巧妙構(gòu)造新函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題

PAGEPAGE5巧妙構(gòu)造新函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題安徽師范大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院安徽省南陵中學(xué)汪珊珊從近幾年的高考命題分析，高考對導(dǎo)數(shù)的考查常以函數(shù)為依托的小綜合題，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本方法.近年的高考命題中的解答題將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機(jī)的結(jié)合在一起，設(shè)計綜合試題。在內(nèi)容上日趨綜合化，在解題方法上日趨多樣化.解決這類有關(guān)的問題，有時需要借助構(gòu)造函數(shù),以導(dǎo)數(shù)為工具構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。一、分離變量，構(gòu)造新函數(shù)例1、若，則角的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)解析：由題意可知：，所以，構(gòu)造函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，，故只要：，故選C。例2、（2009遼寧理）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：若，則對任意，，有解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）分析：不妨設(shè)，即證，即故構(gòu)造新函數(shù)，即只需證：在單調(diào)遞增。又．由于故，即在單調(diào)增加。故原題得證。二、直接利用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，構(gòu)造新函數(shù)例3、設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，分別為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則當(dāng)時，有（C）解析：構(gòu)造函數(shù)例4、（2011遼寧理）函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（B）A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）解析：構(gòu)造函數(shù)三、間接運(yùn)用模型，構(gòu)造新函數(shù)1、模型一：關(guān)系式為“加”型（1）構(gòu)造（2）構(gòu)造（3）構(gòu)造（注意對的符號進(jìn)行討論）2、模型二：關(guān)系式為“減”型（1）構(gòu)造（2）構(gòu)造（3）構(gòu)造（注意對的符號進(jìn)行討論）例5、已知定義域為的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（D）解析：由題意知：，構(gòu)造函數(shù)，為偶函數(shù)。即,①設(shè)直線與曲線相切于點，∵，∴，∴．∴直線也為，即，②由①②得，∴．下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．又，，結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一.故結(jié)論成立．六、二元合一，構(gòu)造新函數(shù)例13、已知函數(shù)（）． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”．試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請說明理由．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”． 設(shè),是曲線上的不同兩點，且， 則 曲線在點處的切線斜率，依題意得：．化簡可得：，即=．設(shè)（），上式化為：,即．令,．因