B4C4D4是菱形;③四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng);④四邊形AnBnCnDn的面積是A.①②B.②③C.②③④D.①②③④……A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D312.（2011湖北武漢市）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：（）【答案】D

①△AED≌△DFB；

②S四邊形

BCDG=

CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF．其中正確的結(jié)論A．只有①②．

B．只有①③．C．只有②③．

D．①②③．AABCDEFGH第12題圖13.（2011山東煙臺(tái)）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是.【答案】214.(2011浙江紹興)取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中過矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開，那剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為.【答案】15.（2011甘肅蘭州）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為?！敬鸢浮俊?6、（2009年宜賓）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)分別為，以菱形ABCD各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四邊形A2009B2009C2009D2009的面積用含的代數(shù)式表示為．【答案】．17、（2009黑龍江大興安嶺）如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形中，．連結(jié)對(duì)角線，以為邊作第二個(gè)菱形，使；連結(jié)，再以為邊作第三個(gè)菱形，使；……，按此規(guī)律所作的第個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為．【答案】18．（2011山東日照，16，4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)BM=時(shí)，四邊形ABCN的面積最大．【答案】2;19、（2011四川宜賓）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．求證：GF∥HE．HHACBDOEGF【答案】證明：∵平行四邊形ABCD中，OA=OC，由已知：AF=CEAF－OA=CE－OC∴OF=OE同理得：OG=OH∴四邊形EGFH是平行四邊形∴GF∥HE20、（2011四川成都10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn).(1)若BK=KC，求的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=AD()，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不必證明．【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.（2）如圖所示，分別過C、D作BE∥CF∥DG分別交于AB的延長(zhǎng)線于F、G三點(diǎn)，∵BE∥DG，點(diǎn)E是AD的點(diǎn)，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四邊形CDGF是平行四邊形，∴CD=FG；∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.當(dāng)AE=AD()時(shí)，（）AB=BC+CD.21、（2011貴州安順10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE．⑴說明四邊形ACEF是平行四邊形；⑵當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說明理由．第第25題圖【答案】（1）證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°．∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四邊形ACEF是平行四邊形．（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四邊形ACEF是菱形．22、（2011山東濱州10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。（第24（第24題圖）【答案】當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形………………2分證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分又∵M(jìn)N∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.………………5分同理，F(xiàn)O=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形………………7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四邊形AECF是矩形………………10分23、（2011湖北襄陽10分)如圖9，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF.（1）求證：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度數(shù)；（3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，△PFD∽△BFP？并說明理由.圖圖9【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分∵∠DPE＝90°∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB. 2分（2）過點(diǎn)E作EG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠EGP＝∠A＝90° 3分又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分（3）方法一：當(dāng)時(shí)，△PFE∽△BFP. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分設(shè)AD＝AB＝a，則AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分∴，∴ 9分又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分方法二：假設(shè)△ADP∽△BFP，則. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分∴， 8分∴， 9分∴PB＝AP，∴當(dāng)時(shí)，△PFE∽△BFP. 10分24.（2011湖南永州10分）探究問題：⑴方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．（第（第25題）①⑵方法遷移：如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（第25（第25題）②（第25題）②解得圖⑶問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說明理由）．（第25（第25題）③【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點(diǎn)A順