【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：橢圓

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：橢圓一、選擇題1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為()A．6 B．5C．4 D．32．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．至多一個(gè) B．2個(gè)C．1個(gè) D．0個(gè)3．已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則()A．a(chǎn)2＝eq\f(13,2) B．a(chǎn)2＝13C．b2＝eq\f(1,2) D．b2＝24．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且·＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)5．方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)6．已知橢圓E：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長(zhǎng)不行能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0二、填空題7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，則橢圓的離心率是________．8．設(shè)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若＝5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．三、解答題10．設(shè)橢圓C∶eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；(3)對(duì)任意的k>0，求證：PA⊥PB.12．已知橢圓G∶eq\f(x2,4)＋y2＝1.過點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．詳解答案一、選擇題1．解析：依據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長(zhǎng)為4a答案：A2．解析：∵直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，∴eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴m2＋n2<4，∴eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,4)<eq\f(m2,9)＋eq\f(4－m2,4)＝1－eq\f(5,36)m2<1，∴點(diǎn)(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的內(nèi)部，∴過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．答案：B3．解析：如圖所示設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn))，則|OC|＝eq\f(a,3)，因tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝eq\f(2,\r(5))，cos∠COx＝eq\f(1,\r(5))，則C的坐標(biāo)為(eq\f(a,3\r(5))，eq\f(2a,3\r(5)))，代入橢圓方程得eq\f(a2,45a2)＋eq\f(4a2,45b2)＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝eq\f(1,2).答案：C4．解析：由題意，得F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)．設(shè)M(x，y)，則·＝(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3①.又由于點(diǎn)M在橢圓上，故eq\f(x2,4)＋y2＝1，即y2＝1－eq\f(x2,4)②.將②代入①，得eq\f(3,4)x2＝2，解得x＝±eq\f(2\r(6),3).故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為eq\f(2\r(6),3).答案：B5．解析：設(shè)點(diǎn)D(0，b),則＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝eq\f(1,5).答案：D6．解析：A選項(xiàng)中，當(dāng)k＝－1時(shí)，兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等；B選項(xiàng)中，當(dāng)k＝1時(shí)，兩直線平行，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等；C選項(xiàng)中，當(dāng)k＝1時(shí)，兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱，兩直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相等．答案：D二、填空題7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°，∴∠BAO＝∠FBO.∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(OF,OB).即OB2＝OA·OF，∴b2＝ac.∴a2－c2－ac＝0.∴e2＋e－1＝0.∴e＝eq\f(－1±\r(1＋4),2)＝eq\f(－1±\r(5),2).又∵0<e<1，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)8．解析：由橢圓定義知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.答案：159．解析：依據(jù)題意設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(c，d)．F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(－eq\r(2)，0)、(eq\r(2)，0)，可得＝(m＋eq\r(2)，n)＝(c－eq\r(2)，d)．∵＝5，∴c＝eq\f(m＋6\r(2),5)，d＝eq\f(n,5).∵點(diǎn)A、B都在橢圓上，∴eq\f(m2,3)＋n2＝1，eq\f(\f(m＋6\r(2),5)2,3)＋(eq\f(n,5))2＝1.解得m＝0，n＝±1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，±1)．答案：(0，±1)三、解答題10．解：(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．11．解：由題設(shè)知，a＝2，b＝eq\r(2)，故M(－2,0)，N(0，－eq\r(2))，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－eq\f(\r(2),2))．由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝eq\f(－\f(\r(2),2),－1)＝eq\f(\r(2),2).(2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得eq\f(x2,4)＋eq\f(4x2,2)＝1，解得x＝±eq\f(2,3)，因此P(eq\f(2,3)，eq\f(4,3))，A(－eq\f(2,3)，－eq\f(4,3))．于是C(eq\f(2,3)，0)，直線AC的斜率為eq\f(0＋\f(4,3),\f(2,3)＋\f(2,3))＝1，故直線AB的方程為x－y－eq\f(2,3)＝0.因此，d＝eq\f(|\f(2,3)－\f(4,3)－\f(2,3)|,\r(12＋12))＝eq\f(2\r(2),3).(3)證明：法一：將直線PA的方程y＝kx代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，解得x＝±eq\f(2,\r(1＋2k2))記μ＝eq\f(2,\r(1＋2k2))，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直線AB的斜率為eq\f(0＋μk,μ＋μ)＝eq\f(k,2)，其方程為y＝eq\f(k,2)(x－μ),代入橢圓方程并由μ＝eq\f(2,\r(1＋2k2))得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝eq\f(μ3k2＋2,2＋k2)或x＝－μ.因此B(eq\f(μ3k2＋2,2＋k2)，eq\f(μk3,2＋k2))．于是直線PB的斜率k1＝eq\f(\f(uk3,2＋k2)－μk,\f(μ3k2＋2,2＋k2)－μ)＝eq\f(k3－k2＋k2,3k2＋2－2＋k2)＝－eq\f(1,k).因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.法二：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.由于C在直線AB上，所以k2＝eq\f(0－－y1,x1－－x1)＝eq\f(y1,2x1)＝eq\f(k,2).從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y2－－y1,x2－－x1)＋1＝eq\f(2y\o\al(2,2)－2y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＋1＝eq\f(x\o\al(2,2)＋2y\o\al(2,2)－x\o\al(2,1)＋2y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(4－4,x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3).所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由題意知，|m|≥1.當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，eq\f(\r(3),2))，(1，－eq\f(\r(3),2))，此時(shí)|AB|＝eq\r(3).當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝eq\r(3).當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－m，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8k2m,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2m2－4,1＋4k2).又由l與圓x2＋y2＝1相切，得eq\f(|km|,\r(k2＋1))＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB