【-學案導學設計】2020-2021學年高中數學(人教A版-必修五)課時作業(yè)第三章-3.3.2(二)

3．3.2簡潔的線性規(guī)劃問題(二)課時目標1．精確?????利用線性規(guī)劃學問求解目標函數的最值．2．把握線性規(guī)劃實際問題中的兩種常見類型．1．用圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟：(1)分析并將已知數據列出表格；(2)確定線性約束條件；(3)確定線性目標函數；(4)畫出可行域；(5)利用線性目標函數(直線)求出最優(yōu)解；依據實際問題的需要，適當調整最優(yōu)解(如整數解等)．2．在線性規(guī)劃的實際問題中，主要把握兩種類型：一是給定確定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌支配，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最?。弧⑦x擇題1．某廠生產甲產品每千克需用原料A和原料B分別為a1、b1千克，生產乙產品每千克需用原料A和原料B分別為a2、b2千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為d1、d2元．月初一次性購進本月用的原料A、B各c1、c2千克，要方案本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大．在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為x千克、y千克，月利潤總額為z元，那么，用于求使總利潤z＝d1x＋d2y最大的數學模型中A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y≥c1，,b1x＋b2y≥c2，,x≥0，,y≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y≤c1，,a2x＋b2y≤c2，,x≥0，,y≥0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y≤c1，,b1x＋b2y≤c2，,x≥0，,y≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y＝c1，,b1x＋b2y＝c2，,x≥0，,y≥0))答案C解析比較選項可知C正確．2.如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，若使目標函數z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,5)C．4D.eq\f(5,3)答案B解析由y＝－ax＋z知當－a＝kAC時，最優(yōu)解有無窮多個．∵kAC＝－eq\f(3,5)，∴a＝eq\f(3,5).3．某公司有60萬元資金，方案投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的eq\f(2,3)倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為()A．36萬元B．31.2萬元C．30.4萬元D．24萬元答案B解析設投資甲項目x萬元，投資乙項目y萬元，可獲得利潤為z萬元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5，))z＝0.4x＋0.6y.由圖象知，目標函數z＝0.4x＋0.6y在A點取得最大值．∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(萬元)．4．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時，可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元，乙車間加工一箱原料耗費工時6小時，可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產方案為()A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案B解析設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤70，,10x＋6y≤480，,x≥0，,y≥0.))甲、乙兩車間每天總獲利為z＝280x＋200y.畫出可行域如圖所示．點M(15,55)為直線x＋y＝70和直線10x＋6y＝480的交點，由圖象知在點M(15,55)處z取得最大值．5．如圖所示，目標函數z＝kx－y的可行域為四邊形OABC，點B(3,2)是目標函數的最優(yōu)解，則k的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(4,3)))答案C解析y＝kx－z.若k>0，則目標函數的最優(yōu)解是點A(4,0)或點C(0，4)，不符合題意．∴k<0，∵點(3,2)是目標函數的最優(yōu)解．∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－eq\f(2,3).二、填空題6．某公司租賃甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件．已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，所需租賃費最少為________元．答案2300解析設需租賃甲種設備x臺，乙種設備y臺，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N*，,y∈N*.))目標函數為z＝200x＋300y.作出其可行域，易知當x＝4，y＝5時，z＝200x＋300y有最小值2300元．7．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－11y≥－22，,2x＋3y≥9，,2x≤11，))則z＝10x＋10y的最大值是________．答案90解析該不等式組表示平面區(qū)域如圖陰影所示，由于x，y∈N*，計算區(qū)域內與點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(9,2)))最近的整點為(5,4)，當x＝5，y＝4時，z取得最大值為90.8．某工廠有甲、乙兩種產品，按方案每天各生產不少于15噸，已知生產甲產品1噸需煤9噸，電力4千瓦，勞動力3個(按工作日計算)；生產乙產品1噸需煤4噸，電力5千瓦，勞動力10個；甲產品每噸價7萬元，乙產品每噸價12萬元；但每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200千瓦，勞動力只有300個，當每天生產甲產品________噸，乙產品______噸時，既能保證完成生產任務，又能使工廠每天的利潤最大．