二次型的基本概念

二次型的基本概念二次型的基本概念c在平面解析幾何中，一個有心的二次曲線（如圓、橢圓），當其中心與坐標原點重合時，它的一般方程可以寫成ax2+2bxy+cy2=d（7-1）式（7-1）的左端為一個關于x,y的二次齊次多項式.為了進一步地研究這個二次曲線的性質(zhì)，通常用配方法或者選擇一個坐標旋轉(zhuǎn)變換

（7-2）將式（7-1）變成一個不含有混合二次項的標準方程a′x′2+c′y′2=d′（7-3）式（7-3）的左端是一個關于x′,y′的二次齊次多項式.顯然，式（7-3）左端的二次齊次多項式較式（7-1）的左端要簡單一些.這種二次齊次多項式及其（通過坐標變換）簡化為標準方程的過程，不止在幾何中進行討論，在數(shù)學的眾多其他分支和物理、力學等學科的理論或?qū)嶋H問題中也經(jīng)常會遇到.這里把這些問題進行一般化，介紹一般的二次齊次多項式及其化簡問題.二次型及其矩陣一、將以x1,x2,…,xn為變量的n元二次齊次多項式f(x1,x2,…,xn)=a11x21+2a12x1x2+2a13x1x

3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

…+annx2n（7-4）稱為一個n元二次型，在不發(fā)生混淆時，簡稱為二次型.定義7-1利用矩陣的運算，式（7-4）中的二次型也可以表示為則二次型f(x1,x2,…,xn)可以簡記成f(x1,x2,…,xn)=XTAX（7-6）并且，將矩陣A稱為二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣.由于我們約定aji=aij，i<j

因此矩陣A是一個對稱矩陣，即二次型的矩陣為一個對稱矩陣.根據(jù)上面的討論，任意給定一個n元二次型f(x1,x2,…,xn)，可以得到一個與之唯一對應的對稱矩陣A；反過來，任意給定一個n階對稱矩陣A，也可以按照式（7-6）唯一地定義一個n元二次型.于是，在二次型與其矩陣的對應關系下，n元二次型與n階對稱矩陣是一一對應的，這樣二次型的問題就轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的問題.當二次型的系數(shù)均為復數(shù)，即對應的矩陣為復矩陣時，稱其為復二次型；當其系數(shù)均為實數(shù)時，稱此二次型為實二次型.如果不特別聲明，本章討論的二次型均指實二次型.【例7-1】其中，α=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，A是二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣.這樣二次型就是向量α的n個分量的二次齊次函數(shù).

強調(diào)事項段的處理二、與解析幾何中化簡形如式（7-1）的二次曲線方程一樣，在許多實際問題中也經(jīng)常需要利用變量的變換簡化一些二次型.因此，引入變量的線性替換.定義7-2設x1,x2,…,xn；y1,y2,…,yn是兩組變量，實系數(shù)的一組關系式（7-7）稱為由x1,x2,…,x

n到y(tǒng)1,y2,…,yn的一個線性替換.如果式（7-7）中的線性替換的系數(shù)矩陣的行列式|P|≠0，則稱這個線性替換是非退化的.因此這個替換是非退化的.將變量x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn用n維向量的形式表達，即令則式（7-7）的線性替換可以寫成或者X=PY.由于兩個可逆矩陣的乘積仍然是一個可逆矩陣，那么，對二次型f(x1,x2,…,xn)進行一次非退化的線性替換X=PY后，再進行一次非退化的線性替換Y=QZ，就相當于對原二次型f(x1,x2,…,xn)進行了非退化的線性替換X=(PQ)Z.從而，對一個二次型進行一系列的非退化線性替換，也可以由一個非退化的線性替換描述.對一個二次型f(x1,x2,…,xn)進行一次線性替換，就是將式（7-7）中的變量x1,x2,…,xn帶入f(x1,x2,…,xn)，于是，得到關于變量y1,y2,…,yn的一個二次齊次多項式，即f(x1,x2,…,xn)經(jīng)過替換后仍然是一個二次型.因此，線性替換將一個二次型仍然變成二次型.那么，替換前后的兩個二次型之間有什么關系，或者說，替換前后的兩個二次型的矩陣之間有什么關系呢？c通常，我們只考慮非退化的線性替換.這是因為，如果對一個二次型f(x1,x2,…,xn)進行一次非退化線性替換X=PY

得到一個新的二次型.那么對上式進行變形，有Y=P－1X

這是從變量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的一個線性替換，利用這個替換，對新的二次型進行作用，就將新的二次型還原成原二次型f(x1,x2,…,xn).因此，可以借助新二次型的性質(zhì)，研究原二次型的性質(zhì).為了更好地描述經(jīng)過線性替換以后兩個二次型對應的矩陣之間的關系，先引入一個關于矩陣的概念.定義7-3設A和B是兩個n階方陣.如果存在一個n階可逆矩陣P，使得B=PTAP

則稱A和B是合同的，簡記為A

B.容易驗證，方陣之間的合同關系滿足如下規(guī)律：(1)自反性：A

A.(2)對稱性：如果A

B，那么B

A.(3)傳遞性：如果A

B，B

C，那么A

C.其中A，B,C均為n階方陣.顯然，與對稱矩陣合同的矩陣仍然是對稱矩陣.定理7-1設A和B是兩個n階對稱矩陣.那么A與B是合同的當且僅當A與B是一個n元二次型經(jīng)過一個非退化線性替換前后分別對應的矩陣.證充分性：設f(x1,x2,…,xn)是一個n元二次型，其對應的矩陣為A，即f(x1,x2,…,xn)=XTAX

對f(x1,x2,…,xn)進行一次非退化線性替換，設為X=PY，將其帶入原二次型，得到f(x1,x2,…,xn)=(PY)TA(PY)=YT

(PTAP)Y

那么替換后的二次型對應的矩陣B=PTAP，即A與B是合同的.必要性：如果A與B是合同的，即存在n階可逆矩陣P，使得B=PTAP.令f(x1,x