答案2024解析設每天生產甲產品x噸，乙產品y噸，總利潤為S萬元，依題意約束條件為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤300，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥15，,y≥15，))目標函數為S＝7x＋12y.從圖中可以看出，當直線S＝7x＋12y經過點A時，直線的縱截距最大，所以S也取最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y－200＝0，,3x＋10y－300＝0，))得A(20,24)，故當x＝20，y＝24時，Smax＝7×20＋12×24＝428(萬元)．三、解答題9．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配養(yǎng)分餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質和10單位鐵質，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質和4單位鐵質，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質．試問：應如何使用甲、乙原料，解將已知數據列成下表：原料/10蛋白質/單位鐵質/單位甲510乙74費用32設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y≥35，,10x＋4y≥40，,x≥0，y≥0，))目標函數為z＝3x＋2y，作出可行域如圖所示：把z＝3x＋2y變形為y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，得到斜率為－eq\f(3,2)，在y軸上的截距為eq\f(z,2)，隨z變化的一族平行直線．由圖可知，當直線y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)經過可行域上的點A時，截距eq\f(z,2)最小，即z最?。蒭q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y＝40，,5x＋7y＝35，))得A(eq\f(14,5)，3)，∴zmin＝3×eq\f(14,5)＋2×3＝14.4.∴甲種原料eq\f(14,5)×10＝28(g)，乙種原料3×10＝30(g)，費用最?。?0．某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，預備加工成書桌和書櫥出售．已知生產每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m(1)假如只支配生產書桌，可獲利潤多少？(2)假如只支配生產書櫥，可獲利潤多少？(3)怎樣支配生產可使所得利潤最大？解由題意可畫表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利潤(元)書桌(個)0.1280書櫥(個)0.21120(1)設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x≤90,2x≤600,z＝80x))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤900,x≤300))?x≤300.所以當x＝300時，zmax＝80×300＝24000(元)，即假如只支配生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元．(2)設只生產書櫥y個，可獲利潤z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.2y≤90,1·y≤600,z＝120y))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤450,y≤600))?y≤450.所以當y＝450時，zmax＝120×450＝54000(元)，即假如只支配生產書櫥，最多可生產450個書櫥，獲得利潤54000元．(3)設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x＋0.2y≤90,2x＋y≤600,x≥0,y≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤900，,2x＋y≤600，,x≥0，,y≥0.))z＝80x＋120y.在直角坐標平面內作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．作直線l：80x＋120y＝0，即直線l：2x＋3y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點M，此時z＝80x＋120y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝900，,2x＋y＝600))解得點M的坐標為(100,400)．所以當x＝100，y＝400時，zmax＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大．力氣提升11．在如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，目標函數z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有很多個，則a的一個可能值為()A．－3B．3C．－1答案A解析當a＝0時，z＝x.僅在直線x＝z過點A(1,1)時，z有最小值1，與題意不符．當a>0時，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a).斜率k＝－eq\f(1,a)<0，僅在直線z＝x＋ay過點A(1,1)時，直線在y軸的截距最小，此時z也最小，與目標函數取得最小值的最優(yōu)解有很多個沖突．當a<0時，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)，斜率k＝－eq\f(1,a)>0，為使目標函數z取得最小值的最優(yōu)解有很多個，當且僅當斜率－eq\f(1,a)＝kAC.即－eq\f(1,a)＝eq\f(1,3)，∴a＝－3.12．要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數如下表所示：eq\o(\s\up7(規(guī)模類型),\s\do5(鋼板類型))A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211其次種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別至少為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數最少？解設需截第一種鋼板x張，其次種鋼板y張．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥15,x＋2y≥18,x＋3y≥27,x≥0，y≥